专题03 函数性质的综合问题（十大题型）（原卷版）

专题03函数性质的综合问题思维导图核心考点聚焦考点一、函数的单调性及其应用考点二、利用函数单调性求函数最值考点三、利用函数单调性求参数的范围考点四、函数的奇偶性的判断与证明考点五、已知函数的奇偶性求参数考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值考点七、利用单调性、奇偶性解不等式考点八、周期性问题考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性考点十、函数性质的综合1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3②任意两个自变量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3、函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．考点剖析考点一、函数的单调性及其应用例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上是增函数；(3)解关于的不等式．例2．（2023·福建福州·高二校考阶段练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．例3．（2023·广东·高二校联考期中）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)判断在上的单调性，并用定义法证明.例4．（2023·陕西延安·高一校考阶段练习）已知函数．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．考点二、利用函数单调性求函数最值例5．（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考学业考试）函数在区间上的最大值（

）A．125 B．25 C． D．例6．（2023·贵州·高一统考阶段练习）若函数（且）在上的值域为，则（

）A．3或 B．或 C．或 D．或例7．（2023·河南商丘·高一校联考期中）已知，则函数的值域为（

）A． B．C． D．例8．（2023·广东江门·高一台山市第一中学校考期中）函数，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2考点三、利用函数单调性求参数的范围例9．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．例10．（2023·云南楚雄·高一校考期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．例11．（2023·广东珠海·高一珠海市斗门区第一中学校考阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例12．（2023·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点四、函数的奇偶性的判断与证明例13．（2023·辽宁大连·高一统考期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集.例14．（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知函数（a是常数）.(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若，试判断函数在上的单调性，并证明.例15．（2023·天津·高一校考期中）已知函数且．(1)求的值；(2)判定的奇偶性．例16．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).考点五、已知函数的奇偶性求参数例17．（2023·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知是奇函数，则．例18．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则．例19．（2023·重庆·高一校考期中）若函数是定义在上的偶函数，则例20．（2023·云南保山·高一统考期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值例21．（2023·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为．例22．（2023·四川·高考真题）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．例23．（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则.例24．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知函数，，，且，，则.考点七、利用单调性、奇偶性解不等式例25．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例26．（2023·河南郑州·高一校考期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例27．（2023·上海·高一校考阶段练习）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例28．（2023·河南商丘·高一校联考期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．考点八、周期性问题例29．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知定义在上的偶函数，满足是奇函数，且当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．1012例30．（2023·河南焦作·高一校考期末）已知为奇函数，且为偶函数，若，则下列哪个式子不正确（

）A． B．C． D．例31．（2023·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（

）A． B． C． D．例32．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（

）A． B．C． D．考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例33．（2023·江苏宿迁·高一校考期中）己知函数为上的函数，对于任意，都有，且当时，.(1)求；(2)证明函数是奇函数；(3)解关于的不等式，例34．（2023·湖北孝感·高一校联考期中）已知函数对任意实数都有，并且当时.(1)判断的奇偶性；(2)求证：是上的减函数：(3)，求关于的不等式的解集.例35．（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．例36．（2023·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．考点十、函数性质的综合例37．（多选题）（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（

）A．是偶函数B．是奇函数C．在上单调递增D．在上单调递增例38．（多选题）（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）设（，，），若，，，则（

）A． B．C．为非奇非偶函数 D．例39．（多选题）（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于原点对称C．D．例40．（多选题）（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知函数，下面命题正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的值域为 D．函数在内单调递减过关检测1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数（

）A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值3．（2023·云南大理·高一云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数，则（

）A． B． C．4 D．24．（2023·福建南平·高一校考期中）已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．5．（2023·辽宁大连·高一期末）若函数为偶函数，则b的值为（

）A．-1 B． C．0 D．6．（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数，实数，满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．87．（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（

）A． B．C． D．二、多选题8．（2023·山东泰安·高一泰山中学校考期中）下列说法中，正确的是（）A．若对任意，，，则在上单调递增B．函数的递减区间是C．函数在定义域上是增函数D．函数的单调减区间是和9．（2023·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．310．（2023·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考阶段练习）下列命题不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．函数在区间上单调递增C．函数的单调递减区间是D．已知函数是上的增函数，则的取值范围是11．（2023·江苏南京·高一校联考阶