2023-2024学年上海市交通大学附属中学高三年级上册开学考数学试卷含详解

交大附中2023学年第一学期高三年级数学开学考

2023.9

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.已知集合A=｛1,4,5｝,B=｛3,4｝则A=B=_.

2.3+4i的平方根为

3.已知向量d与6的夹角为120。，|。|=3,%+.=而，则忖=.

2

4.设B和F2是双曲线三-9=[的两个焦点，点p在双曲线上，且满足N4年=90°，则然呐的面积为______:

4

5.记S“为等差数列｛端的前〃项和，已知y=0,%=1。，则％+S“=

6.若sin[a+2）=g,则$皿（2。+茨=.

7.直线y=ox+b是曲线y=4+|的切线，则的最小值为.

8.各项为正且公差不为0的等差数列｛%｝的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列｛"｝的连续三项（顺序不变），

设S,=」一+」一+L+」一，若对于一切的“eN*,则4的最小值为_________.

4%。2。3a\

9.设函数/（》）=1+卜|-7二，则使得/（1。氏力>/1-210glx-1]成立的实数x的取值范围是.

1+X\,2J

10.在一MC中，AC=2BC=4,/ACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1,若CM-CN的最小值

为一，则cosZACB=.

11.三棱锥P—ABC中，己知E4_L平面ABC,ABC是边长为2的正三角形，E为PC的中点，若直线AE与平面P8C

所成角的正弦值为叵，则氏的长为—.

7

12.设m。是两个实数，04a<b,直线/：y="+初和圆/+丁=1交于两点A,B,若对于任意的％e[a,b],均

存在正数处使得。48的面积均不小于无，则b-2a的最大值为.

4

二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）

13.已知x是实数，命题p：N<3；命题q:x2-2x-3<0,贝”是9的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

14.下列说法正确的是（）

A.如果直线/不平行于平面a,那么平面a内不存在与/平行的直线

B.如果直线///平面a,平面a〃平面£,那么直线〃/平面”

C.如果直线/与平面a相交，平面a//平面£,那么直线/与平面厅也相交

D.如果平面a_L平面y,平面■平面y,那么平面a〃平面£

15.设/（0是定义在R上的函数，若存在两个不等实数.，人』R，使得《七旦卜」•a）；/&）,则称函数f（x）

工xw0

具有性质P,那么下列函数：①=；②/⑴=£；③〃弓=k2-1］；具有性质P的函数的个数为（）

0,x=0

A.0B.1C.2D.3

16.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行

了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间（小时）7891011

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（）

A.8,8.5B.8,8C.9,8D.8,9

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17.如图，在四棱锥尸-4JCD中，底面A8C。是矩形，M,N分别为棱的中点，PA=AD,平面尸平

面ABCD求证：

试卷第2页，共4页

(1)MN〃平面以B；

(2)AM工平面PC。.

18.已知数列｛叫的前八项和为S"=3"?+5〃，数列出｝满足4=8,b„=646„+..

⑴证明｛凡｝是等差数列；

(2)是否存在常数“、儿使得对一切正整数"都有。“=1。8,他,+。成立.若存在，求出“、匕的值；若不存在，说明理

由.

19.如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，A8=20米，广场的一角是半径为16米的扇形8CE绿化区域，为了

使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅

(宽度不计)，点M在线段AZ)上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放.已

知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为。元，记锐角NN8£=6,总造价为W元.

⑴试将W表示为6的函数卬(。)，并写出cos夕的取值范围；

(2)问当AM的长为多少时，能使总造价W最小.

20.已知椭圆C£+£=1(a>6>0)经过4。,0),8(0㈤两点.。为坐标原点，且的面积为正.过点

ab~4

P(0,l)且斜率为k(%>0)的直线/与椭圆C有两个不同的交点M,N,且直线AM,AN分别与y轴交于点S,T.

(I)求椭圆C的方程；

(II)求直线/的斜率k的取值范围；

(III)设”=WO,PT=pPO,求4+〃的取值范围.

21.已知I函数f(x)=(2-a)lnx+,+20r(。40).

X

(1)当。=0时,求/(X)的极值；

(2)当a<0时，讨论/J)的单调性；

(3)若对任意的ae(-3,-2),x„x2e[l,3],恒有(m+ln3)a-21n3>|/(%)-/(七)|成立，求实数机的取值范围.

试卷第4页，共4页

1.{13,4,5}

【分析】进行并集的运算即可.

【详解】解：A={1,4,5},B={3,4}

.-.AuB={l,3,4,5}

故答案为：{13,4,5}.

【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.±(2+0

【分析】先设复数z=a+4,可得(“+历)2=3+4i,再结合复数相等的充要条件求解即可.

【详解】解：设所求复数为z=a+友，由题意有(〃+初1=3+4i,即〃-从+2,而=3+4i,

/-从=3a=2

则,解得即z=2+i或z=-2-i,

2ab=4h=\

即3+4/的平方根为±(2+i),

故答案为±(2+i).

【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.

3.4

【详解】试卷分析：向量d与〃的夹角为120。，同=3巾+司=屈，则06=同比05?20。=-|忖,

|4+必=同2+2&2+w.所以13=9—3忖+时,则忖=一1(舍去)或,|=4.

考点：平面向量的数量积.

4.1.

【详解】：点P在双曲线右支上，且满足NFIPF2=90。，,忙可一仍国一4?

PF；+PF2=20@

②-①2得|PFI|・|PF2|=2....△FIPF2的面积S=；|PFI|«|PF2|=1.

故结果为1.

5.2〃2-4〃-10

【分析】设等差数列的公差为d,然后由已知条件列方程组可求出q，d,从而可求出答案.

【详解】设等差数列的公差为d,

因为§4=0,%=10，

答案第1页，共13页

4«,+—J=0%=-6

所以'2,解得

d=4

4+44=10

〃〃

所以4+S〃=-6+4(〃-1)-6〃+"x4=22—4-10,

故答案为：2〃？-4〃-10

6-?

【分析】由sin(2c+g7兀t'71

—+2a+一,结合诱导公式，倍角公式求解即可.

26

冗2177

【详解】sinha+sin—+2|a+—=cos2a+—=l-2sin(j=l-2x§=3故答案为：!

26I6

【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.

7.2

【分析】设直线丫=以+方与曲线)，=«+1相切于点即后+1),根据导数的儿何意义求出切线方程，可得

i

a=---r=,

2£°，再根据基本不等式可得的最小值.

。=也+1

2

【详解】设直线y=ox+b与曲线y=«+l相切于点(二,互+1)(/20),

当%=0时，直线y=人不是曲线y=4+l的切线，故%>0,

1

由y=\fx+1得丁|*=%

所以切线方程为y—(A+i)=工区(x-x。),

即"笳'+专+'

所以

b=Z+i

2

所以〃+6=—5=+且+122

+1=2,

2扁2

答案第2页，共13页

当且仅当%=1时，等号成立，所以（。+叱加=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.

8.-

3

【分析】根据等差数列｛4｝的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列色｝的连续三项，利用等比中项得到W=，

/\c〃〃，1

化简得到d=3q,从而求得q=（3"-2）4,然后利用裂项相消法求得S,=而而/，再由57谈1,得到

%2上求解.

3〃+1

【详解】设等差数列｛%｝的公差为的

由a；=“陷6得（4+"）-=4（4+5d）,

因为IHO,

所以d=3q,

所以a“=4+(〃-1)4=(3〃-2)4,

S.-L+，

a\a202a3

1ndn

3qq（3〃+l）4（3〃+l”；，

〃，1n

所以则

因为_T"1""!"14

3〃+1313n+\J3

所以42；,

故外的最小值为g.

故答案为：—

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解

的能力，属于中档题.

9.（近2）

答案第3页，共13页

【分析】利用定义证明函数/(X)为偶函数，结合/(X)在(0,+8)上单调递增，解不等式“log2X)>/-21og,x-l,

\27

即可得出实数X的取值范围.

【详解】4T)=1+T-J=1+41;=〃.),则函数f(x)为偶函数

当x>0时，/(x)=x+l-一二，・•・/(X)在(0,+8)上单调递增

1+d

/\

/(log2x)>f-21ogIx-1

<27

/(|log2jc|)>/^21og,x+1,.-.|log2x|>210g)x+1

,logX.

小2―，・•.(1呜心(1-2噫心

占22

2

即3(log2x)-41og2x+1<0,B[J(31og2x-l)(log2x-l)<0

；<log,X<1,log,y/2<log,X<log,2

<x<2

故答案为：(蚯,2)

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.

10."3旧

8

【分析】取MN的中点P得PN=-PM，1PM=,M=g,再将CM-CN用向量表示并结合CMCN的

最小值为g得CRs=l，即C到直线AB的距离为1,再根据几何关系即可求得cosNAC8

【详解】取MN的中点P,^LPN=-PM，\PN\=\PM\=^,

CM.CN=(CP+PM)(CP+PN)=^CP+PM)^CP-PM)=CP2,

因为CM-CN的最小值二，

所以CR“，=1.

作C”_LAB,垂足为H,如图，

答案第4页，共13页

A

H

CB

则CH=1,又BC=2,所以N3=30。，

因为AC=4,

所以由正弦定理得：sinA=1,cos4=巫，

44

所以cosNAC8=cos(150°-A)=-*cosA+；sinA

力而111-36

=----------X------------1-----X—=-----------------.

24248

故答案为：上口叵.

8

【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.

11.2或6

【分析】设尸是8c的中点，连接在平面E4F内作AHLPb,则BCJ.4”,可证明AHJL平面P8C,连

接E”，则加H是AE与平面P8C所成的角，设PA=m,利用AE平面PBC所成的角的正弦值为匹，列方程

7

求解即可.

【详解】

设尸是6c的中点，连接尸尸，

姑_1_平面ABC,.J_8C,

MBC为正三角形，BC，A/，

.•.BC_L平面

在平面上4尸内作AH_LPF,

则8CLA”,，加/!.平面P3C,

连接£77,则Z4E"是AE与平面P8C所成的角，

答案第5页，共13页

设上4=m,在直角三角形R4尸中，AHPF^PAAF,

PA-AF_gm

求得A”

PF

AE=-PC=-yjm2+4,

22

AE平面PHC所成的角的正弦值为叵，

7

6m

AH=GF=屈

sinNAEH=

解得m=2或,"=6,即如的长为2或百，故答案为2或G.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题.解答空间几何体中垂直

关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理,

找出足够的条件进行推理.

12.y/2

【分析】设。到直线/的距离为"，利用三角形的面积均不小于立列不等式，由此求得d的取值范围，再利用点到

4

直线的距离公式转化为关于肛上的不等式.根据4的取值范围，求得机的取值范围，由此求得关于。力的不等式，结

合导数求得b-2a的最大值.

?

【详解】设。到直线/的距离为4则5A。/,=；x2^/^^•dN手，

解得，立，即:《苦=4。，

2227^+12

所以'拒不4m4叵厄口,

22

因为&w[a,5],m>0时，

;扬+1,

max

所以L亚币4m,

22

因为存在旭>0满足条件，

所以1^/^IT4且^/7Ti,

22

化简得贵一至41,S.0<a<b,

22

答案第6页，共13页

由~2'-4"1得〃<43a2+2，

所以J3a2+2-2〃=/(a),

因为“20,解不等式尸(。)=16a-2>0无解,

所以/(a)在［0,+8)上单调递减，

所以/⑷4〃0)=血.

故人-2a的最大值为42■

故答案为：历

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.

13.B

【分析】由题意可得命题P：-3Vx<3,命题q:-l<x<3.由(-1,3片(-3,3),可得结论.

【详解】解国<3,得-3Vx<3,.•・命题P：-3Vx<3.

解》2一2》-3<0,得-l<x<3,，命题q：-l<x<3.

(-1,3)<Z(-3,3),.-./7是q的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查充分必要条件，属于基础题.

14.C

【分析】根据直线与平面的关系判断A,根据线面平行、面面平行的性质判断B,由直线与平面相交即平面平行的

性质判断C,根据平面垂直的性质判断D.

【详解】如果直线/不平行于平面a,例如/ua,则平面a内存在与/平行的直线，故A错误；

如果直线/〃平面a,平面a//平面.，那么直线"/平面夕或/u6，故B错误；

如果直线/与平面a相交，平面a〃平面夕，直线/与平面夕也相交，故C正确；

如果平面C平面y,平面6,平面y,那么平面a〃平面夕或a与夕相交，故D错误.

故选：C

15.C

根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在不，x?eR,使得/(土产)=［也);fGO.

【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如/(tF)=/(0)=妙/工=?=0,存在；

②假设存在不相等4，x2eR,使得“七上)=即(后三尸=*立，得芭=%,矛盾，故不存在；

答案第7页，共13页

③函数为偶函数，/(0)=1,令/3为2-1|=0,x=土五，

则.”号也)“(。)=|=小乎也，存在.

故选：C.

【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，

属于中档题.

16.A

【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.

【详解】党员人数一共有6+10+9+8+7=40,学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8,

40x40%=16,那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16,17个数分别为8,9,所以第40百分位数是

$8.5

2

故选：A

17.(1)证明详见解析

⑵证明详见解析

【分析】(1)通过线面平行的判定定理证得MN〃平面PAB.

(2)根据通过证明AM，PD,CD±AM来证得4W2平面PCD.

【详解】(1)由于M,N分别为棱PQPC的中点，

所以MN//CD,由于四边形ABCO是矩形，所以CCV//W,

所以MN//AB,由于MNU平面小B,Mu平面

所以MV〃平面PAB；

(2)由于R4=A£>,M是尸。的中点，所以A"_LPE>.

由于平面24。_L平面ABC。且交线为AO,

CDu平面ABC。，CDA.AD,所以CDJ■平面PAD,

由于A"u平面PAD,所以

由于叩cCQ=£>，尸£>,CDu平面PCD,

所以401平面PCD

18.(1)证明见解析；

(2)存在。=；,6=11.

答案第8页，共13页

【分析】⑴由数列｛《,｝的前”项和为S“=3/+5〃，可求得%=6〃+2,neN\再由等比数列的定义证明即可.

⑵根据题意可求得a=2"6〃，k)g.2=(9-6〃)k)g42,代入%=logm+b中得6几+2=-6献叫2+9嗨2+),只需

6=-61og2

满足以2=9砥r姮t即可,从而求解时的值即可•

【详解】(1)解：证明：因为数列｛4｝的前〃项和为S“=3"+5〃,

所以当〃=1时，q=E=3+5=8,

当“22时，S,i=3(〃-1)2+5(〃-1),

所以a,,=S“-S“_|=3〃2+5〃-3("-1)2-5("-1)=6,I+2,满足q=8,

所以数列｛4｝的通项公式为。“=6〃+2,〃eN*,

所以a“+i=6("+1)+2_6〃_2=6,“sN",

所以｛%｝是等差数列；

(2)解：因为a=642,1，

所以f

所以数列｛4｝是以8为首项，2为公比的等比数列，

所以〃=8•(上产=2"6"；

64

所以log.b„=log.29-6"=(9-6n)log,,2,

要使对一切正整数〃都有4=1。&也+。成立.

即6〃+2=(9-6〃)log“2+b,

即6〃+2=-6nlog“2+9log42+b,

_1

6=-6log,,2,解得一=2

所以

2=9loga2+b

故存在常数a,b,当a==U时，对一切正整数"都有%=log,,6,+b成立.

19.⑴卬⑻=8a.5-4c；se+[64.(^._e),cos^efo,^

⑵AM=46米

答案第9页，共13页

【分析】(1)总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得CN=16(]-e),而切线长MN需构造直角三角形或借助

坐标求解，最后由线段长为正，可得cos。的取值范围；

(2)利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案.

【详解】(1)解：过N作48的垂线，垂足为F,过M作N尸的垂线，垂足为G,

在RtZXBNF中，B尸=16cos(9,则MG=AF=20—168S。，

20—16cose

在RtMNG中,NMNG=9,则MN=

sin。

由题意易得CN=16

一……/小-20-16cos6〜71o=8〃.沙包+16a.

所以W⑹=2a-----------------+a•16

sin。)sin。

cos6^efo,^j；

(2)解：沙⑻=&,•土萼”-16一8a(2cos。-?(8S"2),

''sin20sin2(9

令W'⑻=0,得cos"；,又ee(arccosg，3,所以

所以当e'arccosg,?时，卬'(6)<0,卬(。)单调递减；当匹仁,口时，卬'(6)>0,卬(0)单调递增.

所以当。=(时，总造价卬最小，最小值为116百+与>,此时MN=8&,NG=4出,N尸=8百，

所以当AM=4石米时，能使总造价W最小.

20.(I)x2+2y2=l(II)苧+8(HI)(V2,2)

k>

【分析】(I)把点A坐标代入椭圆的方程得a=l.由AO8的面积为正可知，、ab=立,解得从进而得椭圆C

424

的方程.

(II)设直线/的方程为y=依+1,"(x，y),N(七,%).联立直线/与椭圆C的方程可得关于尤的一元二次方程.△>0,

进而解得人的取值范围.

答案第10页，共13页

(Ill)因为A(1,O),P(O,1),M(々,y),N(x2,y2),写出直线AM的方程，令x=0,解得>=告.点S的坐标为

X|一1

0,二.同理可得：点T的坐标为0,分•用坐标表示PS，PT，PQ,代入PS=2PO,PT="0,得

.Ix2-i)

++l.同理M=.由(II)得西+W=—%々=；^~；，代入2+〃，化简再求取值

2

%-1x,-lx2-l2k~+l-2k+}

范围.

22

【详解】(I)因为椭圆C：3+当=1经过点41,0),

a'b'

所以°2=］解得4=1.

由.AQB的面积为迈可知，Lb上,

424

解得〃=正，

2

所以椭圆C的方程为/+2丁=1.

(H)设直线/的方程为y=^+l,M(XQJ,N(x2,y21

联立卜+2y=1,消整理可得：Q公+1卜?+4履+1=0.

y=kx+l'/

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以A=16二一4(2公+1)>0,解得产>g.

因为A>0,所以k的取值范围是f,+8.

(Ill)因为A(l,0),「(0/)，知(办方)，N(%,%).

所以直线AM的方程是：y=-24(^-9.

再一1

令x=0,解得y=―.

所以点s的坐标为(o,二

(、

同理可得：点7的坐标为。，二冬.

所以PS=0,R-l,PT=0,^2--1PO=(0,-l).

IX1-l)<x2-\

由PS=/IPO，PT="0,

答案第II页，共13页

可得：—T=T,=

X1-1x2-1

所以石—+]="+】.

X,-1X）-1

同理〃=”一^+1・

X2-l

4k1

由（II）得我"一两''=赤/

所以…—+2）女皿上+2

%1-1X2-\XjX2-（X,+X2）+1

2k-4Z+4公-2（2公+1）

\+4k+2k*2+\

Y+i）

+2

（"1）2

-占+2e（3'2）].2用

所以％+〃的范围是（灰,2）.

【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.

13

21.（1）极小值2—21n2,无极大值；（2）参考解析；（3）/w<-y

【详解】试卷分析：第一问，将4=0代入"X）中确定函数“X）的解析式，对“X）进行求导，判断“X）的单调性,

确定在X=；时，函数“