高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第17讲 直线的两点式方程（学生版）

第04讲直线的两点式方程课程标准学习目标①理解与掌握两点确定一条直线的公理。②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。③理解与掌握直线的截距式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方程。通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题.知识点01：直线的两点式方程已知条件（使用前提）直线上的两点，（，）（已知两点）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在且不为0；当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则线l的方程为，整理得，所以直线l的方程为.故选：D.知识点02：直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为图示点斜式方程形式适用条件，直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）过两点的直线方程是()A．

B．

C．

D．【答案】C【详解】根据直线的截距式可知直线方程为：故选：C知识点03：中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）的三个顶点是，，，求：边BC上的中线所在直线的方程；【答案】（1）【详解】（1）BC的中点坐标为则边BC上的中线所在直线的方程为；题型01直线的两点式和截距式方程辨析【典例1】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．点斜式可以表示任何直线B．过、两点的直线方程为C．直线与直线相互垂直．D．直线在轴上的截距为【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D．过两点的直线方程为【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．不能表示过点且斜率为的直线方程B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为C．直线与轴的交点到原点的距离为D．过两点，的直线方程为【变式2】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（

）A．过定点的直线都可用方程表示B．过定点的直线都可用方程表示C．过任意两个点，的直线都可用方程表示D．不过原点的直线都可用方程表示题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）【典例1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过两点和的直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·江苏·高二假期作业）已知，，，在中，(1)求边所在的直线方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·高三课时练习）经过点和点的直线方程是______.【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点)，，则过点且过线段的中点的直线方程为______题型03直线的截距式方程【典例1】（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B． C． D．或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在轴上截距与在轴上截距之和为6的直线方程为______________.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B．C．或 D．或【变式3】（2023·上海·高二专题练习）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：在轴上的截距分别为，.题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题【典例1】（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点作直线，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【典例2】（2023·全国·高二专题练习）若直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线的方程为________.【典例3】（2023·高三课时练习）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为.(1)求中过，边上中点的直线方程；(2)求的面积.【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如图所示，已知是以为底边的等腰三角形，点，，点在直线：上．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）设直线与轴交于点，求的面积．【变式1】（2023·高二课时练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．【变式3】（2023春·高二单元测试）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.【变式4】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）设直线的方程为.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值.题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______．【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程．【典例4】（2023·高二课时练习）已知一条动直线，(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：（1）若直线的斜率是2，求的值；（2）当直线与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程为．(1)若直线的倾斜角为，求的值；(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．【变式3】（2023·高二课时练习）已知直线过点．(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；(2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值．题型06重点方法（分类讨论）【典例1】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【典例2】（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知的顶点，，．(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程．【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线经过点，求这条直线的方程．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点和点的直线在上的截距为（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023·高二课时练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（

）A．1 B． C．或1 D．2或13．（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（）A． B．C． D．4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20245．（2022·全国·高二专题练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（

）A． B．C． D．6．（2022秋·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．7．（2022·全国·高二专题练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．或 B．或或C．或 D．或或二、多选题8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（

）A． B． C． D．9．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（

）A． B．C． D．三、填空题10．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过点，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为__________．11．（2023秋·湖北孝感·高二统考期末）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.四、解答题12．（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：（1）边AC所在直线的方程；（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；（3）BC边上的高AE所在直线的方程.13．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，