2024年九江市高三数学第二次模拟统考试卷附答案解析

年九江市高三数学第二次模拟统考试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．第14届国际数学教育大会（ICME-International

Congreas

of

Mathematics

Education）在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（

）

A．1 B．3 C．5 D．75．在正方体中，为四边形的中心，则下列结论正确的是（

）A． B．C．平面平面 D．若平面平面，则平面6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：黄雨婷韩佳予王芝琳第4轮105.5106.2105.6第5轮106.5105.7105.3第6轮105106.1105.1则下列说法正确的是A．三轮射击9项成绩极差为1.5B．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出10．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（

）A．的准线方程为 B．周长的最小值为C．直线的倾斜角为 D．四边形不可能是平行四边形11．已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（

）A．为奇函数 B．为上减函数C．若，则为定值 D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有种.13．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为.14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，，则面积的最大值是，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数在处的切线方程为(1)求a，b的值；(2)判断的单调性.16．2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.17．如图，三棱锥中，平面，，，，点满足，.

(1)证明：平面平面；(2)点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值.18．已知椭圆：和圆C：，C经过E的焦点，点A，B为E的右顶点和上顶点，C上的点D满足.(1)求E的标准方程；(2)设直线与C相切于第一象限的点P，与E相交于M，N两点，线段的中点为Q.当最大时，求的方程.19．定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.1．A【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得或，所以，又，所以.故选：A2．D【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求其共轭复数.【详解】因为，所以.故选：D3．C【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解.【详解】函数在上单调递减，由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0，则有，解得.故选：C4．B【分析】换算后由等比数列求和得，改写成，利用二项式定理展开即可求解.【详解】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为3.故选：B5．B【分析】根据正方体性质结合图形可知异面，可判断A；通过证明平面，可判断B；记的中点分别为，然后证明是平面和平面的夹角或其补角，由为等腰三角形可判断C；由可判断D.【详解】A选项：由正方体性质易知，，所以四点共面，由图知，平面，直线在平面内，且不过点A，所以异面，A错误；B选项：因为平面，平面，所以，又为正方形，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；C选项：记平面平面，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，记的中点分别为，由正方体性质可知，，所以，所以，同理，，所以是平面和平面的夹角或其补角，又对称性可知，为等腰三角形，故为锐角，C错误；D选项：因为，所以与平面相交，D错误.故选：B6．A【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.【详解】因为，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：A7．B【分析】结合题意可得，，即可借助点到直线的距离公式表示出，即可计算出的值，即可得离心率.【详解】设，有，即，由题意可得、，渐近线方程为，故，又，故，则，即，解得或，则或，由，故，，即，则.故选：B.8．C【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.9．ABD【分析】根据表格中的数据计算极差判断选项A；计算各轮总成绩判断选项B，由数据波动性判断选项C，计算平均值判断选项D.【详解】三轮射击9项成绩极差为106.5-105=1.5，A正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B正确；王芝琳的射击成绩波动小，最稳定，C错误；黄雨婷的平均成绩约为105.67，韩佳予的平均成绩为106，王芝琳的平均成绩约为105.33，D正确.故选：ABD.10．BD【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A、C，根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断D.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，又点满足，所以，即，解得或（舍去），所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A错误；过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，所以周长的最小值为，故B正确；因为，所以直线的倾斜角为，故C错误；过点作的平行线，交抛物线于点，即，解得，即，则，所以四边形不是平行四边形，故D正确.故选：BD11．ACD【分析】令求出，令求出，再令即可得到函数的奇偶性，从而判断A、B，令即可判断C，令结合，即可得到，从而判断D.【详解】因为，，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，令，可得，所以，所以为奇函数，故A正确；因为、，所以不可能为上减函数，故B错误；令可得，所以，故C正确；令可得，因为，所以，所以，，，所以，所以，故D正确.故选：ACD12．96【分析】由特殊元素优先安排，则先安排A地，后安排剩余4个乡村，再结合分步乘法求解即可.【详解】第一步，由于甲不派往乡村A，则A地有种选派方法，第二步，其他4个乡村有种选派方法，所以共有种选派方法.故答案为：96.13．##【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解.【详解】依题意，解得，所以圆，即，故圆心坐标为，即的外心坐标为，又的重心坐标为，又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.故答案为：14．12【分析】由等差数列性质可得B，结合重要不等式及三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值；运用正弦定理可得，，由余弦定理可得，代入求解即可.【详解】由题意知，，又，所以，又，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故面积的最大值为.因为，，所以，，所以，由余弦定理得，所以.故答案为：；.15．(1)，(2)在上单调递增【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助导数的导数研究导数的最值后即可得原函数的单调性.【详解】（1），由题意可得，，则，可得，，即，；（2），，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，即，故在上单调递增.16．(1)(2)选择方案一，理由见解析.【分析】（1）根据全概率计算公式求解即可.（2）计算两种不同方案的数学期望，根据期望的意义比较期望值的大小即可判断.【详解】（1）设“任取一件产品为优品”，“产品为第号生产线生产”，由全概率公式得：则从所有产品中任取一件是良品的概率为：.（2）选择方案一，理由如下：设从甲企业购进设备的费用为元，则可取：，，由（1）知：所以.设从乙企业购进设备的费用为元，则，因为，故选择方案一比较合适.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先由线面垂直的性质得到，，即可说明，从而得到平面，即可得证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）因为平面，平面，所以，，又点满足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面内过点作，则平面，又平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设，所以，，因为，所以，即，解得，所以为的中点，则，设平面的法向量为，又，，则，取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)(2)【分析】（1）C经过E的焦点及点D在C上，列方程组求出，可求E的标准方程；（2）设直线方程，与椭圆和圆联立方程组，求两点坐标，表示出，利用基本不等式求取最小值时参数的值，得的方程.【详解】（1）依题意得，由，得，代入的方程中，得，①又经过的焦点，得，即，②由①②解得所以的方程为.（2）解法一：依题意，设l的方程为，，则有，，由l与C相切，得，即，又，两式相减得，有，，则直线的方程为，联立方程组，解得，中，，当最大时，最大，，由，当且仅当时取等号，得，即的最大值为，此时，，故l的方程为.解法二：依题意，设l的方程为，，联立方程组，化简得，由，得，，联立方程组，化简得，由，得，，，又，当且仅当时取等号，则，当最大时，，故l的方程为.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，要强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．(1)(2)不存在完美4维向量集，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用的完美维向量集定义求解即可.（2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断.（3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果.【详