函数的概念及其表示（练习及答案）高三数学总复习

高考数学二轮复习专项训练《函数的概念及其表示》

-、单选题(本大题共8小题，共40分)

1.(5分)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.y=Vj?和y=Vx^B.y=|1—和y=^/(x—l)2

y2_1

C.y=■和y=x+1D.y=%。和y=1

2.(5分)函数/(%)=1+log?*与g(%)=2—%的图象大致是().

3.(5分)已知函数/(%)的定义域为R且满足/(—%)=—/(%))(%)=/(2-%),若/(l)=4,

则f(6)+f(7尸()

A.-8B.-4C.0D.4

4.(5分)若存在tER与正数使—zn)=F(t+租)成立，则称“函数F(%)在久=「处存

在距离为2m的对称点"，设“x)=y(x>0),若对于任意t6(e,遅)，总存在正数小，

使得“函数f(x)在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数入的取值范围是()

A.(0,2]B.(1,2]C.[1,2]D.[1,4]

5.(5分)设ak>0,bc<0,在同一坐标系中y=ax2+c与y=kx+b的图象是()

6.(5分)设集合4={x[—l<x43},B={y|04y43},函数/(©定义域为4,值域

为B,则函数/(%)的图象可以是()

8.（5分）已知函数〃则使/（f（x））=2成立的实数x的集合为（）

A.{x|0<%<1或久=2}B.{x|0<%<1或％=3}

C.{x|l<%<2}D.{x|0<%<2}

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）具有性质：/（>=-/。）的函数，称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：

①/（X）=%-？

x,0<x<1

②/0）=%+工；③1O，x=l；④/（©=产.其中满足“倒负”变换的函数是（）

/二,">1"

A.①B.②

C.③D.④

10.(5分)下列函数的图象过点(1,2)的有()

A.y=loga(3x-2)+2B.y=log2%+l

C.y=ax+lD.y=4x-2

11.(5分)定义在R上的函数/(%)满足/(%+y)=/(%)+/(y),当％<0时，/(%)>0,则

/(%)满足()

A.f(0)=0

B.y=/(%)是偶函数

C./(%)在［皿九］上有最大值/(九)

D./(%-1)>0的解集为(一叫1)

12.(5分)已知函数f(%)=V^sinx.cos%+sin?%—5下列结论正确的是()

A.数/(%)的最小正周期是兀

B.函数/⑺的图象关于(-1,0)对称

C.函数人X)在曲方］上递增

D.函数/(%)的图象可由/(%)=sin2x的图象向右平移g个单位得到

13.(5分)已知/(%)是定义在R上的奇函数，且/(1+%)=/(1-％),当0《X41时,

/(%)=%,关于函数g(%)=|/(%)|+/(|%|),下列说法正确的是()

A.g(x)为偶函数B.g(%)在(1,2)上单调递增

C.g(%)不是周期函数D.g(%)的最大值为2

三、填空题(本大题共5小题，共25分)

14.(5分)函数y=Jlogo5(4-％)的定义域是

15.(5分)求函数y=2x2-8x+3,x£[2,5]的值域.—

—|%3—2x2+x\,x<

16.(5分)已知函数/(%)=,若对于VteR,恒成立，则

Inx,%>1

实数々的取值范围是

17.(5分)已知函数/(%)=7-工2+2x+a的定义域为［-2,TH］,则a+?n的值为.

18.(5分)规定记号”2T表示一种运算，即=，而+a+b,a,bER,若=3,则

函数/'(x)=(k/x)—顎勺值域是.

四、解答题(本大题共5小题，共60分)

19.(12分)已知函数/'(X)=V^cos2(ox+sincoxcoscox©>0)的周期为无.

(1)当x£[0序时，求函数f(x)的值域；

(2)己知/ABC的内角4,B,C对应的边分别为a,b,c,若/(今=百，且a=4,6+c=

5,求/ABC的面积.

20.(12分)设函数f(x)=ax2+(h-2)x+3.

(1)若/(1)=3,且a>0,b>0,求:+，的最小值；

(2)若/(1)=2,且f(x)>2在(-1,1)上恒成立，求实数a的取值范围.

21.(12分)若/(久)是定义在(0,+oo)上的增函数，且fg)=/(x)-f(y).

(1)求/(I)的值；

(2)若f(2)=1,解不等式〃久+3)-<2.

22.(12分)求函数y=x4+4x2+l的值域.

23.(12分)已知函数f(%)=|2x+刈+|%—1|.

(1)若存在%oe(1,2),不等式f(%o)<&成立，求m的取值范围；

(2)当7n=1时，函数/(%)的最小值为p,若Q,b,c均为正实数，且：a+b+2c=p,求

a2+62+cz的最小值.

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：对于4y==|%|(xe/?),与y==%(%cR)的解析式不同，不是

同一函数；

对于y=|1-制的定义域为R,与y=J(%—1)2=—1|的定义域相同,对应关系也

相同，是同一函数；

丫2_1_

对于C,y=一-=%+1(%=/=1),与y=%+1(%€R)的定义域不同，不是同一函数；

X—1

对于D,y-x°-l(x0),与y=l(x6R)的定义域不同，不是同一函数.

故选：B.

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数.

这道题主要考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，判断的依据是看它们的定义

域和对应法则是否一致.

2.【答案】C;

【解析】

该题考查指数函数和对数函数的图象及图象平移规律，解答该题的关键是掌握图象的平移

规律，属于基础题.

根据图象的平移规律，确定图象与坐标轴的交点，及两个图象的交点，即可得到结论.

解：函数/(久)=1+log2久的图象是由函数y=log2久的图象向上平移一个单位得到，与光轴

的交点为G，。)，

函数或久)=21T的图象是由函数y=2T的图象向右平移1个单位得到，与y轴的交点为

(0,2),两个图象的交点为(1,1).

观察四个图象，只有C符合.

故选C.

3.【答案】B;

【解析】解：••・函数f。)的定义域为R且满足/(-0=-/(久),/(x)=/(2-x),

•••/(%+4)=/(2-%—4)=-/(x+2)=—/(2—x—2)=/(%),/(0)=0,

"/(I)=4,

・••/(6)=/(2)=/(0)=0,

f(7)="3)=/(-I)=-/(I)=-4,

则/⑹+/⑺=0—4=—4.

故选：B.

推导出/(x+4)=/(2—比-4)=—/(久+2)=—"2—x—2)=/(x),/(O)=0,由此根

据f(1)=4,能求出f(6)+f(7)的值.

此题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】A;

【解析】

由题意可得代入函数式，化简整理，可得入=产—巾2有解，结合函数八%)可得九>0(否则

单调)，求得机的范围，即可得到所求范围.

该题考查新定义的理解和运用，注意运用对勾函数的性质，以及恒成立思想的运用，不等

式的性质，属于较难题.

解：若对于任意tG(V2,V6),

总存在正数根，使得“函数/(x)在工=t处存在距离为2m的对称点”，

则对于任意t£(V2,V6),

(t-m)2+入_(t+m)2+%■解

t-mt+m

即t-TH+」—=t+m+」一有解，

t-mt+m

即1=宀有解，

t2-m2

即九=产—爪2有解，

•••f(x)=字。>0)具有对称性，

故九>0,即有m<3即有0<爪《鱼，

由于遅)，故[2-机2(0,2].

故选：A.

5.【答案】A;

【解析】解：A、抛物线开口向上，a>0,c<0,.-.k>0,b>0,直线与y轴交于正半轴,

正确

B、抛物线开口向上，a>0,c<0,/.k>0,b>0,直线与y轴应交于正半轴故错误.

C、抛物线开口向下，a<0,c>0,/.k>0,直线应是下降的.故错误

D、抛物线开口向下，a<0,c>0,.-.k>0,b>0,直线上升应与y轴交于正半轴.故错

误.

故选A.

6.【答案】A;

【解析】解：对于4定义域为[—1,3],值域为[0,3],故4正确；

对于B：定义域为不合题意，故B不正确；

对于C：值域为[0,2],不合题意，故C不正确；

对于D：当％=0时，有两个y值与之对应，故D不正确.

故选：A.

分别求出每个选项的定义域，值域，即可得岀答案.

此题主要考查函数的性质，属于基础题.

7.【答案】C;

【解析】解：根据题意，f(x)=1詈+XCOS久，Xe[-27T,2TT],

则/(—©=_(謂+XCOSX)=—/(>),则函数/(X)为奇函数，其图象关于原点对称，排除

D,

/(2兀)=5学”+(27r)cos(27r)=2兀>0,排除B,

在区间(0,])上，sinx>0,cosx>0,有/(x)>0,函数图象在x轴上方，排除4,

故选：C.

根据题意，先分析函数的奇偶性排除D,求出/(2兀)的值排除B,进而可得在区间(05)上，

有/(久)>0,排除4即可得答案.

此题主要考查函数的图象分析，一般用间接法分析，属于基础题.

8.【答案】A;

【解析】解：根据题意，函数"X)对于/(/(%))=2,

分2种情况讨论：

若xe[0,1],则/(久)=2,则有f(/(%))=f(2)=2,符合题意；

若则/(%)=x,则有/'(/'(久))=f(x)=x=2,解可得久=2,

故x的取值范围为｛x|01或x=2｝；

故选：A.

根据题意，结合函数的解析式分2种情况讨论：①若xe[0,l],则/Q)=2,②若30,1],

则〃x)=x，先求出/(/(©)的解析式，进而分析/(/(>))=2的解集，综合可得答案.

该题考查函数值的计算，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题.

9【答案】ACD;

【解析】

此题主要考查函数的解析式，属于基础题.

根据/(§=-f(x)的函数，称为满足“倒负”变换的函数的定义进行判断即可.

解：4对于函数/'(x)=久—：，

a是"倒负"变换的函数，

B.对于函数f(x)=久+《有/(》=§+%=/(久)不满足“倒负”变换；

%,0<%<1—X,0<%<1

C.对于/"(%)={0,%=1,/(>={O,x=l，出)=

----,%>1—，%>1

XX

・•.C是满足“倒负”变换的函数；

D.对于/(久)=*，，〃>==|=一證=一/(久)，

X

■■■。是满足"倒负”变换的函数；

故选ACD.

10.【答案】AD;

【解析】

此题主要考查函数的概念，考查函数值的计算，是简单题.

只需在函数中令x=l,若得到函数值为2,即可知函数图象过点(1,2).

解：根据题意，在每个选项中令x=l,

选项4中，y=loga(3x1—2)+2=2.故过点(1,2),4正确.

选项B中，y=log21+l=1,故不过点(1,2),B错误.

选项。中，y=a1+1=a+1.故不过点(1,2),C错误.

选项。中，y=4】-2=2,故过点(1,2),D正确.

故选AD.

11.【答案】AD;

【解析】解：对于4令x=y=0,

则/(0)=2f(0),解得"0)=0,故4正确，

对于B,令y=—x,

则f(0)=f(x)+/(-x),即/⑶=

故函数/(久)为奇函数，

设X1<%2，

则％1~X2<0,

由题意可得，/(%1~X2)>0,即/'01)+f(-久2)=/'(久1)一/'(久2)>0，即/■(久1)>/(乂2)，

故函数f(X)在R上的减函数，故B错误，

・•・函数/(X)为减函数，

•1•f(x)在(yn,n］上的最大值为f(m),故C错误，

/(%-1)>0等价于f(x-1)>/(0),

・・・/。)为R上的减函数，

x—1<0,解得x<1.

故选：AD.

对于4结合赋值法，即可求解，对于B,结合奇函数的性质，即可求解，对于CD,结合

函数的单调性，即可求解.

此题主要考查抽象函数及其应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题.

12.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查函数y=4sin(cox+口)的图象与性质、二倍角公式及其应用、两角和与差的

三角函数公式，属于中档题.

利用二倍角公式化简函数f(%)=sin(2x-匀，利用函数的性质逐项判定，即可求出结果.

解：因为/(%)=V3sinx-cosx+sin2%—|

V3._,1—cos2x1

=——sin2xH---------------

222

所以函数/(%)最小正周期T=m=兀，所以/正确；

当％=—*寸，/(一^兀)=sin(—J兀一£)=0,所以B正确；

1Z\12/\66/

当工€［g,竇］时，2x—、E豊爸，此时函数/(%)在片(兀］上递减，所以C错误;

由y=sin2x的图象向右平移£个单位，得丫=sin2(%-g)=sin(2x-g)H/(%),所以D错误.

663

故选AB.vxl

6

13.【答案】ACD;

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,函数g(x)的定义域为R,&g(-x)=|/(-x)|+/(|-x|)=|-f(x)\+/(|x|)=

，(久)1+f(l久I)=。(久)，

所以g(x)为偶函数，故A正确；

对于B,因为/'(1+x)=f(l-x),所以/'(x)的图象关于直线x=1对称，

又/'(X)是奇函数,当04x41时，/(%)=X,则/(x)的部分图象如图所示,

在区间(1,2)上，f(%)=2-%,

在区间(1,2)上，g(x)=|/(x)|+/(|%|)=2(2-x)=4—2x,g(x)在区间(1,2)上为减函数,

故B错误；

对于C，•."(©为奇函数，且/0)的图象关于直线x=1对称，

・•・函数/(%)的最小正周期为4,

.•・当时，=故g(x)不是周期函数，选项C正确;

(U,%t:十4K,4T4KJ

对于D,当时，易知g(x)的最大值为2,由偶函数的对称性可知，当x<0时，g(x)的最

大值也为2,

g(x)在整个定义域上的最大值为2,故选项D正确.

故选：ACD.

对于4直接根据偶函数的定义判断即可；对于B,求出函数g(x)在区间(1,2)上的解析式，

进而得出单调性；对于C,求出函数g(x)的解析式，进而判断其周期性；对于D,由偶函数

的性质即可得出结论.

该题考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及抽象函数的性质，属于中档题.

14.【答案】［3,4);

【解析】

该题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意

要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方.

根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再

用集合或区间的形式表示出来.

【解得】

解：要使函数有意义，则卜go.5(4—x)

(4—x>0

解得，34%<4,

则函数的定义域是［3,4)

故答案为［3,4)

15.【答案】［-5,13］;

【解析】解：：y=2(x-2)2-5,2>0,

.•.此函数在［2,5］上单调递增，

Vf(2)=-5,f(5)=2x32-5=13,

函数f(x)的值域是［-5,13］

16.【答案】白1］;

e

【解析】

该题考查不等式恒成立以及分段函数的应用问题，利用导数以及数形结合是解决本题的关

键.综合性较强，有一定的难度.

由X<1时函数的单调性，画出函数/'(x)的图象，作出直线丫=6，设直线与y=lnx(x》

1)图象相切于点⑴Unm),求出切点和斜率，设直线与y=x(久一1)2。40)图象相切于点

(0,0),得切线斜率k=l,由图象观察得出k的取值范围.

解：当x<1时，f(x)=-\x3-2x2+x\=-|x(x-1)2|=1,

当％<0,尸(x)=(%—l)(3x—1)>0,

・••/(%)是增函数；

当04％<1,/'(%)=—(%—l)(3x—1),

/0)在区间(。()上是减函数，

在G，i)上是增函数；

画出函数y=f(x)在R上的图象，如图所示；

作出直线y=kx,设直线与y=lnx(x>1)图象相切于点(znjnm),

则由(lnx)z=得k=—,

xm

即Inm=km,解得m=e,fc=|；

设直线与y=x(x-l)2(%<0)的图象相切于点(0,0),

：.y'=\x(x-l)2]z=(x-l)(3x-1),则有k=1,

由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx(x》1)图象相切，

以及与y=—1)2(%(0)图象相切时，直线恒在上方，即恒成立，

・•.k的取值范围是巳1].

故答案为：(,1]

e

17.【答案】12;

【解析】

此题主要考查函数的定义域以及一元二次不等式与对应方程的关系，属于基础题.

解：因为函数数/'(%)=7-庁2+2x+a的定义域为[-2,m|,

所以不等式一/+2x+a》。的解集为[-2,m],

所以一2与zn为方程一/+2x+a=0的两个根，

所以—2+m=2,—2m--a,即zn=4,a=8,

所以a+m=12.

故答案为12.

18.【答案】（-8,|];

【解析】解：,•・lAk=Vfc+1+/c=3,fc=1,

•••/(X)=(kAx)—y=Vx+l+X—y=Vx—^+1=—1(V^—l)2+|,

.,.当«=1时，/'(X)max=|,

・•.f(X)的值域为：(-00,|].

故答案为：(—co,|].

根据lAk=y[k+1+k=3得到k的值，然后求出/(x)=(k/x)—弓=Vx—4-1,再根据

二次函数的图象与性质得到/(x)的值域.

该题考查了二次函数的图象与性质，考查了转化思想和整体思想，属基础题.

19.【答案】解：(1)223

‘八”的周期为7,且。，＜•,

则322,

、it[0.]|(，."

即函数」?“在r上的值域为-2

I・7

解得：；3,

所以L

由余弦定理知：JhiMe。、.，，

即1«、A-：•i'K,

16{b*(>'AM9

因为〃-<一、，

所以人

S',M~1-

:.1•»

【解析】此题主要考查了两角和与差的三角函数公式，辅助角公式，利用正弦函数的性质

求值域的问题，余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于较难题.

(1)利用两角和与差的三角函数公式，辅助角公式得到函数/(久)的解析式，再利用正弦函数

的性质即可求值域；

(2)先求出角4再利用余弦定理，三角形的面积公式，即可求出4ABe的面积.

20.【答案】解：(1)由函数f(x)=ax2+(b-2)x+3,f(1)=3,

则f(1)=a+b-2+3=3,得a+b=2,

•Y+港4+Q(a+b)q(5+%热号(5+2.9

ab2’

当且仅当丝々时上式取等号，又a+b=2,

ab

当且仅当a=|,时，工+：的最小值是也

33ab2

(2)由函数f(x)=ax2+(b-2)x+3,f(1)=2,

则f(1)=a+b-2+3=2,得a+b=l,

由f(x)>2在(-1,1)上恒成立，则a(%2-x)>x-l在(-1,1)上恒成立，

・・・ax〈l在(-1,1)上恒成立，

①当x=0时，axVI恒成立，

②当0<x<l时，a<工在(0,1)上恒成立，.\a<己)min，，awl；

XX

③当-l<x<0时，a>丄在(-1,0)上恒成立，.\a>d)max，Aa^-l；

XX

综上，实数a的取值范围[-1,1].;

【解析】

(1)由函数/。)=a/+的一2)久+3,f(l)=3,得a+6=2,把：+:化为称6+》(a+

6),利用基本不等式得出最小值；

(2)由函数/(X)=ax2+(b—2)x+3,/(I)=2,则/(I)=a+6—2+3=2,得a+b=

1,把b用a替换掉，由/。)>2在(—1,1)上恒成立，转换为ax<1在(—1,1)上恒成立，然后

分情况讨论，求出实数a的取值范围.

本题利用函数值、基本不等式求代数式的最值，利用参变分离解决恒成立问题，属于中档

题.

21.【答案】解：(1)令x=y>0,由/(j)=/(久)~/(y)•可得f(1)=f(x)-f(x),

则f(1)=0；

(2)Vf(2)=1,令x=4,