2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第60炼 三视图-几何体的面积问题含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第60炼三视图——几何体的面积问题第60炼三视图——几何体的面积问题一、基础知识：1、常见几何体的表面积计算：（1）三角形面积：设的底为，高为，则（2）圆形面积：设圆的半径为，则（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为，母线长为，则侧面积为（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应。（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线3、三视图解面积的步骤：（1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体）（2）确定所求几何体由哪些面组成（3）根据围成的面的特点，寻找可求出面积的要素，进而求出面积（4）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积4、求表面积要注意的几点：（1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应。（2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴截面可求出圆锥的母线长（3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列。（4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进而在求表面积时不予考虑。二、典型例题：例1：一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)，如图所示，则该几何体的侧面积为_cm思路：通过三视图可判断出该几何体为正四棱锥，所以只需计算出一个侧面三角形的面积，乘4即为侧面积。通过三视图可得侧面三角形的底为8（由俯视图可得），高为5（左侧面的高即为正视图中三角形左腰的长度），所以面积为，所以侧面积为答案：80例2：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．思路：由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和。球的半径为3，所以半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以圆锥的侧面积为，所以表面积为答案：例3：已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．思路：可初步判断出该几何体可由正方体截得一部分而构成。从三视图中可得去掉的一角为侧棱长为1，且两两垂直的三棱锥（如图所示），可得为边长是的等边三角形。所以，其余的面中有三个面是正方形的面积减去一个边长为1的等腰直角三角形的面积，即，另外三个面为完整的正方形，即，所以表面积答案：例4：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.B.C.D.思路：由三视图可判断出该几何体为一个正四棱柱，所以表面积由侧面的四个矩形，还有上下两个底面（直角梯形）的面积组成。由俯视图可得梯形的上下底分别为，高为1，所以梯形面积，四个侧面的底分别为，高为，所以侧面面积为，从而表面积答案：B例5：如图，一个空间几何体的正视图，侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A.B.C.D.思路：由三视图可得，该几何体为两个正四棱锥上下拼接而成，其表面积为8个侧面三角形面积的和。首先计算正视图中菱形的边长。图中的菱形被分成2个全等的等边三角形，设边长为，则有，解得答案：D例6：某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A.B.C.D.思路：由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体，再由俯视图能够判定该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置。所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。由俯视图可得底面半圆半径，所以底面半圆面积几何体的侧面为圆锥侧面的一半，由正视图可得圆锥的母线，所以侧面面积，轴截面为三角形，底为2（侧视图），高为2（正视图）所以可得面积，所以该几何体的表面积为答案：A例7：如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A.B.C.D.思路：从三视图中可判断出几何体为一个圆锥和圆柱拼接而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和圆柱的一个底面。圆锥的底面半径为2，高为，可由轴截面求出母线的长度为，所以圆锥侧面，圆柱的高，底面半径，所以圆柱的侧面面积，圆柱底面面积，所以几何体的表面积为答案：B例8：某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为________思路：由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体，结合俯视图可得该几何体为圆锥的一部分。其表面积由底面扇形，圆锥侧面的一部分和两个三角形截面组成，首先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为，所以扇形面积，由侧视图可得圆锥的母线长，由底面扇形所占底面圆形的可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧面面积的，即由正视图可得两个三角形的底为2，高为4，所以三角形面积为，所以几何体的表面积为答案：例9：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为___________思路：由三视图可知该几何体为四棱锥，且顶点在底面的投影为底边的中点，可尝试作出四棱锥的直观图。底面为边长为2的正方形，所以面积，的底为2，高为（正视图的左侧直角边），所以。的底为2，高为2（侧视图的左右边），所以，的底为2，高，所以，所以棱锥的表面积答案：小炼有话说：在求棱锥的侧面面积时，底可以考虑底面的边长，高则可从正视图与侧视图三角形的左右两边寻找，其边长分别对应侧面三角形的高例10：圆柱被过轴一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（）A.B.C.D.思路：总体想法是用表示出几何体的表面积，在结合已知列出方程求解。由条件可知该几何体的表面积由一个半球，圆柱的半个底面，半球截面的一半（半圆），圆柱的半个侧面和圆柱的轴截面的面积组成。半球的面积为，半球截面的一半，圆柱半个底面面积为，圆柱半个侧面面积为，轴截面为矩形，底为，高为，所以面积为。进而表面积，所以，可解得答案：B小炼有话说：本题在分析表面积构成时要注意细节的处理，例如在正视图中的圆有一条分割线，这就体现了半球下圆柱被截的情况。所以半球的底面只有一部分与圆柱重合，露出的部分还应计在表面积之中第61炼三视图——几何体的体积问题一、基础知识：1、常见几何体的体积公式：（底面积，高）（1）柱体：（2）锥体：（3）台体：，其中为上底面面积，为下底面面积（4）球：2、求几何体体积要注意的几点（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地。对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分。然后再寻找相关要素（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等，侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等。二、典型例题：例1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖儿），从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组合体（一半圆锥三棱锥），所以，锥体的高计算可得（利用正视图），底面积半圆的半径为，三角形底边为，高为（俯视图看出），所以，，则，，所以答案：例2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为.思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即，所以答案：例3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均为4（俯视图得到），其中一个四棱柱底面为正方形，边长为2（正视图得到），所以，另一个四棱柱底面为梯形，上下底分别为，所以，。故几何体的体积为答案：例4：如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是___________思路：从三视图中观察可得该组合体是由一个圆柱与一个躺倒的三棱锥拼接而成，对于圆柱可得其底面半径为（正视图），高为（正视图），所以，而棱柱底面为底是（俯视图），高为（正视图）的三角形，棱柱的高为（俯视图），所以可得，所以组合体的体积为答案：例5：某几何体三视图如图所示（正方形边长为），则该几何体的体积为.思路：由正视图与侧视图可得该几何体的轮廓为一个棱柱，从俯视图中可确定该组合体为正方体截掉了两部分，且这两部分刚好都是个圆柱，可拼成个圆柱。所以先计算出正方体的体积，而圆柱的底面半径为，高为，所以，所以组合体的体积为答案：例6：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．2C．D．8答案：D思路：由于长方体被平面所截，所以很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，因为长方体由两个完全一样的几何体拼成，所以所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为，长方体的高为，所以，所以例7：一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__________思路：由主视图观察下方有圆弧形，所以判断有旋转体，结合侧视图与俯视图可判断出几何体下部为一个圆柱（圆柱体的一半），且圆柱的上方摞着一个长方体。所以，长方体的长宽高分别为2,2,4，则，圆柱体的高为4（侧视图看出），底面半径为2（由主视图看出），则，所以答案：例8：已知四棱锥的直观图和三视图如图所示，则三棱锥的体积为__________思路：要求三棱锥的体积，则要确定棱锥的高（到底面的距离）和的面积，从主视图中可判断出棱锥的高，俯视图体现出四边形为矩形，所以的面积为，所以答案：例9：一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为_______思路：从俯视图可判断出该几何体的基础应为直三棱柱，但从侧视图与正视图可以看出几何体是直三棱柱切掉了一部分，其中侧视图体现出三棱柱从上底面一直切到下底面，而正视图中的线恰好是截面与侧面形成的棱（切痕），进而可作出直观图，从图中可看出剩余的几何体为一个四棱锥（顶点为，所以，棱锥的高是（侧视图的左右间距），四边形是边长为的正方形（由正视图看出），所以，所以答案：例10：如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为()A.B.C.D.思路：本题很难直接看出棱锥的底面积与高，但通过观察可看出此棱锥可能由正方体（棱长为2）通过切割而成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如何切割，正视图中可看出正方体用前后面的对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看出正方体的右侧面（虚线）有切痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕。进而可得所求棱锥为一个四棱锥，底面是矩形，宽，长，因为平面，所以平面平面，过作的垂线，则有平面，即高，所以棱锥的体积为答案：第62炼点线面位置关系的判定一、基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有关向量关系的结论（1）若，则平行+平行→平行（2）若，则平行+垂直→垂直（3）若，则的位置关系不定。4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假二、典型例题：例1：已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而②中不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设对应法向量为，直线方向向量为，则条件转换为：，可推得，即，③正确；④为线面平行判定，要求在外，所以④错误；综上只有1个命题正确答案：B例2：已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）A．②③B．③④C．②④D．③思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题①两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面和平面中，虽然，但两个平面不平行，所以①错误②例如：平面∥平面，，但与不垂直，所以②错误③考虑利用向量帮助解决：，所以可以推断，所以可得④考虑利用向量解决：，由垂直关系不能推出，所以④错误答案：D例3：对于直线和平面，的一个充分条件为（）A.B.C.D.思路：求的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定的条件，A选项：例如正方体中的平面和平面可知虽然平面，平面，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出，C选项可用向量模型进行分析：，所以可得：，即；D选项可利用A选项的例子：，可知平面，平面，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为的一个充分条件答案：C例4：给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分别判断四个命题：①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；②该命题为面面垂直的判定，正确；③空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④答案：D例5：已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A．若，，则B．若∥，∥则∥C．若，，则∥D．若∥，，则思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确B选项可用向量判断，∥，∥，由，无法判断出的关系，所以不能推出∥；C选项并没有说明直线是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，∥，，同理由无法判断的情况，所以无法推断出，综上所述：A正确答案：A例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：如图，平面，且分别为的中点，过作交于，连接，设是的中点平面③命题中没有说明直线是否在上，所以不正确；④正确，设为异面直线的公垂线段，为中点，过作的平行线，从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。答案：D例7：下列命题正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面内，则∥②若直线∥，则与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线∥，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3思路：①“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②若∥，说明与没有公共点，所以与上任意一条直线都没有公共点，但即使无公共点，的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，与上任意一条直线都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个答案：B例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在上的任何一点，可作一个平面与都平行B.过不在上的任何一点，可作一个直线与都相交C.过不在上的任何一点，可作一个直线与都平行D.过有且只有一个平面与平行思路：A选项中，如果点与确定的平面与平行，则此平面只和平行，在此平面上，所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过的直线与相交，则也在该平面上，所以与无公共点；若过的直线与相交，则无法与相交，综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行，则由平行公理可知，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果异面，则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线，则所唯一确定的平面和平行，且在此平面上。所以D正确答案：D例9：设是两条异面直线，是空间任意一点，则下列命题正确的是（）A.过点必存在平面与两异面直线都垂直B.过点必存在平面与两异面直线都平行C.过点必存在直线与两异面直线都垂直D.过点必存在直线与两异面直线都平行思路：A选项，若平面与均垂直，则推得，与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲平移至共面，过的直线只需与这个平面线面垂直，即和都垂直，所以C正确；D选项如果直线与均平行，则由平行公理可得，与异面矛盾。所以C正确答案：C例10：设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）A.若∥，∥，在外，则∥B.若，则C.若∥，则∥D.若，且，则∥思路：A选项可通过向量来判断：，由此可得：，因为在外，所以可判定∥，A正确；B选项设，则上所有点的投影落在中，上所有点的投影落在中，因为，所以上所有点的投影均在的交点上，即，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确答案：D三、历年好题精选1、（2016，山东胶州高三期末）设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）A.B.C.D.2、给出下面四个命题：①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；②“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．其中正确命题的序号是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面，且，给出下列命题（）①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、（江西中南五校联考）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若B.若C.若D.若5、（2016，宁波高三期末）已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是（）A．若，且与不垂直，则B．若，，则C．若，，且与不平行，则D．若，，则6、（2016，上海闸北12月月考）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若垂直于同一平面，则与平行②若平行于同一平面，则与平行③若不平行，则在内不存在与平行的直线④若不平行，则与不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17、设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，则B.∥∥，∥，则∥C.若∥，∥，则∥D.若∥，则8、（2015，广东文）若直线是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A.至少与中的一条相交B.与都相交C.至多与中的一条相交D.与都不相交9、（2014，辽宁）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则