北京市怀柔区2022-2023学年八年级上学期期末质量检测数学试题（解析版）

怀柔区2022-2023学年度第一学期期末初二质量检测

数学试卷

一、选择题(本大题共30分，每小题3分)第1-10题均有四个选项，符合题意

的选项区育一个

1.下列图标是轴对称图形的为()

【答案】A

【解析】

【分析】平面内一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能完全重合，那么这个

图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念即可判断得出答案.

【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A选项的图形是轴对称图形，符合题意；B、

C、D选项对应的图形均不是轴对称图形，不符合题意；

故选：A.

【点睛】此题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握并运用轴对称图形的概念识别所给图形

是否为轴对称图形是解答此题的关键.

2.2022年11月30日神舟十五号飞船载乘3名航天员成功与神舟十四号航天员乘组上演“太

空相会”.航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温.气凝胶，是一种具有纳米多

孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m,O.(XX)OO(X)2用科学记数法

表示为()

A.2x10-9B.2xl08C.2x10-8D.

0.2xl()-8

【答案】C

【解析】

【分析】对于绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为ax1(T"的形式，其中1<1(),

〃是正整数；据此可以求得答案.

【详解】解：().00(XX)002用科学记数法表示为：2X1CF8,

故选：C.

【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示方法是解

答此题的关键.

3.下列计算正确的是()

A.o'-i-a'-aB.a+a2-a3C.(a)=/D.

/•a2=a5

【答案】D

【解析】

【分析】分别根据同底数幕的除法，合并同类项，暴的乘方，同底数幕的乘法法则逐项判

断即可.

详解】解：A.。3+/=],原计算错误，不符合题意；

B.。和/不是同类项，不能合并，不符合题意；

C.(/丫=a9,原计算错误，不符合题意；

D.正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数辱的除法，基的乘方，同底数暴的乘法，解

题的关键是掌握运算法则，准确进行计算.

X

4.若分式一J有意义，则x的取值范围是()

x-1

A.x>lB.x=lC.x<lD.xWl

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可.

【详解】解：由题意得，x-1/0,

解得xrl.

故选D.

【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分母不为零.

5.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.x(x+2)=x2+2xB.(x-3)2=x2-6x+9

C.f+i=x[x+J_)D.V-9=(x+3)(x-3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种

变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.

【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

C、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意：

D、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础

题型.

6.八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，

其帽顶近似正八边形.正八边形的一个内角的大小为（）

,

A.150°B.140°C.135°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据多边形内角和定理：（〃一2）・180°（〃之3,且“为正整数）求出内角和，

然后再计算一个内角的度数.

【详解】解：正八边形的内角和为：（8—2）・180°=1080°,

每一个内角的度数为,X1080°=135°.

8

故答案为：C.

【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，正多边形的性质，关键是熟练掌握计算公

式：（〃一2）・180°（«>3,且"为整数）.

〃

7.计算81—+.2上/7_—j9_.空+上3的结果为（）

+92。+6。+9

A.yB.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行

约分化简，即可得出答案.

（9一。）（9+d）2（。+3）6/4-3

【详解】解：原式二

（。+3）2a-9a+9

（-1）x12x11

=-----X---X-

1I1

=—2，

故选：D.

【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关

键.

8.如图，CE是ABC的外角/AC。的平分线，且CE交84的延长线于点E,若

/B=36o,NE=20。，则。的角度是（）

BCD

A.76°B.56°C.52°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】先根据三角形外角性质求出/ECO的度数，进而可求出/AC。的度数，再根据

三角形的外角性质即可求出ZBAC.

【详解】解：•••/B=36°,NE=20。，

NECD=ZB+ZE=56°,

,/CE平分NACO,

ZACE=ZECD=56°,ZACD=2ZECD=112°,

ABAC=ZACD-ZB=112°-36°=76°,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三

角形的外角性质定理.

9.小丽在学习作已知角的平分线的方法，

已知：ZAOB-,求作：的平分线.

她按照教材给出的尺规作图方法进行了如下操作：

作法：

（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点M,交OB于点M

（2）分别以点/，N为圆心；大于一MN的长为半径画弧，两弧在内部相交于点

2

C；

（3）画射线OC,射线OC即为所求.

根据小丽的操作过程（如图），下列说法正确的是（）

/OMC=/ONC

c.OC垂直平分线段MND.此过程构造的方

法是5As

【答案】C

【解析】

【分析】根据作已知角的平分线的方法可知，OM=0N,CM=CN,再利用SSS证明三

角形全等，再对各选项进行判断即可.

【详解】解：根据作已知角的平分线的方法可知，OM=ON,CM=CN,

在△MOC和一NOC中，

OM=ON

<CM=CN,

oc=oc

;._MOC公uNOC（SSS）,

:.ZMOC^ZNOC,

A选项中，只有CW=av,故A错误；

B选项中，由于OW=ON,则NOMN=NONM,故此项错误；

C选项中，•.ZMOC=ZNOC,OM=ON,

.:OC垂直平分线段M7V,故此项正确；

D选项中，此过程构造AMO&ANOC的方法是SSS,故此项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键掌握

基本作图的方法.

10.如图，在中/4CB=90。，P,。两点分别在AC边上（包括A,C）和过点

A且垂直AC的射线AM上运动，连接PQ交AB于点M在运动过程中始终保持

PQ-LAB,则此图形在这个过程中能产生与一ABC全等的三角形个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据HL判断即可.

【详解】由题意可知ZACB=ZPAQ=90°,

当PQ=AB,3C=QA时，四&PQA；

当PQ=AB,^^=%时，”8。g4。豚；

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形判定，找出已知条件，利用HL证明三角形全等是解题

的关键.

二、填空题（本大题共12分，每小题2分）

11.计算：（―2。2人丫=.

【答案】一8。6案##一8/。6

【解析】

【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可.

【详解】解：（―2/6丫=—8。6万3.

故答案为：—8k7?3.

【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确

进行计算.

12.填空：3厂+?孙山,变形的依据是.

6x~2x

【答案】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

【解析】

【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可.

【详解】解：至孚=32+#=虫,

6x3xx2x2x

依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，分式的值不变.

【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于

。的整式，分式的值不变.

13.一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1,2,则这个三角形的第三边长为

【答案】2

【解析】

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可.

【详解】解：—1〈第三边＜2+1，

1＜第三边＜3,

•・•三边长都是整数，

.•.这个三角形第三边长是2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三

角形三边关系，是解答此题的关键.

a-b

14.分式的最简公分母是

五萨ab2c

【答案】2a2b2c

【解析】

【分析】按照公分母的定义进行解答.

【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为2a2从c.

故答案为2a%2c.

【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最

高次基的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.

15.已知：如图，C为BO上一点，AB=AD.只需添加一个条件则可证明

^ABC^/XADC.这个条件可以是.（写出一个即可）.

【答案】BC=CD（答案不唯一）

【解析】

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

【详解】解：添加的条件是5C=CE>,

理由是：在_ABC和AC。中，

AB=AD

<AC=AC,

BC=CD

.ABC经ACO（SSS）,

故答案为：BC=CD（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关

键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还

有HL等.

16.如图，OC是NAQB的平分线，动点M,N分别在射线。4,。3上，连接MN交OC

31

于点P,若的长度为-（7〉3）,0N的长度为——。>3）当OPM与一O/W的面积比

tt-3

为2：1时，则f（f>3）的值是.

【答案】9

【解析】

【分析】过户点作。尸，QB.根据角平分线的性质可得，PE=PF，由.OPM

与AOPN的面积比为2：1,列比例式求解即可.

过P点作PEJ_OA,PFLOB

•/点P在NAOB的平分线上，

；•PE=PF，

SOPM*S&OPN=2・1,

:.LOMPE=LONPF=2：1

22

/.OM：ON=2：I,

31

——=2：1,

t-3

2_3

=—9

t-3t

f=9

故答案为：9

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.掌

握以上知识是解题的关键.

三、解答题（本大题共58分，第17-24,26题，每小题5分，第25题6分，27

题7分）

17.计算：（％—3）°+（—g）+（_2）3一|-1|

【答案】1

【解析】

【分析】根据零指数基，负整数指数基，有理数的乘方，绝对值的性质以及实数的运算法则

进行计算即可.

【详解】解：（〃—3）°+（—；）+（-2）3-|-1|

=1+9-8-1

=1.

【点睛】本题考查的是零指数基，负整数指数累，有理数的乘方，绝对值的性质以及实数

的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则.

18.分解因式：4x2y-4xy2+y3.

【答案】y（2x-y）2

【解析】

【分析】先提取公因式y,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】解：4x2y-4xy2+y3

-,（4%2-4xy+y2）

=y（2x-

【点睛】本题考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关

键.

19.已知4a2-7a+5=0，求代数式（3/-2a）+a—（2a—值.

【答案】2

【解析】

【分析】首先求出4a2-7a=-5,再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得

出原式=一（4/—7a）—3,代入即可得出答案.

【详解】解：•••4/一7。+5=0，

4a2-7。=一5，

—2。）+a—（2。-1）~

=3〃-2-（4〃-4。+1）

=3。-2-4。2+4。-1

=-4a2+7。一3

=_（4Q2_7Q）-3

=5—3=2.

【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出

4/-7a=-5，正确化简代数式是解题的关键.

X2T

20.解分式方程：-^---^-=1.

x+13x+3

3

【答案】x二—

2

【解析】

【分析】先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验即可.

X2T

【详解】解：----------=1,

x+13x4-3

方程两边同乘以3（x+l）得：3x—2x=3x+3,

移项合并同类项得：-2x=3,

3

未知数系数化为1得：x=—,

2

检验：把x=_|代入3（X+1）得：3乂（_1+1]=_9*0，

3

；.x=——是原方程的根.

2

【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准

确进行计算，注意要对方程的解进行检验.

21.已知：如图，NA5C=NE>3£=90。，。为边AC上一点，是等边三角形，且

AC=DE.求证：ABCmDBE.

【答案】见解析

【解析】

【分析】首先根据等边三角形性质，得出=再根据直角三角形的判定定理即可

得出结论.

【详解】证明：•.二.43。是等边三角形，

/.AB=BD,

,：ZABC=NDBE=90°,

.ABC和,.D8E都是直角三角形，

在Rt^ABC和R/ADBE中，

AB=BD

AC=DE

：.RtABC尔，DBE(HL).

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定

是解题的关键.

22.某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的2倍.取

1L原液加水稀释用于衣物消杀，再取2L原液加水稀释用于环境消杀.按相应浓度稀释后发

现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少6L.求该消毒液用于环境

消杀的浓度.(浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位)

【答案】该消毒液用于环境消杀的浓度为25%

【解析】

【分析】消毒液用于环境消杀的浓度为x%,则用于衣物消杀的浓度为2x%,然后根据题

意列分式方程求解即可.

【详解】解：消毒液用于环境消杀的浓度为x%,则用于衣物消杀的浓度为2x%

由题意可得：—^-+6=4-

2x°/oX°/o

解得：x=25

经检验x=25是分式方程的解.

答：该消毒液用于环境消杀的浓度为25%.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关

键.

23.请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题.

已知：如图

求作：二A3C边AB上的高CD.

小怀设计的尺规作图过程如下：

作法：

①以点A为圆心，AC长为半径作弧；

②以点8为圆心，8c长为半径作弧，两弧交于点E；

③连接CE,交A3于点。.

所以线段8就是所求作的高线.

(1)使用直尺和圆规，完成小怀的作图(保留作图痕迹);

(2)分别连接AE,BE,再将该作图证明过程补充完整:

由①可得：AC=

点4在线段CE的垂直平分线上.（）（填推理的依据）

由②可得：BC=.

，点B在线段CE的垂直平分线上.

二AB垂直平分线段CE.

/.CDLAB

即CD是ABC边AB上的高线.

【答案】（1）见解析；

（2）AE，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，BE.

【解析】

【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；

（2）根据线段垂直平分线的性质即可完成证明.

【小问1详解】

如图，线段CO就是所求作的高线

，点A在线段CE的垂直平分线上.（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分

线上）

由②可得：BC=BE.

...点B在线段CE的垂直平分线上.

，A3垂直平分线段CE.

CDLAB

即CD是边AB上的高线.

故答案为：AE，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，BE.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段

垂直平分线的作法.

24.如图，在一ABC中，ZA=90。，NC=30。，OE垂直平分BC,垂足为E,交AC于

点D,连接60.

(1)求证：ABD^ECD-,

(2)若A£>=1，求AC的长.

【答案】(1)见解析；

(2)3.

【解析】

【分析】(1)由NA=90。，ZC=30°,得出NA5C=60。，根据垂直平分线的性质，得出

BD=CD,ZDEC=90。，进而得出ZABD=NC=30°,即可证明二ABD^ECD(AAS)；

(2)根据含30度角的直角三角形的性质得出BD=2AD=2，即可得出

AC=AD+CD=1+2=3.

【小问1详解】

证明：VZA=90o,ZC=30°,

ZABC=60。，

,/DE垂直平分BC,

BD=CD,NDEC=90P,

ZDBC=ZC=30°,

：.NAB£>=NC=30。，

在△A3£)和.ECD中，

NA=NDEC

<ZABD=NC,

BD=CD

：.^ABD^ECD(AAS).

【小问2详解】

解：VZABD=ZC=30°,AD=1，

；•BD=2AD=2,

CD-BD-2,

/.AC=A£>+C£>=l+2=3.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三

角形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键.

25.小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式炉+以+匕若能分解成两个

一次整式相乘的形式(x+〃)(x+q),则当x+〃=O或x+q=0时原多项式的值为0,因此

定义工=—〃和x=为多项式*2+以+人的o值，一〃和一乡的平均值为轴值.例：

x2-2%-3=(x-3)(x+l),x-3=0或x+1=0时x2-2x-3=0，贝Ux=3和x=-l为

尤2-2x+3的。值，3和-1的平均值1为炉―2%+3的轴值.

(1)/-4的0值为,轴值为；

(2)若必+公+4的0值只有一个，则。=,此时0值与轴值相等；

(3)/一公(方>0)的0值为力,％2(为<%2)，轴值为小，则玉=,若

£—6x+，〃的0值与轴值相等，则m-.

【答案】(1)2和—2,0；

(2)4；(3)0,9.

【解析】

【分析】(1)把f—4进行因式分解，即可求解；

(2)根据/+6a+4的0值只有一个，则—+办+4=(x+2)2,即可求解；

(3)根据Y一。%=%(%一力)，且0值为3，/(王<%)，b>0,即可得出结论，由

%2一6%+m的o值与轴值相等，即可得出/一6%+根=5-3)2=/-6左+9,即可求解.

【小问1详解】

解：.72-4=(尤一2)。+2),

，x-2=0或x+2=0时，x2-4=0,

炉一4的0值为x=2和％=—2,

又3=。，

2

.•.x2-4的轴值为0,

故答案为：2和一2,0；

【小问2详解】

解：:f+ox+d的0值只有一个，

X2+ox+4=(x+2)~,

即/+ox+4的0值为x=—2,

又；(x+2)2=/+以+4,

，a=4,

故答案为:4；

【小问3详解】

解：x1-bx=x(x-b),

X?X的0值为：》=0和*=15,

x,<x2,b>Q,

.1.%,=0；

当/-6x+机的0值与轴值相等，

---x2-6x+机的0值只有一个，

x2—6x+/〃=(x—3)———x2—6x+9,

即〃2=9时，

3+3

此时f—6x+m的0值为x=3,轴值为：—=3,

2

故答案为：0,9.

【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式运用，解题的关键是读懂题意，以及

熟练掌握相关的运算.

26.在平面直角坐标系中，已知点M(0,加)，直线/是过点"且垂直于y轴的直线,点P(a,h)

关于直线/的轴对称点2,连接PQ,过。作垂直于)，轴的直线与射线PM交于点尸'，则

P'称为P点的M中心对称点.

)•

4-

3-

2・

1-

I」II1I，，I1I

123456*-57-3-2-甲123456*

图1备用图

(1)如图1,当〃?=1,尸(2,3)时。点坐标为,P'点坐标为

(2)若尸点的M中心对称点为P'(-l,3),/QP'M=45°,则〃?=,尸点

的坐标为;

(3)在(1)中，在，PQP内部(不含边界)存在点N,使点N到尸。和P'。的距离相

等，则N点横坐标〃的取值范围是.

【答案】(1)(2,-1)；(-2,-1)

(2)加=4或/”=2：(1,5)或(1,1)

⑶0<〃<2

【解析】

【分析】(1)根据，篦=1,尸(2,3),先求出点。的坐标,证明ZMPA=NPMA=；x90°=45°,

得出NPPQ=90°—45°=45。，即NPPQ=NPPQ,得出P'Q=PQ=2PA=4,即可

得出答案；

(2)分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出，"的值和点P的坐标即可；

(3)连接QM,证明为NPQP的平分线，根据角平分线的性质可知，点N在上，

求出〃的取值范围即可.

【小问1详解】

解：•.•加=1,P(2,3),

...直线/为y=l,

与。关系直线/对称，

...点Q的坐标为(2,-1),

PA=3—1=2,AM=2，

•••PA=AM，

,/NB4M=90°,

ZMPA=NPMA=1x90°=45°,

2

ZPQP'=90°,

：.ZPP'Q=900-45°=45°,

：.NPP'Q=/P'P。,

：.P'Q=PQ=2P4=4,

点P的坐标为(—2,—1)；

故答案为：(2,-1)；(-2,-1).

【小问2详解】

解：如图，当点M在点P上方时，A(-1,3),

"B=l，OB=3,

'：ZQP'M=45°,ZP'BM=90°,

/.NPMB=90o-45°=45°,

；•=，

BM=PB=1，

：.OM=OB+BM=4,

m=4,

：,AQ=1,

AP=4Q=1,

PQ=2,

'：4PQP'=90°,ZQP'M=45°,

/.ZP'PQ=90°—45°=45°,

:.ZP'PQ=ZQP'P,

：.PQ=PQ=2,

BQ=2-1=1,

.•.P的坐标为(1,5)；

1

111111•，II

-5T-3-2-L2123456.v

如图，当点w在点p下方时，A(-1,3),

:.PB=1，0B=3,

•：ZQP'M=45°,ZP'BM=90°,

NPMB=90°-45°=45°,

:.NPMB=/BPM，

；•BM=PB=1，

：.OM=OB—BM=2,

••???—2,

/.AQ=3-2=1,

AP=4Q=1,

二PQ=2,

4PQP'=90°,ZQP'M=45°,

/.ZP'PQ=90°-45°=45°,

:.ZP'PQ=ZQP'P,

P'Q=PQ=2,

：.BQ=2-1=1,

的坐标为(U)；

综上分析可知，〃2=4或加=2,点尸的坐标为：(1,5)或(1,1).

故答案为：加=4或加=2；(1,5)或(1,1).

【小问3详解】

解：连接如图所示：

,­■PM=>/22+22=272>P'M=722+22=2及，

，PM=PM，

根据解析(1)可知，PQ=P'Q,

：.QM平分NPQP,

...点N一定在上，

点横坐标”的取值范围是0<〃<2.

故答案为：0<〃<2.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平

分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论.

27.康康同学在研究等边三角形，如图1,已知,ABC是等边三角形，。为8c边的中点,

E为中线上一点(E不可取A点，可取。点)，点E关于直线AC的对称点是点兄连

接AF，EF，BF.

图1图2备用图

（1）①在图1中补全图形；

②他发现E点在中线AO上运动时，4AEF是一种特殊三角形.

请你回答Z\AEF是三角形；

③利用图1证明这个结论.

（2）康康同学发现当E点在中线AD上运动时，放的长度也有规律的变化.当BF为

最大值时，在图2中画出点尸，并连接f与AC交于点P.

①按要求画出图形：

②在他上存在一点Q,使PQ+QC的值最小，猜想这最小值BP（填＞，＜，

=）;

③证明②的结论.

（3）在边AC上存在一点M,同时满足RW—ME的值最大且+的值最小，则此

时与AC的数量关系是.

【答案】（1）①图形见详解；②等边；③证明见详解；

（2）①图形见详解；②二；③证明见详解；

（3）MC=-AC.

2

【解析】

【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明4石=4尸,/以/=60°,从而判定

△A砂是等边三