四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高三下学期二诊文科数学模拟试卷

2024年仁寿一中北校区眉山二诊数学模拟卷（文科）一．选择题（共60分）1．集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|y＝log2（3x﹣2）}，则（∁RB）∩A＝（）A． B． C． D．2．若复数z满足i•（z+1）＝4+3i，则|z|＝（）A． B．4 C． D．23．若，则＝（）A．﹣1 B． C． D．4．曲线y＝x2在点（1，1）处的切线方程为（）A．y＝x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝3x﹣25．向量在向量上的投影向量为（）A．（2，﹣1） B． C．（4，﹣2） D．（3，1）6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f′（x）+ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C． D．7．已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，若3a4，a8，5a6成等差数列，则＝（）A． B． C． D．8．函数的图象大致为（）A． B． C． D．9．已知f（x）在（0，+∞）上单调递减，且x0＞0，则下列结论中一定成立的是（）A．f（x0+1）＞f（x0） B．f（x0+1）＜f（x0） C．f（x0﹣1）＞f（x0） D．f（x0﹣1）＜f（x0）10．将函数f（x）＝sinx的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数g（x）的图像．若函数g（x）在上单调递增，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，1]11．已知直线l：y＝x+2与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则•的值为（）A．8 B．4 C．4 D．212．设抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点．设线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N．已知△NAB的面积为2，则直线l的斜率为（）A． B． C． D．±2二．填空题（共20小题）13．已知tanα＝2，则＝．14．已知A，B，C是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为．15．已知函数y＝f（x）在R上是奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝．16．设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B为椭圆C的上顶点，直线BF1与椭圆C的另一个交点为A．若•＝0，则椭圆C的离心率为．三．解答题（共90小题）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac+a2．（1）求证：B＝2A；（2）当取最小值时，求cosB的值．18．（12分）2025年我省将实行3+1+2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合．（1）若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“历政地”组合的概率；（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求．随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计效据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95%的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生a10女生30d合计30附：．P（K2＞k0）0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BC，A1B1的中点，A1B1＝A1C1＝A1A＝2．（Ⅰ）求证：EF∥平面AA1C1C；（Ⅱ）若A1A⊥A1B1，平面AA1C1C⊥平面A1B1BA，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求EF与平面A1BC所成角的正弦值．条件①：A1A⊥A1C1；条件②：A1A⊥B1C1；条件③：AB⊥AC．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分．20．（12分）已知椭圆E：过点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l与E交于A，B两点（异于点P），直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求的值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣）+ax（lnx﹣1），其中a≠0．（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）＞0，求实数a的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（其中t为参数，0≤α＜π），且直线l和曲线C交于M，N两点．（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线l的普通方程．23．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|的最小值为m．（1）求实数m的值；（2）若实数a，b，c满足，证明：．

参考答案与试题解析一．选择题C．A．B．B．C．D．A．A．B．B．C．A．二．填空题13．．14．．15．．16．．三．解答题【解答】解：（1）证明：由余弦定理知b2＝a2+c2﹣2accosB，又因为b2＝a2+ac，所以a2+ac＝a2+c2﹣2ac•cosB，化简得a＝c﹣2acosB，所以sinA＝sinC﹣2sinAcosB，因为A+B+C＝π，所以sinA＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，所以sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣2sinAcosB＝cosAsinB﹣sinAcosB，所以sinA＝sin（B﹣A），因为A∈（0，π），B﹣A∈（﹣π，π），所以A＝B﹣A或A+（B﹣A）＝π（舍），所以B＝2A．（2）由题知，，当且仅当时取等，又因为b2＝ac+a2，所以，所以．18．【解答】解：（1）记物理为1，历史为2，政治、地理、化学、生物分别为3，4，5，6，根据选科要求，基本事件如下：{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，6}，{1，4，5}，{1，4，6}，{1，5，6}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，4，6}，{2，5，6}，共12种，其中“历政地”组合为{2，3，4}，所以该生恰好选到“历政地”组合的概率为；（2）依题意d＝30﹣10＝20，a＝100﹣30﹣30＝40，由此补全2×2列联表如下：选择物理选择历史合计男生401050女生302050合计7030100所以，所以有95%的把握认为“选科与性别有关”．19．【解答】解：（Ⅰ）取AC中点M，连接ME，AM，由于E，M分别为BC，AC的中点，所以EM∥AB，EM＝AB，又A1F∥AB，A1F∥EM，A1F＝EM，因此四边形A1MEF为平行四边形，故A1M∥EF，AM⊂平面AA1C1C，EF⊄平面AA1C1C，故EF∥平面AA1C1C；（Ⅱ）由于平面AA1C1C⊥平面A1B1BA，且交线为A1A，又A1A⊥A1B1，A1B1⊂平面A1B1BA，所以A1B1⊥平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，故A1B1⊥A1C1，若选①：A1A⊥A1C1；因此A1A，A1C1，A1B1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A1（0，0，0），B1（2，0，0），B（2，2，0），A（0，2，0），C（0，2，2），E（1，2，1），F（1，0，0），故＝（2，2，0），，设平面A1BC法向量为，则＝2x+2y＝0，＝2y+2z＝0，取x＝1，则＝（1，﹣1，1），，设EF与平面A1BC所成角为θ，则；若选择条件②：A1A⊥B1C1；A1A⊥B1C1，A1A⊥A1B1，B1C1∩A1B1＝B1，B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，故A1A⊥A1C1，因此A1A，A1C1，A1B1两两垂直，以下与选择①相同；若选择条件③：AB⊥AC；因为AB∥A1B1，AC∥A1C1，所以由A1B1⊥A1C1可以推出AB⊥AC，此时推不出A1A⊥A1C1此时三棱柱不唯一，故不可选择作为已知条件．20【解答】解：（Ⅰ）由于，设所求椭圆方程为，把点代入，得b2＝3，a2＝4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为，代入椭圆方程，整理得x2+mx+m2﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝﹣m，，Δ＝m2﹣4（m2﹣3）＞0，∴﹣2＜m＜2，直线PA直线斜率为，直线PB直线斜率为，则，∵（2y1﹣3）（x2﹣1）+（2y2﹣3）（x1﹣1）＝（x1+2m﹣3）（x2﹣1）+（x2+2m﹣3）（x1﹣1）＝2x1x2+（2m﹣4）（x1+x2）+6﹣4m＝2（m2﹣3）+（2m﹣4）（﹣m）+6﹣4m＝0，∴kPA+kPB＝0，即直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，故直线PA与直线PB关于对称，因此|PM|＝|PN|，故．21．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a＝﹣2时，f'（x）＝（x﹣2）lnx，令f'x＞0，得x＞2或0＜x＜1，令f'（x）＜0，得1＜x＜2，故函数f（x）的增区间为（0，1），（2，+∞），减区间为（1，2）；（2）若a＞0，函数f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），且，当0＜x＜1时，由lnx＜0，有恒成立，所以f（x）＞0，必有a＜0．又由，可得，又由x＞0，不等式f（x）＞0可化为，设，有，当0＜x＜1且0＜x＜﹣4a时，lnx＜0，x+4a＜0，可得g'（x）＜0，当x＞1且x＞﹣4a时，lnx＞0，x+4a＞0，可得g'（x）＞0，当a＜0时，函数单调递增，故存在正数m使得2mlnm+m+4a＝0．若0＜m≤1，有lnm≤0，4a＜﹣1，有2mlnm+m+4a＜m﹣1＜0，与2mlnm+m+4a＝0矛盾，可得m＞1，当x＞m时，g'（x）＞0；当x＜m时，g'（x）＜0，可得函数g（x）的减区间为（0，m），增区间为（m，+∞），若g（x）＞0，必有，有2mlnm﹣m+4alnm﹣4a＞0，又由2mlnm+m+4a＝0，有2mlnm﹣m+4alnm﹣4a+（2mlnm+m+4a）＞0，有mlnm+alnm＞0，有（m+a）lnm＞0．又由m＞1，有m＞﹣a，可得a＞﹣m，有2mlnm+m+4a＝0＞2mlnm+m﹣4m＝2mlnm﹣3m，可得，由，及，可得，故实数a的取值范围为．22．【解答】解：（1）由，则（x﹣1）2＝（cosθ+sinθ）2＝1+2sinθcosθ，y2＝（cosθ﹣sinθ）2＝1﹣2sinθcosθ，两式相加可得，（x﹣1）2+y2＝2，可得曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝2，由得直线l经过的定点P的坐标为；（2）将x＝tcosα，代入