2023-2024学年江苏省无锡市高三年级上册10月月考数学质量检测模拟试题（含答案）

2023-2024学年江苏省无锡市高三上学期10月月考数学质量检测

模拟试题

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合要求的.

1.设2=-l二+3白i，则在复平面内Z的共辗复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合屈=卜卜=lg(x-2)},N={y»=e'+1},则()

A.(^o,+oo)B.(l,+oo)C.[1,2)D.(2,+oo)

3.三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知且sin(a+^)=M，贝ijcos仁一“=()

4

D.

5

5.下列不等式中成立的是()

A.若a>b,贝!)。。2>儿2B.若a>b,贝I」/

C.若Q</><0,则D.若a>b,贝Ij/〉/

8=千，8c边上的高等于(8C,则cos/=(

6.在AABC中,

3>/10

A.D.---rVioD.3M

10101010

7.已知平面向量£=(百』)，W=i,a，石的夹角为60。,B+R卜内QeR),则实数/=()

A.±1B.1C.—1D.y

8.设函数/(x),g(x)在R上的导函数存在，且/'(x)>g'(x)恒成立，则当xe(a,6)时，下列不

等式中一定成立的是()

A../(%)>g(x)B../'(x)<g(x)

C.f(x)+g(a)>g(x)+/(。)D./(x)+g(6)>g(x)+〃b)

二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.“a>b”是的既不充分也不必要条件

B.在同一坐标系下，函数y=/(x-l)与函数y=〃l-x)的图象关于x=l对称

C.若cos?a+sin?夕=1,则a=£

D.y=log2'/+的最大值为_2

10.已知实数a,b>0,2a+b=4,则下列说法中正确的有()

A.有最小值3B.小+〃有最小值一

ah25

C.4a+26有最小值8D.Ina+lnb有最小值In2

11.已知函数/(X)及其导函数/'(x)定义域均为R,若/(r)=-〃x),f(x+2)=/(2-x)对任

意实数x都成立，则()

A.函数〃x)是周期函数

B.函数尸(x)是偶函数

C.函数/'(x)的图象关于(2,0)中心对称

D.函数/(2-x)与〃x)的图象关于直线x=2对称

12.在圆。的内接四边形Z8C。中，AB=2,BC=6,CD=D4=4,则()

A.BD=/jB.四边形48CD的面积为8百

C.AOBD=12D.就•丽=16

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分.

13.基函数/(x)=x"(aeR)满足：任意xeR有〃-x)=/(x),且〃一1)</(2)<2,请写出符

合上述条件的一个函数/(x)=.

14.在平面直角坐标系中，点工(2,1)绕着原点。顺时针旋转60°得到点B,点B的横坐标

为.

15.函数"X)=卜:+:0,方程〃x)=々(Z<o)有3个实数解，则k的取值范围为______.

1-2+Inx,x>0

16.在中，已知48=2,AC=6,NB4C=60。，BC,NC边上两条中线,8N相交于

点P,则NMPN的余弦值为.

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在△/BC中3C,CA,的长分别为a,b,c,试用向量方法证明：

(1)c=bcosA+〃cos8；

(2)c2—a2-\-h2—2abcosC.

18.已知函数/@)=丁+3/+秋+1,4，4分别是/(X)的极大值点和极小值点.

(1)若。=0,/(玉)=/(》3),占二%，求2网+%的值；

(2)若/(%)+/(9)45,求a的取值范围.

19.已知小8c的内角48,C的对边分别为a,"c,4=半，石=1。，c=6,小8C的内切圆/的

面积为S.

⑴求S的值；

(2)若点。在ZC上，且氏/,。三点共线，求丽.比的值.

20.已知/'(x)=21nx,g(x)=4/x2-eR).

(1)若/(x)与g(x)的图象相交于点P且/(x)与g(x)在点尸处的切线重合，求a的值；

⑵若/(x)<g(x),求4的取值范围.

21.已知函数/(X)=Nsin(<yx+0)(N>0,0>=0,阚<§的部分图象如图所示.

(1)求函数/(x)的解析式：

(2)证明：叫，x,eG，g),使得/a?)〈与巴成立.

63e1+3

22.已矢口函数/(x)=冽e"+(加一2)e'-x.

⑴当〃?=0时，求曲线y=/a)在点(0,/(o))处的切线方程;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)若/(x)有两个零点，求，〃的取值范围.

答案和解析

1.D

【分析】先求出复数z,再求其共朝复数口即可判断.

-l+3i_(-l+3i)(2-i)_17.

【详解】复数z=2+i-(2+i)(2-i)-5+51

-17

所以z的共粒复数z=w-]i，

所以在复平面内z的共轮复数对应的点位于第四象限.

故选：D.

2.B

【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.

【详解】集合"=k|y=lg(x-2)}={x|x-2〉0}={x|x〉2},即M=(2,+s),

e、+l>l，则N=(l,+o>),所以"UN=(1,+O>).

故选：B

3.C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.

【详解】当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为

等腰三角形，

当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，

所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件，

故选：C

4.B

【分析】由已知结合同角平方关系可求cos(a+g),然后结合诱导公式进行化简可求.

6

【详解】解：因为ae(05),

所以a+ge(H),

662

因为sin(a+工)=3,

65

所以cos卜+升产唱)|,

贝Ucos(--a)=cos(7T---a)--cos(^+a)=~

6665

故选：B.

5.D

【分析】对于A,B,C,结合特殊值法，即可求解，对于D,结合函数的单调性,即可求解.

【详解】对于A,当。=0时，/=而，故A错误，

对于B,当Q=1,b=T时、满足但/=从，故B错误，

对于C,当。二一2,6=-1时，满足。<6<0,但a?〉/,故C错误，

对于D,/(%)=/在R上单调递增，

•：a>bfA/(a)>/(A),即/>/,故D正确.

故选：D.

6.C

【详解】试题分析：设

2]

AD=a=>AB=>j2a^CD=2c^AC=yj~5a=>sina=cosa=-^~,sin/3='C°s°米=>cos,

考点：解三角形.

7.C

【分析】平方后由平面向量数量积的运算律求解，

【详解】因为.+南卜百QWR),所以同~+J+2f£・B=3.

即4+/+2/x2x1xcos60°=3，解得，=-1,

故选：C.

8.C

【分析】构造函数尸(x)=/(x)-g(x),利用导数与函数单调性的关系即可判断.

【详解】令尸(x)=/(x)-g(x),则尸(x)=/'(x)-g'(x)>0,

则尸(x)=/(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数，故尸⑷<尸(切<尸0),

则f(x)+g(a)>g(x)+f(a),/(x)+g伍)<g(x)+/(6),

所以C正确，D错误，A,B不一定正确.

故选：C.

9.ABD

【分析】选项A,利用充分性和必要性的概念判断；选项B：利用轴对称公式求解；选项C,利

用三角函数的概念判断；选项D：利用对数函数单调性判断即可.

【详解】选项A：“若。>6,则/>〃，，是假命题，因为1>_2,而12<(-2)2；

“若/>从，则a>6”是假命题，因为(-2/W,而_2<1,所以“a>b”是的既不充分也

不必要条件，A正确；

选项B：假设函数歹二/"-1)与函数歹=/(1-”的图象关于工二。对称，

则需满足/[(2"x)-l]=/(l-x),即/(2a-l-x)=/(l-x),

所以2a-1=1,解得。=1,

即函数y=/(x-1)与函数y=/(「x)的图象关于x=l对称，B正确；

选项C：当a=；,£=看■时，cos2a+sin215=1成立，因此cos2a+sin20=I成立，不一定有a=0,

C错误；

选项D：因为函数P=bg2,的定义域为(0,+s),且在(0,+e)上单调递增，

11

所以当*+；4即“。时，函数广噫*+；取得最大值噫「2

4-4-

故选：ABD

10.BC

【分析】根据基本不等式、配方法，结合指数运算、对数的运算性质逐一判断即可.

【详解】因为实数a,b>0,2a+b=4,

所以有

1,01公b2ay1rcb^3+2V2

4、J[a刈41abi4(b)4

当且仅当2=当时取等号，即当。=4-2近,6=4&-8时取等号，

ab

故选项A不正确；

因为2a+b=4,

所以4y+(4一24=5,一］+1,当。=|>0时，/+〃有最小值故选项B正确;

4"+2"22"J2b=2yj2""b==8，当且仅当4"=2"时取等号，即。=l,b=2时取等号，故选

项C正确；

因为实数a,b>0,2a+b=4,

所以In.+ln6=ln(a6)=ln[a(4—2a)]=ln|^-2(iz-1)'+2^,

当a=l>0,b=2>0时，lna+皿有最大值ln2,因此选项D不正确，

故选：BC

11.ABC

【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期性，再根据导数运算确定导函数/'(x)的奇偶

性与对称性即可判断，由函数对称性可确定函数/(2-x)与/(x)的图象的对称轴.

【详解】解：由题/(r)=-/(x)o/(x)为奇函数o/(x)关于原点对称，由于

〃2+x)=/(2-x)o/(x)关于x=2对称，所以〃x)=/(4-x)

贝iJ-/(-x)=/(4-x),故-/(x)=/(x+4),即-/(x+4)=〃x+8),

所以〃x)=/(x+8),即/(x)是周期为8的周期函数，故A对；

因为/(-*)=-/Q),所以即一/'(f)=-/'(*),即为(-x)=f(x),

即/(X)为偶函数，故B对；

因为/(2+x)=/(2-x),.•.八2+x)=-/，(2-x),即为(2+x)+八2-劝=0,

•••/(x)关于(2,0)对称，故C对；

函数/(2-x)与函数〃x)的图象关于直线x=l对称，故D错.

故选：ABC.

12.BD

【分析】连接8。，由四边形为圆。内接四边形，可得/&4。+/88=兀，接着由余弦定

理求出5。可判断A；从而得/BCD,ZBAD,再利用三角形面积公式即可求出四边形N8CQ的

面积可判断B；利用向量数量积的求出而.而，X.丽即可判断CD.

【详解】如图，连接8。，♦.•四边形N88为圆。内接四边形，

:.NBAD+NBCD=n,又AB=2,BC=6,AD=CD=4,设=

/.cos/BAD+cosZ.BCD=0,

.4+16-Z216+36"八

2x2x42x4x6

解得f=2近，故A错误；

16+36—28]_

/.cos/.BCD=

2x4x62

ZBCD=-,：.ZBAD=—,

33

二四边形/BCD的面积为与/即+工属。=；x2x4xsing+；x4x6xsing=8G,故B正确；

AO-BD=A0-(AD-AB}=AO-AD-AO-AB=ADx-AD-AB--AB^4x2-2xl=6,故C错误;

v>22

ACBb=(OC-OAyBD=OCBD-OA~BD=-CdBD+Ad'BD,

^CdBD=Cd{CD-CB^=CdCD-CdCB=4x2-6x3=-\0,

记丽=-西•丽+荷・丽=104-6=16，

D选项正确.

故选：BD.

2

13.XJ（答案不唯一）

2

【分析】取/（工）=必，再验证奇偶性和函数值即可.

222

【详解】取/（%）=工59则定义域为R，且/（—%）=（—（，=/=f（力

2

〃T)=1，〃2)=2、也，满足/(-l)</(2)<2.

故答案为

,4-1+T

12

【分析】根据三角函数定义求得sine=-i=,cosex=-f=确定08与x轴正半轴的夹角为a-60",

15V5

结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.

【详解】由题意得|0*=万］=6,

12

设。1与x轴正半轴的夹角为a,则sina=7^,cosa=］^,

则与x轴正半轴的夹角为a-60。，

’211VT爽

故点8的横坐标为V5cos(a-60)=V5x-f=X-H--十X--

[逐2石2J2

故K

15.(-4,-3]

【分析】根据给定条件将方程/卜)=4的实数解问题转化为函数y=/(x)的图象与直线y=〃的交

点问题，再利用数形结合即可作答.

【详解】解：方程/(》)=上有3个实数解，等价于函数y=/(x)的图象与直线y=%有3个公共点,

因当x40时，/(x)在(-8,-1］上单调递减，在［-1,0］上单调递增，/(-1)=-4,/(0)=-3,

当x>0时，/(x)单调递增，〃x)取到一切实数，

由图象可知，当。<々4-3时，函数y=/(x)的图象及直线y=£有3个公共点,

方程，(x)=&有3个解，所以左的取值范围为(T-3].

故（-4,-3].

115/91

16.

182

【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

【详解】由已知得即为向量两与丽的夹角.

因为M、N分别是8C,/C边上的中点，所以两=；（方+就），BN=AN-AB=^AC-AB.

又因为"就=2x6xcos60"=61所以而.丽=；画+正）就-万）

I--21-21----------1,1,111

=_AC—AB—AC-AB=_x6"—x2"—x6=—

4244242

17.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】根据线段的几何关系有方=配+而，

(1)将上式两边点乘而，结合平面向量数量积的运算律及其定义，即可证结论.

(2)将上式两边平方，应用平面向量数量积的运算律及定义，可证结论.

【详解】(1)=7c+c5,

・••丽,丽=(就+而)•而,BP|12=|JC|-|ZB|cos4+\CB\\AB|COSB,

c2=bccosA+accosB,则。=bcos/+acos8；

(2)VJ5=3C+C5,

(AB)2—(74C+CB)2=(JC)2+(CB)2+2JC,CB,即c2=b2+a2+2/?,acos(180°—Q,

c2=a?+b?-2abeosC.

18.（l）2Xj+x3=-3

⑵”<3

【分析】(1)对/(x)求导，求出玉和巧，利用/(%)=/G)=5,求出W，从而求出答案；

(2)对〃x)求导，根据王，演分别是/(x)的极大值点和极小值点，得到士,々是方程/'(x)=°

的两个不相等的实根，化简/(再)+/(々)，最终求出答案.

【详解】(1)当。=0时，/(X)=X3+3X2+1,

所以r(X)=3/+6X=3X(X+2),

令/'(x)=0,得x=0或x=-2.

列表如下：

X(-8,一2)-2(-2,0)0(0,+纥)

/'(x)+0-0+

/极大值极小值/

所以/(x)在x=-2处取极大值，即占=-2,且/(再)=5.

由/(占)=/(七)=5,所以x：+3x；+l=5,即x；+3x；-4=0,

所以(X3—1)(x3+2)=0.

因为玉rx,,所以X3=1,

所以2占+七=-3.

(2)由/'(x)=3，+6x+a,因为当，巧分别是〃x)的极大值点和极小值点，

所以为，巧是方程/'(力=0的两个不相等的实根，且A=36-12a>0,即。<3,

X|+w=-2,

所以，a

X\X2=--

因为/(%)+/(12)=(X+3]+〃再4-1)+(£+3,+ax24-1)

=(X]+12)[(工1+%2)"-3中2]+3[(工1+%2)2-2x,x2^+6/(^1+X2)+2

=(-2)(-2)2-3X1+3(-2f-2x+张92卜2=6-2Q,

因为/(演)+/卜2)45,所以6-2。<5,解得〃之；.

综上，—<a<3.

2

19.(1)3)

(2)105

【分析】（1）先利用余弦定理求出。=14,然后利用等面积法求出内切圆的半径，然后求出S即可;

AH__7__3__

（2）显然8。平分/月8。，然后利用角平分线的性质可得4器R=告，然后得木历l+^8C,

最后计算而.前即可.

【详解】（1）在“18C中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos^

...a?=100+36+60=196，即。=14

设内切圆/的半径为「，则％Bc=；・（a+6+cX=g6csin与

r=y/3S=71rl=3n

(2)在“5C中，由(1)结合余弦定理得cos//8C=U,

14

SAB

Q8。平分N/8C,.•.点。到的距离相等，故产

'△CBD

SARDADABAD377K7-^―：3

而一^也=——=—=-:.BD=—BAH-BC

“SCRDCDBCCD71010

:.BDBC=—BABC+—BC2=—x6x!4x—+—xl42=105

1010101410

20.⑴a=|

(2)aw(|,+8)

【分析】（1）设出切点的坐标，利用导数的几何意义求解得出结论;

（2）利用（1）的结论,证明〃x）M2x-2<g⑺即可求解.

【详解】（I）设切点P（f,21n/）,f>0,

2

对两个函数分别求导有/'(x)=:,g'(x)=2or-l,

因为/(x)与g(x)的图像相交于点p,且〃x)与g(x)在点尸处的切线重合,

21

所以一=23一1,又21nt=—7――,

t2

3

联立解得f=l,〃==.

2

3

(2)由(1)可知，当。=工时，

/⑺与g(x)在点尸(L0)处的切线重合，此时/(x)=g(x)，

又/(x)在尸(1,0)处的切线方程为夕=2x-2,

令9(x)=/(x)-2x+2,则”(X)=2_2=^^,

XX

易得X£(0,1)”(X)>0,XW(L+OO),夕'(工)<0,

所以。(x)在(0,1)上单调递增，在(L”)上单调递减,

所以9(x)〈e(l)=0,可得2,

令〃(X)=6LV」_x-5_(2x_2)=cix~-3x+—

当〃(x)>0时，才有/(x)«2x—2<g(x),

3

又对称轴*=/，

2a

当a>0时最小值等于43]=：-；>0,解不等式得a>：,即aee+8

12aJ24a2U

当a40时，g(x)与切线方程y=2x-2相交，则〃x)<g(x)不成立；

由综上所述，敏修+8).

21.⑴/(x)=sin(2xq)

(2)证明见解析

【分析】(1)由图象可以得到43,0,由此可以得到函数/(x)的解析式;

任,1_也

(2)对£不=二一7进行变形，再利用基本不等式；确定巧的取值范围，再求出跟已知区间的

e-1H---

eVl

交集，从而说明太i，々，使得/（超）＜£^成立•

【详解】（1）由题意可得.”=1，；T=£7T一7E==7£T得7=万，0=2,

43124

由/图=5亩[＞“=0,因为网《，所以。=嗫

所以/（x）=sin（2xq）

（e万）V3ex,_V3

（2）证明：因为三七’"2丁了§/静==二~赘，

ex,

又因为e%＞0,所以226

eX|

也,Ia

所以二X不，当且仅当眇=/，即xfn宕时取到

ex,1

又因为In及'＜In百＜Ine,即5＜m石＜1,所以InJJe（n）

出.1

所以一二4不成立.

X.+—X

e”

要存在再，Xzju],使/优）＜~^^—成立，只需存在XZ/K

163Jve2X|+3163

使得〃X2）＜；，即疝卜一看卜;

所以空+2日＜2x,-工〈包+2日

6-66

解得：左万+^＜々（左乃+今，（％eZ）

即％w（4乃+gk兀+,）（左wZ）与多€（宗号）有交集,

所以存在X],x2右仁。）•使/（工2）＜弋e台成立.

22.⑴3x+y+2=0

⑵当"740时，/（X）在（-00,+8）上单调递减

当相＞0时，/（X）在（-00,-ln,〃）单调递减，在（Tn,%+8）单调递增.

(3)(0,1)

【分析】(1)先求出”0),在利用导函数求出了'(0),即为曲线y=/(x)在点(0,”0))处的切线斜

率，再利用点斜式即可求出切线方程.

(2)先对/(X)求导，化简，再分m