2023年浙江省名校协作体高三第一学期8月数学试卷及答案

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={—1,0,1,2,3},8={耳一+2左一3>0},则AB=（）

A.{0,1}B.{2,3}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

2+i-

2.已知复数2=——，则z+2z在复平面内所对应的点在（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在AABC中，BD^-BC,若A8=a,AC=/?,则AD=（）

3

2.1.12-1.2.2.1.

A.-dH—hB.—dH—hC.—〃hD.-d—h

33333333

4.已知函数y=Iog2（"2-x）在区间。,2）上单调递增，则。的取值范围为（）

c.(万,+8D.(1,4-co)

5.抛物线V=4x的焦点为产，过点M（、/80）的直线与抛物线相交于A3两点，与抛物线的准线相交于

.,BC\

点C.若网=3,则一=()

AC

3456

A.-B.一C.一D.

4567

6.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由

于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）

A.124B.246C.114D.108

7.己知函数/'（%）=Asin（〃）x+0）的图象如图所示，M、N是直线y=-1与曲线y=/（x）的两个交点,

A.V2B.—1C.—V2D.—>/3

8.已知四面体A3CO中，AD=2,BD=5/BCD=120。,直线AD与所成的角为60。，且二面角

A—CD-B为锐二面角.当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）

32416万“小

A.----B.---C.167rD.87r

33

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.

9.下列命题成立的是（）

A.已知。〜N（0,l）,若PC>l）=p,则P（_l«J«0）=g_p

B.若一组样本数据（Xj,y）（i=l,2,3,,〃）的对应样本点都在直线y=-2x+3上，则这组样本数据的相关系

数r为一1

C.样本数据64,72,75,76,78,79,85,86,91,92的第45百分位数为78

D.对分类变量x与丫的独立性检验的统计量z2来说，z2值越小，判断“x与丫有关系”的把握性越大

10.已知正方体A5CO—的棱长为2,点P为平面ABC内一动点，则下列说法正确的是（）

A.若点尸在棱AO上运动，则4P+PC的最小值为2+2夜

B.若点尸是棱AD的中点，则平面PBG截正方体所得截面的周长为2逐+3加

C.若点尸满足PR_L£>G，则动点尸的轨迹是一条直线

D.若点P在直线AC上运动，则产到棱BQ的最小距离为：一

11.设定义在R上的函数“X）与g（x）的导函数分别为了'（X）和g'（x）,若/（x+2）-g（l-x）=2,

r（x）=g'（x+i）,且g（x+i）为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）

A.g⑴=0B.函数g'（x）的图象关于（1,0）对称

2023

C.“X）的周期为4D.£g（Q=0

k=\

12.已知数列｛4｝是公比为q的等比数列，且q>0,则下列叙述中正确的是（）

A.若4+%=%+%，贝=lB.若%=Inq+In/，则q<0

C.若2a3=e"'+e与，则q>lD.若0<q<l,且q+4+q=ln（。]+/+%+4），则4>1

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知函数〃无）=卜21'，，则〃x）>l的解集为.

log4x,xe（l,+oo）

14.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x—y—3=0的距离为.

15.已知方是椭圆C:冷+曰=1的左焦点，过R作直线/交椭圆于4,8两点，则|A可+4忸同的最小值为

16.已知不等式xlnx-〃?lnxNx+”对Vx>0恒成立，则当巴取最大值时，m=.

m

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

已知/（x）=sinx卜inx-Gcosx）.

（1）求/（x）的单调递增区间；

3

（2）在△ABC中，角所对的边为","c.若/（A）=],a=2,求人+2c的取值范围.

18.（本题满分12分）

己知四棱锥E—ABC。中，四边形ABCD为等腰梯形，AB//DC,AB=4,AD=DC=2,BE=4,/\ADE

为等边三角形.

（1）求证：平面ADEJL平面A8CD；

（2）是否存在一点产，满足EF=2EB（O</1<1）,使直线Af1与平面3。石所成的角为60°?若存在，求

出2的值；若不存在，请说明理由.

19.（本题满分12分）

设数歹IJ｛4｝的前〃项和为S„,已知S„=|（3a„-1）（/7eN*）.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设aJ"*""’"，瞥，求数列也｝的前2〃的项和T,“.

[〃・4,〃为偶数

20.（本小题满分12分）

某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（Dopamine）

的分泌，所以又叫“快乐药”.其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（Dopamine）的分

泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪.人体多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是107.2-246.6Rg/24h,定义运动

后多巴胺含量超过400Ng/24h称明显有效运动，否则是不明显有效运动.树人中学为了了解学生明显有效运

动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1：2,女生中明显有效运

13

动的人数占一，男生中明显有效运动的人数占一.

24

女生男生合计

明显有效运动

不明显有效运动

合计

（1）根据所给的数据完成上表，并依据。=0.100的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说

明理由.

（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有

可能是多少？

n(ad-be)

附：z，其中〃=a+〃+c+d.

(〃+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

尸(*2a)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

a2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(本小题满分12分)

22

已知双曲线C:=—与=1(。＞0,。＞0)的左、右顶点分别为A、氏P为双曲线上异于A、B的任意一点，

atr

直线PA.PB的斜率乘积为1.双曲线C的焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设不同于顶点的两点M、N在双曲线C的右支上，直线AM、BN在y轴上的截距之比为1:3.试问直

线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数"X)=aex-e{x-I)2有两个极值点七,七(X＜々)•其中awR,e为自然对数的底数.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若第+(e—2)/+2(1—e)22(%—1)(%—1)恒成立，求4的取值范围.

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

题号12345678

答案BDADACDB

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.

题号9101112

答案ABCBCDACBD

三、填空题：本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分.把答案填在答题卡中的横

线上.

13.(-oo,0)(4,+oo)14.---15.16.e

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：(1)化简得/(x)=上节母sin2x=g—sin(2x+7)

T[7T3乃7T27r

令2kr+—<2x+—<2k兀+——,keZ,得到br+—WxWQr+——,kGZ

26263

所以/(x)的增区间为k兀+飞k兀+q,ke1

(2)由/(A)=。，得sin(2A+工]=-1,由于乙<2A+2〈田，所以24+2=网得到4=也

'，2I6J666623

b+2c=-^—(sinB+2sinC)=^—^-sinB+2sin—~B\=4cosB

sinA3(134

jr

由于0<B<—,/?+2c=4cosBe(2,4)

18.解：(1)等腰梯形ABC。中，AB=4,AD=DC=2,得到BD=2班.由

BD2+DE2=\6=BE2,得到8O1OE,且ADDE=D,

因此3O_L平面A£>£,

又因为BDu平面A8CD,故平面ADEL平面A3CD

（2）方法一：由（1）知8DJL面ADE,得到面3£应_1_面40£.

作A//LO石于“点，有面或应./AfH即为直线A尸与面石所成角

在直角三角形A”/7中，由A"=6和NAFH=60°,得到FH=1

由EH=FH=1,NHEF=60。得FE=1,又EB=4,所以存在4='.

4

方法二：以点。为坐标原点，D4为x轴，03为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.

其中。（0,0,0）,4（2,0,0）,网0,2布,0）,网1,0,石）

得至DB=(0,273,0),DE=(1,0,75),设平面BDE的法向量为〃=(x,y,z)

n-DB=Q|23=0

由，得〈一不妨设z=-l,则取〃=(G,0,—1)

n-DE=0[x+j3z=0

又EB=(-1,2V3,-V3),EF=AEB=(-2,2732,-732)

AE=AE+EF=(—1,0,6)+(―九2向,一扇)=(-A-1,2后,g-也*

百

\AF-n2G..,.o2=0（舍去）或,所以，2=-

则cos(AF,n)=।——q—=—/=sin60°=——

'/|AF||n|2V16A2-42+4244

19.解：⑴由2s“=3。”一1,得2S,T之2),两式相减得%=34T(N22).

令”=1吗=1,.-.数列｛4｝成等比数列，a„=3"-'

〃+3T〃为奇数

(2)由于勿=,

〃-3"T,"为偶数

9〃—1

S奇数项=(1+3+5++2H-1)+(3°+32+34++32,,-2)=n2+^―!-

5^^=2-3'+4-33+6-35++2n-^n-'®,

则9yMMg=2•33+4・35+6・37++2“•32/】②,

①-②得：-8S偈数项=2(3'+33++32,,_|)一2〃・32,,+|=2'(i)_2小32,,+|

1—9

(24〃-3)•3?"+3

s偶数项

32

+9"-1+(24〃-3)1"+3,(24n+l)-32n-l

=n~2

32

20.解：(1)因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2,女

13

生中明显有效运动的人数占一，男生中明显有效运动的人数占一，得到下面的列联表:

24

女生男生合计

明显有效运动103040

不明显有效运动101020

合计204060

给定假设“°：明显有效运动与性别没有关系.

n(ad-be)2

由于广3.75>2.706=P(力220100),

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

则根据小概率值a=0.100的％?独立性检验，有充分的证据推断假设4。不成立，因此认为明显有效运动与

性别存在差异.

(2)由样本数据可知，不明显有效运动的频率为用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为

3

设11人不明显有效运动的人数为X,

所以P（x=Z）=RL1--仕=0,1,2,…11）

I3?

假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是&,

得34左<4所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4.

2222_2

21.解：（1）设尸（玉）,加）,今一"■=1，则学=S皆-，又A（—a,O）,B（a,O）,

.原口=士.'=-^=5=:，

x0+tzx0-axQ-aa3

又焦点到其一条渐近线fex+ar=0的距离为I=6=1,解得：a=4?>,b=1.

y/a2+b2

所以双曲线。的方程：—-/=1

3

（2）设直线MN的方程为*=m），+八加（项,凹）,77（%2，%）•

XZ二3得（43）"2吁/-3=0,.•』+%=-碧川产-3

由，

m2-3

A（-V3,O）,B（V3,O）,直线A〃:y=卜[+网,则直线AM在y轴上的截距为底芯,直线

BN:y=-百），则直线5N在y轴上的截距为一'》,

由题得：国斗=二^,又心女H=J,所以一

X\+6X2-y[32+Gx「63X\+63M

所以九二g=则■一百）卜_6）+必必=0,

—

yx2>/3

[myl+1-+1-73)+yty2=0,;.(加+。必必+«-6)m(必+乂)+("6)2=0，

+++6)2=(),化简得：或f=26.

''m-3')m-3

若，=百，直线MN过顶点，舍去..；=2G.

则直线MN的方程为x=畋+，所以直线MN过定点£(273,0).

22.解：⑴由于r(x)=ae*-2e(x-l),

由题知/'(X)=0有两个不同实数根，即a=2e(；；l)有两个不同实数根

令g(x)="(：",则g'(x)=2,(2]“NO,解得xW2,故g(x)在(-00,2]上单调递增，在[2,+co)上

2

单调递减，且Ji巴g(x)=-oo,%g(x)=0,g(2)=j故g(x)的图象如图所示，

当ae(0,2)时，/'(X)有两个零点x”X2且％<x2.则/'(x)2000<x4芭或xN々，故/(x)