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第七讲傅里叶级数的性质与收敛问题内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象线性性质时移性质时间反转性质若x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也是偶函数

若x(t)为奇函数，则其傅里叶级数系数也是奇函数

时域尺度变换性质傅里叶级数系数虽然没有变化，但是傅里叶级数表示发生了变化相乘性质周期卷积性质假设x(t)和y(t)都是周期为T的周期信号。

缺乏实际意义周期卷积性质周期卷积：其中：仍然是一个周期为T的周期信号注意：周期卷积可以在任何一个周期内进行。周期卷积性质共轭对称性若x(t)为实信号，则

共轭对称性若x(t)为实偶信号，则ak是实偶函数若x(t)为实奇信号，则ak是虚奇函数帕斯瓦尔定理一个周期信号的平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和举例1举例2关于一个周期为3和傅里叶级数系数为ak的连续时间周期信号给出如下信息：1.ak=ak+2；2.ak=a-k；

3.;试确定x(t)。4.解：由条件1可知：x(t)=x(t)e-j(4π/3)t

由条件2可知：x(t)=x(-t)

所以x(t)仅在t=0,1.5,-1.5,3,-3,4.5,-4.5……有非零值由条件3可知：x(t)=δ(t),-0.5<=t<=0.5

由条件4可知：x(t)=2δ(t-1.5),0.5<=t<=1.5

内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象傅里叶级数的收敛性综合公式分析公式收敛的含义：ak为有限值综合公式中的无穷级数收敛于x(t)傅里叶级数的收敛条件第一组条件(平方可积条件)：周期信号在一个周期内平方可积，即：第二组条件(狄里赫利条件)：在任何周期内，x(t)均绝对可积;在任何有限区间内，x(t)只有有限个起伏变化；在任何有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，且在这些点处x(t)为有限值。几个不满足狄里赫利条件的信号不满足条件1几个不满足狄里赫利条件的信号不满足条件2几个不满足狄里赫利条件的信号不满足条件3关于傅里叶级数收敛性的几点说明收敛并不意味着逐点相等，而只意味着信号和它的傅里叶级数表示之间不存在能量上的差别平方可积条件和狄里赫利条件并不等价，它们都是傅里叶级数收敛的充分条件，而不是必要条件工程实际应用中的绝大多数信号都满足平方可积条件或狄里赫利条件最小均方误差近似引入如下近似误差函数：一个周期内的误差能量为：最小均方误差近似为了使上式最小，展开式中的各系数应为：这一结果表明：在最小均方误差准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。吉伯斯现象吉伯斯现象吉伯斯现

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