2023-2024学年江苏省南京市高二年级上册期末数学模拟检测试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学模拟检测试题

一、单选题

1.在等比数列｛叫中，q=3,公比4=2,则4=()

A.24B.48

C.54D.66

【正确答案】A

【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.

【详解】4=4。"=3x2'=24.

故选：A

2.曲线y=4在点(LI)处的切线与直线V=日平行，则实数Z=()

A.—2B.—cD.1

2∙⅛

【正确答案】C

【分析】根据导数的几何意义求解.

【详解】y'=3ɪ,χ=ι时，”=；所以衣=ɪ.

故选：C.

3.已知平面ɑ的一个法向量吗=(3,0,2),平面〃的一个法向量%=(2,1,6),若a，/7,则;I=

()

9

A.-B.4C.-1D.1

2

【正确答案】C

【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计

算即可得到结果.

【详解】因为则可得n,_L%,

且“i=(3,0"),n2=(2,I,6),

则可得6+62=0,解得4=一1

故选:C

4.若直线3x+4y+∕n=0与圆f+y2-2y=0相切，则实数W取值的集合为()

A.{~^1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8,2}

【正确答案】B

【分析】根据题意，由直线与圆相切可得”=厂，结合点到直线的距离公式，代入计算，即

可得到结果.

【详解】由圆/+y2-2y=0可得/+(yT)2=],表示圆心为(0,1),半径为1的圆，

则圆心到直线3x+4y+相=0的距离d='+时,

√32+42

因为直线3x+4y+m=0与圆£+9一2旷=0相切，

所以d=r,即-1，解得W=I或加=-9,

√32+42

即实数加取值的集合为{-9,1}

故选:B

5.己知A：+C：=30,则〃=()

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】C

【分析】利用排列数、组合数公式得到3"("-l)=30,解方程即得解.

2

【详解】解：A：+C：=〃(〃-\)+^^=3"("T)=3O,整理得"_〃_20=0,

解得〃=-4(舍)，n=5.

故选：C.

6.函数y=/(χ)的导函数y=F'(χ)的图象如图所示，则函数y=/。)的图象可能是

【详解】原函数先减再增，再减再增，且X=O位于增区间内，因此选D.

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与X轴的交点为飞,

且图象在与两侧附近连续分布于X轴上下方，则％为原函数单调性的拐点，运用导数知识来

讨论函数单调性时，由导函数/(X)的正负，得出原函数/(X)的单调区间.

7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安

排方式共有()

A.12种B.18种C.24种D.36种

【正确答案】D

2

【详解】4项工作分成3组,可得：C4=6,

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

3

可得：6x4=36种.

故选D.

8.已知数列｛q｝首项为2,且%M-4,=2"M,则4,=()

A.2"B.2n^'+1C.2"-2D.2"+'-2

【正确答案】D

【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.

【详解】由已知得4τ-α,,=2"∣,a,=2,则当〃≥2时,有

aa=aaaa-12

n-∖(n_n-∖)+(,,-l~。"-2)++(2ɑi)=2"+2"++2,

2(1-2"]

1∖J_y+1_2

an=T+T-'+--+2+aλ=2"+2"，…+22+2=

1-2

经检验当"=1时也符合该式.∙∙∙α.=2"*∣-2.

故选：D

二、多选题

9.下列四个选项中，不正确的是（）

A.数列…的一个通项公式是%=—j

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列1,-1,L-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列

D.数列…，3是递增数列

242n

【正确答案】ACD

1ɔ

【分析】由4=5可判断A；由数列的通项公式以及〃∈N*可判断B；由数列定义可判断

C；

由递减数列定义可判断D.

n12

【详解】对于A,当通项公式为〃〃=—；时，α1=→f,不符合题意，故选项A错误；

对于B,由数列的通项公式以及“eN*可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确;

对于C,由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；

对于D,数列占是递减数列，故选项D错误.

24In

故选：ACD.

10.下列结论中正确的有（）

TT

A.若y=sin§,则V=OB.若/(x)=3/-尸⑴X,则尸(1)=3

若则

C.y=-4+x,V=-*+lD.若y=sinx+cosx,则y'=cosx+sinx

【正确答案】ABC

根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.

【详解】选项A中，若y=sinC=且，则y'=0,故A正确；

32

选项B中,若/（刈=3/_/⑴.",贝IJr（X）=6%-/⑴，

令x=1,则/⑴=6-尸⑴,解得尸⑴=3,故B正确;

选项C中，若y=-J7+x,贝Uy'=-5^+1，故C正确；

选项。中，若y=sinx+cosx,贝1Jy'=cosx-sinxχ,故£)错误.

故选:ABC

1.常见的基本初等函数的导数公式

d)(C),=O(C为常数)；

,l

(2)(x")=n√"(n∈N+);

(3)(Λ7MV)'=COSX；(coSXy=-SinX；

(4)(ev)-ex；(优)=axlna(a>0,且4x1)；

(5)(Inx)'=-；(IogaX)'=Lk>gile(a>0,且"1).

XX

2.常用的导数运算法则

法则1：["(x)±v(x)了="'(x)土M(X).

法则2：[u(x)v(x)]-u'(x)v(x)+u(x)vf(%).

法则3：[里b3号*Io)

V(X)Ir(X)

11.已知7名同学排成一排，下列说法正确的是()

A.甲不站两端，共有AX,种排法

B.甲、乙必须相邻，共有用用种排法

c.甲、乙不相邻，共有&&种排法

D.甲不排左端，乙不排右端，共有4-24+用种排法

【正确答案】AD

【分析】A选项通过特殊元素法判断；B选项利用捆绑法判断；C选项利用插空法判断；D

选项用总情况减去不满足的情况即可.

【详解】A选项：甲不站两端，甲有A；种，剩余6人全排，共有AM:种排法，正确；

B选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有8种，作为整体和剩余5人全排，共有种排

法，错误;

C选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有父种，再把甲、乙插入6个空中，共有小父种排

法，错误；

D选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在

左端同时乙在右端的，

共有禺-2魔+九种排法,正确.

故选：AD.

12.如图，在四面体。ABC中，点M在棱04上，且满足OM=2M4,点N,G分别是线段

BC,MN的中点，则用向量,OB.OC表示向量中正确的为（）

A.GN=--OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

344344

113

C.GM=-OA+-OB+-OCD.GM=-OA--OB--OC

232344

【正确答案】AD

【分析】连接。N,利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可.

【详解】连接QN,

因为点N,G分别是线段BC,MN的中点,

所以OG=IOM+1。N,X2OA+_LXI(O8+oc),

222322

化简可得OG=!θA+!θB+JθC,故B错误；

344

所以GN=ON-OG=；(O8+OC)VOA+”8+；OC)=-g0A+；08+；OC,故A正确

GM=GO+OM=--OA--OB--OC+-OA=-OA--OB--OC,故C错误，D正确；

3443344

故选.AD

三、填空题

13.已知42,1,3)、B(-4,2,x)、C(l,-X,2),若向量04+。B与OC垂直(。为坐

标原点)，则X等于

【正确答案】4

【分析】由向量垂直的坐标表示求解.

【详解】OA=(2,1,3),OB=(^,2,x),OC=(1,-x,2),

∙'∙OA+OB=(-2,3,%+3),

向量。4+08与OC垂直，

.∙.(OA+OB)∙OC=-2-3X+2X+6=0,

:.x=4.

故4.

四、双空题

14.已知函数"x)=l°g'(τ2+4x-3),则函数的单调递增区间是,值域为.

2

【正确答案】[2,3)[0,+oo)

令，=-f+4χ-3>0,求得函数的定义域，根据/(x)=∣°gj在其定义域内为单调减函数，

2

求函数/(x)=l°g∣(-x'+4x-3)的单调递增区间转化为求函数f在定义域内的减区间，再利

2

用二次函数的值域求整个函数的值域.

【详解】解：令f=-χ2+4χ-3>0,可得l<x<3,故函数的定义域为(1,3).

因为/(x)=lOgj在其定义域内为单调减函数，

2

故求f=-d+4x-3在定义域内的减区间，又函数，在定义域内的减区间为23),

所以函数/"^^/—/+©/，的单调递增区间为⑵],

2

当XG(1,3)时，f=*+©一3∈(0,l],则F(X)=IOgJeQy),

即函数/(X)=1°g∣(-χ2+4χ-3)的值域为[0,+8).

2

⅛[2,3);[0,+∞).

本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属

于基本知识的考查.

五、填空题

15.求和：5n=l+(l+^)+(l+→^)+l+y+^-+^+...+(l+→→...+

【正确答案】2〃+击—2

【分析】先化简数列4=2L

结合分组求和法即可求解.

【详解】被求和式的第Z项为:

所以Sn=2(l-3+(l-

2

故2〃+击-2.

16.如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部

分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有种(用

数字作答)

【正确答案】260

【分析】先分1,3相同与1,3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2,4相同或不同

两类求解，然后再分类计数原理求和.

【详解】根据题意：当1,3相同时，2,4相同或不同两类，有：5X4×1×（1+3）=80种,

当1,3不相同时，2,4相同或不同两类，有：5x4x3x（l+2）=180种,

所以不同的种植方案共有80+180=260种，

故260

本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.

六、解答题

17.已知等比数列｛%｝的首项为2,前"项和为S“，且2邑-353+5,=0.

⑴求％;

⑵已知数列也｝满足：bn=nan,求数列出｝的前〃项和Z,.

【正确答案】（I）”,,=2"

⑵7>（〃-1>2叫2

【分析】（1）根据题意，由2S2-3S3+S4=0可得公比q,再由等比数列的通项公式即可得

到结果；

（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.

【详解】（1）设等比数列｛%｝的公比为4，

因为2S?-3S3+邑=0,所以2（S2-S3）+S&-S3=0,

所以%=2%,所以4=2,所以％=α"'T=2".

n

(2)由(1)得，b,l=n×2,所以(=1x2+2x22++n×2",……①

所以21=1x22+2x23++(n-l)×2,,+n×2"+',......②

~c小2x(1—2")

①-②，得_北=2+2?++2,,-M×2,,+'=―i------^-n×2n+l=(l-n)×2"+'-2>

所以r=(nT)∙2"+∣+2.

18.已知双曲线=l(a>0,b>0)的实轴长为4,一个焦点的坐标为-卜26,0).

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知斜率为1的直线/与双曲线C交于A,8两点，且IAM=46,求直线/的方程.

【正确答案】(1)—-ɪ=1!(2)y=x±]

48

【分析】(1)由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由。，b,C之间的关系求出匕，进而求出

双曲线的方程；

(2)由题意设直线A8的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长I

的值，再由题意可得参数的值，即求出直线AB的方程.

【详解】(1)由勿=4得a=2,又c=26,则〃=C=Y=8,

故双曲线的方程为

48

(2)设直线/的方程为y=x+m,代入双曲线方程可得f-2"7x-/一8=0,

2

设A(XI,χ),B(X2，%),则玉+支2=2加，xlx2=-W-8.

1

因为I481=0∙y∣(xl+x2)-4xyx2=4√5,

所以√LJ4W-4x(-病-8)=4JW+4=4后,解得机=±1,

所以直线/的方程为y=χ±i.

19.从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能

组成多少种信号？

【正确答案】24

【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得.

【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成C：A：=24种信号.

20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年

的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度X(单位：cm)满足关系：

40

C(X)=W^(I≤X≤1O),设AX)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求F(X)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用/(χ)达到最小，并求最小值.

Q∩∩

【正确答案】⑴/(X)=吃∕6x(14x≤10)

(2)当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元.

【分析】(1)根据已给模型确定函数解析式；

(2)利用导数求得最小值.

【详解】(1)每年能源消耗费用为C(X)=4，建造费用为6x,

3x+5

OAΛ

.∙.∕(x)=20C(X)+6X=+6Λ∙.(1≤X≤10).

ʃ,/ʌ,240025

(2)/(x)=6-K~-y,令f'(x)=O得x=5或(舍).

(3x+5)3

.♦・当ι≤x<5时，∕,ω<o,当5<x≤10时，f,(x)>O.

∙∙∙∕(x)在［1,5)上单调递减,在［5,10］上单调递增.

・・・当x=5时，/(x)取得最小值/(5)=7().

••・当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元.

21.三棱柱ABC-ABe中，Aβ=AB1=AA1=AC=2,ZBAC=120,线段A4的中点为",

S-BClAM.

⑴求证：AMjL平面ABC；

2

(2)点尸在线段4G上，且=求二面角P-4A-A的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵警

【分析】(1)由TW_LA〃、BC_LAM根据线面垂直的判定定理可得AM上平面ABC；

(2)以A为原点，以AMAC.AM所在的直线为X、'Z建立空间直角坐标系，求出平面

BlAAi、平面PMA的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.

【详解】(1)三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∕∕A∖B∖,

在aAB∣A中，AB1=AA1,线段A4的中点为M,所以/!,耳,人〃，所以

因为BCj-AM,BCU平面ABC,ABU平面ABC,ABcBC=B,AB.BC⊂5FffiABC,

所以AM工平面ABC；

(2)做4V_LAC交BC于N点，

以A为原点，以AMAC.AM所在的直线为X、八Z建立空间直角坐标系，

则A(0,(),0),β(√3,-I,θ),B1等,-1,6,

C(0,2,0),Λ∕(θ,θ,√3).

所以阴=惇-g,√5,BC=(-√3,3,θ),AM=(θ,O,√3),

因为=WBC=J",2,θ],所以Pjg,士6],

3313)<62J

所以AP=-⅛,<,√3,

O2,

“ι∙AB∣=Vxl-gy∣+石Zl=O

设平面MAAI的一个法向量勺=％,zJ,贝小

nλ∙AM=∖∕3zl=0

解得z∣=0,令X=JL则%=1,所以“∣=(1,0,0),

∏2.AP=­~~X)+5%+—0

设平面PBm的一个法向量n=(x,y,z),则•

2222=x

n2∙AB1~^~2一；%+Cz2=0

令必=6，则*2=3,z2=-1,所以n2=(3,6,-1),

设二面角尸一与A-A的平面角为e(o≤e≤i80),则

nxn2_6_3Λ∕13

CoSe=CoS（勺,〃2

匐同2×V1313

由图知二面角P-B1A-A.的平面角为锐角，

所以二面角P-B1