人教A数学必修二教案 第二课时 平面与平面垂直的判定

第二课时平面与平面垂直的判定

(-)教学目标

.1.知识与技能

.(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两

个平面互相垂直”的概念；

..(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

.(3)使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.

.2.过程与方法

.(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

(2)类比己学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.

.3.情态、态度与价值观

,通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从

中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.

.(-)教学重点、难点

,重点：平面与平面垂直的判定：

.难点：如何度量二面角的大小.

.(三)教学方法

,实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.

.教学过程教学内容师生互动设计意图

问题1:平面几何中“角”学生自由发言，教师小

是怎样定义的？结，并投影两个平面所成角的

"问题2：在立体几何中，“异实际例子：公路上的表面与水复习巩

新课导入

面直线所成的角”、“直线和平平面，打开的门与门椎所在平固，以旧导新

面所成的角”又是怎样定义的？面等，怎样定义两个平面所成

它们有什么共同的特征？的角呢？

一、二面角教师结合二面角模型，类通过模

1.二面角比以上儿个问题，归纳出二面型教学，培养

„(1)半平面角的概念及记法表示(可将角学生几何直

.平面内的一条直线把平面与二面角从图形、定义、构成、观能力，通过

分成两部分，这两部分通常称为表示进行列表对比).类比教学，力口

半平面..师生共同实验(折纸)思深学生对知

.(2)二面角考二面角的大小与哪一个角识的理解.

,从一条直线出发的两个半的大小相同？这个角的边与

探索新知平面所组成的图形叫做二面角二面角的棱有什么关系？通过实

(dihedralangle).这条直线叫做.生:过二面角棱上一点。验，培养学生

二面角的棱，这两个半平面叫做在二面角的面上分别作射线学习兴趣和

二面角的面.与二面角的棱垂直，得到的角探索意识，

.(3)二面角的求法与画法与二面角大小相等.加深对知识

,棱1X.师：改变0的位置，这的理解与掌

为AB.个角的大小变不变.握.

面分别.生：由等角定理知不变.

2

为a、夕的二面角记作二面角

a-AB-/3.有时为了方便，

也可在a,4内(棱以外的半平

面部分)分别取点P、Q,将这个

二面角记作二面角P-AB-Q.

如果棱记作/,那么这个二面角

记作二面角6或P-/-

Q.

,2.二面角的平面角

.如图(1)在二面角a-c-尸

的棱/上任取一点。，以点。为

垂足,在半平面a和〃内分别作

垂直于

棱/的射

线。4和

射线0A和0B构成的ZAOB叫

做二面角的平面角.

(2)二面角的平面角的大

小与0点位置无关.

(3)二面角的平面角的范

围是[0,180°]

(4)平面角为直角的二面

角叫做直二面角.

二、平面与平面垂直

J.平面与平面垂直的定

义，记法与画法.

.一般地，两个平面相交，

如果它们所成的二面角是直二学生自学，教师点拔一

培养学

面角，就说这两个平面互相垂下注意事项.

生自学能力，

直.师：以教室的门为例，

通过实验，培

.两个互相垂直的平面通常由于门框木柱与地面垂直，那

探索新知养学生观察

画成此图的样子，此时，把直立么经过木柱的门无论转到什

能力,归纳能

平面的竖边画成与水平平面的么位置都有门面垂直于地面，

力，语言表达

横边垂直.平面a与£垂直，记即请同学给出面面垂

能力.

作aJ■厂.直的判定定理.

.2.两个平面互相垂直的判

定定理，一个平面过另一个平面

3

的垂线，则这两个平面垂直.

例3如图，48是。。的直师：平面与平面垂直的判

径，PA定方法有面面垂直的定义和

垂直代、

面面垂直的判定定理，而本题

于。。二面角4-PC-B的平面角

所在卜二洛

不好找，故应选择判定定理，

的平J°J而应用判定定理正面面垂直

面，c的关键是在其中一个平面内

是圆周上不同于A、B的任意一找（作）一条直线与另一平面

点，求证：平面PAC_L平面PBC.垂直，在已有图形中BC符合

,证明：设。。所在平面为解题要求，为什么？巩固所

a,由已知条件，学生分析，教师板书学知识，培养

PAJ_a,BC在a内，学生观察能

典例分析

.所以PA1BC.力，空间想象

，因为点C是圆周上不同于能力，书写表

A、3的任意一点，A3是（D。的达能力.

直径，

.所以，ZBCA是直角，即

BC±AC.

又因为PA与AC是△PAC

所在平面内的两条直线.

所以BC_L平面PAC.

又因为BC在平面PBC内，

所以，平面PACJ.平面

PBC.

1.如图，正方形SGiG2G3

中，E,尸分别是GG，G2G3

的中点，。是EF的中点，现在

沿SE,S尸及

EF把这个正s尽工----

方形折成一

个四面体，使\次］

Gl,Gl,G3G,-----£-Gj

三点重合，重巩固知识

随堂练习学生独立完成

合后的点记为G,则在四面体S提升能力

-EFG中必有（A）

A.SG_LEFG所在平面

B.SDLEFG所在平面

C.GFJ_SEF所在平面

D.GD_LSEF所在平面

2.如图，已知平面

BCD,BCLCD,你能发现哪些

平面互相垂直，为什么？

4

/

B

C

老r：BCD

BCD

通1]ACDXffiABC.

1.二面角的定义画法与记

法.回顾、反思、

2.二面角的平面角定义与归纳知训提

归纳总结学生总结、教师补充完善

范围.高自我整合

3.面面垂直的判定方法.知识的能力

4.转化思想.

2.3第二课时习案学生独立完成固化知识

课后作业

提升能力

备选例题

例1如图，平面角为锐角的二面角a-EF-/，ASEF,AGua,ZGAE=45Q若AG

与月所成角为30°,求二面角a-砂-尸的平面角.

【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与力所成的角(过G到尸的垂线段GH,连

AH,NG4〃=30°),二面角a-EF-6的平面角，注意在作平面角是要试图与GA”建立联

系，抓住GH，/这一特殊条件，作连接G8,利

用相关关系即可解决问题.

【解析】作GHJ,〃于4,作“于8,连结GB,

贝|JCBJ_EF,NG5H是二面角的平面角.

又乙GAH是AG与万所成的角，

设AG=m贝ljGB=^a,GH=1a,sinZGBH=—=—

22GB2

所以NGB”=45°

反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.

例2如图所示，四边形ABC。是平行四边形，直线SC_L平面ABC£>,E是SA的中点，

求证：平面EDB_L平面4BCZ).

【分析】要证面面垂直，需证线面垂直.这里需

要寻找已知条件“SCL平面A8C。”与需证结论

“平面EOB_L平面ABCD”之间的桥梁.

【证明】连结AC、BD,交点为F,连结EF,

...EF是△SAC的中位线，：.EF//SC.