大题增分指导(二)带电粒子在电磁场中的运动

大题增分指导(二)带电粒子在电磁场中的运动解题策略“三步法”规范审题【典例】(2020·全国Ⅰ卷，25)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图1所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°。运动中粒子仅受静电力作用。图1(1)求电场强度的大小；(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？[“三步”规范解题]第一步：审题——2个切入点(1)关注匀强电场的区域分布——匀强电场分布在柱形区域内。(2)关注运动过程——进入电场时速度为零的粒子，在电场中做匀加速直线运动；进入电场时速度不为零的粒子，在电场中做类平抛运动。第二步：破题——3个关键点(1)进入电场时速度为零的粒子，从自圆周上的C点穿出电场，可以确定电场线沿AC方向。(2)要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多。(3)粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0。第三步：解题——3个环节(1)沿AC方向射出的粒子，根据动能定理可求出电场强度的大小。(2)从切点D射出的粒子，根据类平抛运动规律，可求出粒子进入电场时的大小。(3)根据粒子沿电场线方向做匀加速直线运动规律，可求出穿过电场前后动量变化量的大小为mv0的粒子进入电场时的速度。解析(1)初速度为零的粒子，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知AC＝R①F＝qE②由动能定理有F·AC＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)③联立①②③式得E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),2qR)④(2)如图，由几何关系知AC⊥BC，故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线与圆相切于D点，与AC的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知∠PAD＝30°，AP＝eq\f(3,2)R，DP＝eq\f(\r(3),2)R⑤设粒子以速度v1进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为t1。粒子在AC方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于AP；在垂直于AC的方向上做匀速运动，运动的距离等于DP。由牛顿第二定律和运动学公式有F＝ma⑥AP＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)⑦DP＝v1t1⑧联立②④⑤⑥⑦⑧式得v1＝eq\f(\r(2),4)v0⑨(3)设粒子以速度v进入电场时，在电场中运动的时间为t。以A为原点，粒子进入电场的方向为x轴正方向，电场方向为y轴正方向建立直角坐标系。由动量定理得qEt＝mv0eq\o(○,\s\up1(10))垂直电场方向由运动学公式可知x＝vt⑪沿电场方向由运动学公式可求得位移y＝R，故粒子出电场的位置是C或B由几何关系可知x＝0或x＝eq\r(3)R⑫联立④⑩⑪⑫式得v＝0或v＝eq\f(\r(3),2)v0。答案(1)eq\f(mveq\o\al(2,0),2qR)(2)eq\f(\r(2),4)v0(3)0或eq\f(\r(3),2)v0【素能提升】(2022·广东茂名五校联考)如图2所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0进入速度选择器，速度选择器中匀强磁场的磁感应强度大小为B1，粒子沿直线射出速度选择器后进入静电分析器，静电分析器两端中心位置M和N处各有一个小孔，通道中心轴线的半径为R，通道内存在均匀辐向电场，粒子从孔射出后沿半径方向进入环形匀强磁场且恰好未进入内侧小圆区域。已知环形磁场的外半径为R，内半径为eq\f(R,2)，不计粒子重力。可能用到的数据：tan22.5°＝0.4，sin53°＝0.8。求：图2(1)速度选择器和静电分析器中的电场强度大小E1和E2；(2)环形磁场的磁感应强度大小B2及粒子在环形磁场中的运动时间t。答案(1)v0B1eq\f(mveq\o\al(2,0),qR)(2)eq\f(4mv0,3qR)eq\f(53πR,120v0)解析(1)粒子通过速度选择器时，有qE1＝qv0B1粒子通过静电分析器时，有qE2＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)联立解得E1＝v0B1，E2＝eq\f(mveq\o\al(2,0),qR)。(2)粒子在环形磁场中的运动轨迹如图所示设轨迹半径为r，由几何关系得R2＋r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)＋r))eq\s\up12(2)由牛顿第二定律可得qv0B2＝meq\f(veq\o\al(2,0),r)解得B2＝eq\f(4mv0,3qR)粒子在环形磁场中运动的周期为T＝eq\f(2πm