典中点《12.1-12.2 全等三角形的五种常见应用》素养练

2/2典中点《12.1-12.2全等三角形的五种常见应用》素养练名师点金全等三角形的对应边相等，对应角相等，为我们解决线段和角的问题提供了新思路、新方法，因此，判定两三角形全等是解决线段和角的相关问题的基础.全等三角形的判定和性质的应用是各级考试(包括中考)的必考内容，主要题型有证明线段或角的相等关系、和差关系、倍分关系等.应用一全等三角形在证线段或角相等中的应用1.【2019·陕西】如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD.求证CF=DE.2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE交于点G.（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角（∠CDE除外）；（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角（∠CDE除外）加以证明.应用二全等三角形在证线段和差关系中的应用3.【2019·安顺】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.应用三全等三角形在证线段的倍分关系中的应用4.求证：三角形一边的中线小于其他两边和的一半.应用四全等三角形在证线段位置关系中的应用5.如图，已知AE∥DF，CE∥BF，AB=CD，求证BE∥CF.6.【2020·贵阳中天中学期末】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC.（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）求证DC⊥BE.应用五全等三角形在线段或角的计算中的应用7.【2021·北京大兴模拟】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.已知AD=2cm，BC=5cm.（1）求证FC=AD.（2）求AB的长.8.如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P.（1）求证△ABM≌△BCN.（2）求∠APN的度数.

参考答案1.证明：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE.∵AC∥BD，∴∠CAF=∠DBE.又∵AC=BD，∴△ACF≌△BDE（SAS）.∴CF=DE.2.解：（1）∠DAG，∠AFB与∠AED相等.（2）选择∠DAG=∠AED.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，DA=AB.在Rt△DAE和Rt△ABF中，∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL）.∴∠ADE=∠BAF.∵∠DAG+∠BAF=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠DAG=∠AED.（利用平行线的性质即可证明∠AFB=∠DAG，从而证得∠AFB=∠AED）3.解：（1）AD=AB+DC（2）AB=AF+CF.证明如下：如图，延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点，∴BE=CE.∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G.又∵∠AEB=∠GEC，∴△AEB≌△GEC（AAS）.∴AB=GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG.∵∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G.∴AF=GF.∵CG=GF+CF，∴AB=AF+CF.4.解：已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点.求证.证明：如图，延长AD至E，使得DE=AD，连接BE.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）.∴BE=AC.在△ABE中，AE<AB+BE，∵AE=AD+DE=2AD，∴2AD<AB+AC，即.5.证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D.∵CE∥BF，∴∠ECA=∠FBD.∵AB=CD，∴AC=DB.∴△AEC≌△DFB（ASA）.∴EC=FB.又∵∠ECB=∠FBC，CB=BC，∴△ECB≌△FBC（SAS）.∴∠EBC=∠FCB.∴BE∥CF.6.（1）解：题图②中△ABE≌△ACD.理由如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°.∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）.（2）证明：由（1）知△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD.又∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ACB=∠BCD=90°.∴DC⊥BE.7.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE=CE.在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）.∴FC=AD.（2）解：由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE=FE，AD=CF.∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠FEB=90°.在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS）.∴AB=BF=BC+CF=BC+AD=5+2=7（cm）.8.（1）证明：∵五边形ABCDE是