2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题四个选项只有一个是符合题意的.

1.（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xO），中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心

对称图形的是（）

2.（2分）抛物线y=（x-4）2+34561的对称轴是（）

A.x=4B.x=1C.x=-1D.x=-4

3.（2分）关于x的一元二次方程（w-1）x^+x+m2-1=0的一个根为0,则加为（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

4.（2分）抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（2,-1）D.（2,1）

5.（2分）如图，A,B,C是。。上的点，如果N8OC=120°,那么的度数是（）

6.（2分）在aABC中，C4=CB,点。为AB中点.以点C为圆心，C。长为半径作

则0C与A8的位置关系是（）

c

A.相交B.相切C.相离D.不确定

7.（2分）用配方法解方程7+4x=l,变形后结果正确的是（）

A.（x+2）2=5B.（x+2）2=2C.（%-2）2=5D.（%-2）2-=2

8.（2分）二次函数y=a/+fex+c（”W0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）

C.a+h+c>0D.4a-2b+c=0

二、填空题（本题共16分,每小题2分）

9.（2分）如果点A（3,-2）与点8关于原点对称，那么点8的坐标是.

10.（2分）将抛物线）=2?向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为.

11.（2分）若关于x的一元二次方程/-2x+A=0有两个不相等的实数根，则％的取值范围

是.

12.（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从

袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是.

13.（2分）若点A（-1,yi）,B（2,”）在抛物线.y=2,上，则>[,”的大小关系为:

），1y2.（选填“<或“=”）

14.（2分）已知抛物线ynaf+bx+c（aWO）上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表:

X…-2-10123

y・,••50-3-4-30

那么该抛物线的顶点坐标是

15.（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,若/D4E=110°,ZB=40°,

则/C的度数为

A

E

DC

16.（2分）斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（hu6n）

其外，旁有魔（tiao）焉意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个

同心圆.”如图所示.问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庞

旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形

的边长为尺.

三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27,28题,

每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.计算下列各题

17.（5分）解方程：，-2x-3=0.

18.（5分）解方程：2?-9x+10=0.

19.（5分）已知：二次函数y=/-4x+3.

（1）求出二次函数图象的顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标；

（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y<0时，自变量x的取值范

20.（5分）已知：如图，4为上的一点.

求作：过点A且与。0相切的一条直线.

作法：

①连接。4；

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与。。的一个交点为B,作射线OB；

③以点3为圆心，04长为半径画弧，交射线。8于点尸（不与点。重合）:

④作直线PA.

直线外即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接54.

由作法可知BO=BA=BP.

...点A在以OP为直径的圆上.

：.ZOAP=90°（）（填推理的依据）.

'.'OA是。。的半径，

.•.直线力与00相切（）（填推理的依据）.

21.(5分)在平面直角坐标系xO)，中，二次函数)，=/+加什〃的图象经过点A(0,1),B

(3,4).求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴.

22.(5分)如图，在正方形ABCZ)中，射线AE与边C。交于点E,将射线4E绕点4顺时

针旋转，与CB的延长线交于点F,BF=DE,连接FE.若ZD4E=30°,DE=2,求

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个根都是正整数，求。的取值范围.

24.(6分)学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套，经调查发现，该种手套每

天的销售量卬(双)与销售单价x(元)满足w=-2x+40(10<x<20),设销售这种手

套每天的利润为y(元).

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

25.(6分)如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，4B宽20m,水位上升

到警戒线CD时，CC到拱桥顶E的距离仅为1〃?，这时水面宽度为10〃?.

(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时

到达警戒线？

26.(6分)在平面直角坐标系xO)，中，抛物线-2n?x-1与y轴交点为4.

(1)求抛物线的对称轴和4的坐标；

(2)横纵坐标都是整数的点叫整点，已知点8(2,0),记抛物线与直线A8所围的封闭

区域为图形W(不含边界)，

①当〃?=1时，直接写出图形W内的整点个数；

②若图形W内恰好有一个整点，结合函数图象，求，”的取值范围.

27.(7分)如图，AC与OO相切于点C,48经过上的点力，BC交。。于点E,DE//

OA,CE是。。的直径.

(1)求证：A3是。。的切线；

(2)若BD=4,CE=6,求4c的长.

28.(7分)点P为平面直角坐标系xOy中一点，点Q为图形M上一点，我们将线段PQ长

度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“包容度”.

如图，。0半径为2,与x轴交于点4,B,点P(2,3).

(1)在点P视角下，。。的“包容度”为，线段AB的“包容度”为;

(2)点、M(m,0)为x轴上一点，若在点P视角下，线段AM的“包容度''为2,写出

2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题四个选项只有一个是符合题意的.

1.（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xO），中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心

【分析】根据中心对称图形的概念求解.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转

180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋

转点，就叫做中心对称点.

【解答】解：选项4、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和

原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是

中心对称图形，

故选：C.

【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180度后与原图重合.

2.（2分）抛物线y=（x-4）2+1的对称轴是（）

A.x=4B.x=1C.x=-1D.x=-4

【分析】由抛物线的解析式，直接写出该抛物线的对称轴.

【解答】解：；抛物线y=(x-4)2+1

该抛物线的对称轴为直线x=4,

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握抛物线解析式的顶点式.

3.(2分)关于x的一元二次方程(川-1)x2+x+m2-1=0的一"根为0,则“为()

A.0B.1C.-1D.1或-1

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入原方程列出关于"，的方程，通过解

该方程来求m的值；注意一元二次方程的二次项系数不等于零.

【解答】解：依题意，得

m1-1=0,且m-1#0,

解得m=-1.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义.注意，一元二次

方程的二次项系数不为0,这是考试中经常出现的知识点，需要同学们注意.

4.(2分)抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是()

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)

【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴.

【解答】解：(x-2)2+1是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，

对称轴为直线x=2,

故选：D.

【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称

轴是直线x=/?.

5.(2分)如图，A,B,C是上的点，如果NBOC=120°,那么NBAC的度数是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根据圆周角定理即可解答.

【解答】解：因为前所对的圆心角是/30C,前所对的圆周角是NBAC,

所以：ZBAC=AZBOC=AX120°=60°,

22

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题

的关键.

6.(2分)在△ABC中，C4=CB,点。为AB中点.以点C为圆心，CO长为半径作OC,

则OC与4B的位置关系是()

C.相离D.不确定

【分析】连接CO,根据等腰三角形的性质得到OCLA8,于是得到点C到A8的距离等

于OC的半径，根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】解：连接C。，

•••CA=CB,点。为AB中点，

：.OCLAB,

,：以点C为圆心，CO长为半径作。C,

...点C到AB的距离等于0C的半径，

OC与AB的位置关系是相切，

故选：B.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方

法是解题的关键.

7.(2分)用配方法解方程*2+4X=1,变形后结果正确的是()

A.G+2)2=5B.(x+2)2=2C.(%-2)2=5D.(%-2)2-=2

【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【解答】解：?+4x=l,

则，+4x+4=l+4,即(x+2)2=5,

故选：A.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本题的关键.

8.（2分）二次函数y=〃/+bx+c（“r0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）

C.a+b+c>0D.4a-2b+c=0

【分析】由抛物线的对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项8；令x=l判断选项C；

根据抛物线的对称性即可判断选项D.

【解答】解：A、对称轴是直线x=-旦=1,

2a

:.b=-2a,故选项A不符合题意；

8、由函数图象知，抛物线交y的负半轴，

c<0,故选项8不符合题意；

C、由图可知：当x=l时，y=a+b+c<0,故选项C不符合题意；

D、由图可知：对称轴是直线x=l,图象与x轴的一个交点为（4,0）,

另一个交点为（-2,0）,

当x=-2时，y=4a-2b+c=0,故选项D符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象

上点的坐标特征.解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）如果点A（3,-2）与点B关于原点对称，那么点8的坐标是（-3,2）.

【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）

可得答案.

【解答】解：♦.•点4（3,-2）与点B关于原点对称，

.•.点8的坐标为（-3,2）,

故答案为：（-3,2）.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，

它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数.

10.（2分）将抛物线）=2?向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为y=2，+3.

【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出平移后解析式.

【解答】解：将抛物线y=2?向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为：y=2?+3.

故答案为：）'=2^+3.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.

11.（2分）若关于x的一元二次方程/-公+4=0有两个不相等的实数根，则A的取值范围

是k<\.

【分析】根据根的判别式的意义得到（-2）2-4k>0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4X%>0,

解得A<1.

故答案为：k<l.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0（a#0）的根与A=庐-4ac

有如下关系，当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<（）时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

12.（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从

袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是3.

一5一

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率.

【解答】解：•••在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，

取出红球的概率是S.

5

故答案为：1.

5

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，

其中事件4出现机种可能，那么事件4的概率尸（4）=%.

n

13.（2分）若点A（-1,yi）,B（2,”）在抛物线.y=27上，则yi,"的大小关系为：

V1<V2.（选填“〉”“<或“=”）

【分析】将点A,8坐标代入解析式求解.

【解答】解：将A（-1,yi）＞B（2,j2）代入y=2%2得yi=2,"=8,

•'-y\＜y2.

故答案为：＜.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与方程的关系.

14.（2分）已知抛物线丫=a/+加;+，（a#0）上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表:

x…-2-10123…

y…50-3-4-30…

那么该抛物线的顶点坐标是（1,-4）.

【分析】根据抛物线的对称性求解.

【解答】解：•••抛物线经过点（0,-3）,（2,-3）,

二抛物线对称轴为直线x=l,

抛物线顶点坐标为（1,-4）.

故答案为：（1,-4）.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称

性求解.

15.（2分）如图,将△ABC绕点4顺时针旋转得到△AQE,若ND4E=110°,ZB=40°,

则/C的度数为30°.

【分析】由旋转的性质可得/D4E=NBAC,由三角形的内角和定理即可求解.

【解答】解：将△A8C绕点A顺时针旋转得到

.•.NO4E=/BAC=110°,

VZB=40°,

AZC=1800-ZB-ZBAC=180°-40°-110°=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问

题是本题的关键.

16.（2分）斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（hudn）

其外，旁有鹿（tiao）焉意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个

同心圆.”如图所示.问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“鹿

旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形

的边长为尺.

【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正

方形外接圆的直径CE,求出CQ,问题得解.

【解答】解：如图，

•.•四边形COE尸为正方形，

AZD=90°,CD=DE,

:.CE为直径,ZECD=45°,

由题意得48=2.5,

CE=2.5-0.25X2=2,

:・CD=匹CE=匹

故答案为：

【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正

方形对角线为其外接圆直径.

三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27,28题,

每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.计算下列各题

17.（5分）解方程：7-2x-3=0.

【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答.

【解答】解：原方程可以变形为（x-3）（x+1）=0

x-3=0或x+l=0

・・X1=3,X2=-1.

【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程.注意：常数项应分解成两个数的积，且

这两个的和应等于一次项系数.

18.（5分）解方程：2x2-9x+10=0.

【分析】方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：这里a=2,b=-9,c=10,

（-9）2-4X2X10=l>0,

•v一-b±Vb2-4ac_9±1

••A.......................,

2a2X2

•*.xi=—,X2=2.

2

【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键.

19.（5分）已知：二次函数y=/-4x+3.

（1）求出二次函数图象的顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标；

（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出yVO时，自变量x的取值范

yA

5-

4-

3-

2-

围.

【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点坐标，将y=0代入解析式可

得抛物线与x轴交点，将x=0代入解析式可得抛物线与y轴交点.

（2）根据二次函数解析式作出图象，根据图象求解.

【解答】解：（1）-4x+3=（x-2）2-1,

二抛物线顶点坐标为（2,-1）,

将y=0代入y=7-4x+3得0=7-4x+3,

解得xi=3,xi—1,

...抛物线与x轴交点坐标为（L0）,（3,0）.

将x=0代入y—x2-4x+3得y=3,

.,.抛物线与y轴交点坐标为（0,3）.

由图象可得l<x<3时，y<0.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与方程及不等式的关系.

20.（5分）已知：如图，A为上的一点.

求作：过点A且与。0相切的一条直线.

作法：

①连接。4

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为8,作射线03；

③以点8为圆心，OA长为半径画弧，交射线08于点P（不与点。重合）；

④作直线PA.

直线以即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接84.

由作法可知BO=BA=BP.

...点A在以。尸为直径的圆上.

：.ZOAP=90Q（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.

,：OA是的半径，

直线PA与00相切（过半径的外端与半径垂直的半线是圆的切线）（填推理的依

据）.

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用圆周角定理解决问题即可.

【解答】解：（1）如图，直线以即为所求;

（2）连接BA.

由作法可知BO=BA=BP.

.•.点4在以。尸为直径的圆上.

...NOAP=90°（直径所对的圆周角是直角）,

是。。的半径，

直线PA与O。相切(过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线).

故答案为：直径所对的圆周角是直角，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线.

【点评】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题.

21.(5分)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=/+mr+〃的图象经过点A(0,1),B

(3,4).求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴.

【分析】把A、B的坐标代入)，=7+加计”，根据待定系数法即可求得一般式，化成顶点

式即可求得顶点坐标.

【解答】解：•••二次函数的图象经过点A(0,1),B(3,4)；

.Jn=1,

I9+3mtn=4

解得：卜户2,

In=l

.,.y—x2,-2x+l,

Vy=x2-2x+l=(x-I)2,

函数图象的对称轴为直线x=\.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，

熟知待定系数法是解题的关键.

22.(5分)如图，在正方形中，射线AE与边CZ)交于点E,将射线AE绕点A顺时

针旋转，与CB的延长线交于点F,BF=DE,连接FE.若ND4E=30°,DE=2,求

EF的长.

【分析】根据正方形的性质得到4B=AO,NABC=/。=NBAD=90°,求得NABF=

90°,根据全等三角形的性质得到AE=4E,ZBAF=ZDAE,证出是等腰直角三

角形，根据直角三角形的性质得到AE=2Q£=4,于是得到结论.

【解答】解：；四边形A8CZ)是正方形，

：.AB=AD,ZABC=ZD=ZBAD=90°,

.,.NA8F=90°,

在△A8F与△AOE中，

，AB=AD

<ZABF=ZD=90°，

BF=DE

，XABF空/\ADE(SAS),

：.AF=AE,NBAF=NDAE,

：.ZBAF+ZBAE=ZDAE+ZBAE=90a,

AZM£=90°,

...△A£F是等腰直角三角形，

在RtAADE中，ZD=90°,NDAE=30°,DE=2,

：.AE=2DE=4,

EF=I/AE2+AF2=V42+42=4弧•

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角

三角形的判定和性质，证得△ABF也△AOE是解题的关键.

23.(6分)已知关于x的一元二次方程？-(a+2)x+“+l=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个根都是正整数，求〃的取值范围.

【分析】(1)计算根的判别式的值得到△=/2()，则根据根的判别式的意义得到结论：

(2)利用求根公式解方程得到Xl=l,X2=4+l,再根据方程的两个实数根都是正整数得

到a+121.所以且。为整数.

【解答】(1)证明：：△=[-(。+2)]2-4(67+1)

=。-+4〃+4-4。-4

=〃2,

;冷0,

...方程总有两个实数根；

(2)解：尸火土包,

2

・♦XI=1,XI—。+1,

V方程的两个实数根都是正整数，

解心0,

：.a的取值范围为且a为整数.

【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的意义.

24.（6分）学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套，经调查发现，该种手套每

天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w=-2A+40（10<x<20）,设销售这种手

套每天的利润为y（元）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；

（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销

售单价.

【解答】解：（1）y=w（x-10）

=（-2x+40）（x-10）

=-2X2+60X-400；

（2）y=-2（x-15）2+50,

V10<A:<20,a=-2<0,

，当x=15时，yja大值=50.

答：当销售单价定为每双15元时，每天的利润最大，最大利润为50元.

【点评】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是（1）根据题意得到二次函数；（2）

利用二次函数的性质求出最大值.

25.（6分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，宽20〃?，水位上升

到警戒线C£>时，C£>到拱桥顶E的距离仅为1%,这时水面宽度为10〃?.

（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3加的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时

到达警戒线？

【分析】(1)首先设所求抛物线的解析式为：＞=/(a#0),再根据题意得到C(-5,

-1),利用待定系数法即可得到抛物线解析式；

(2)根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再

算出持续时间即可.

【解答】解：(1)设所求抛物线的解析式为：、=加(a¥O),

•.•由CD=10机，CD到拱桥顶E的距离仅为\m,

则C(-5,-1),

把C的坐标分别代入丫=/得：。=-安，

故抛物线的解析式为y=-亲2：

(2)-AB宽20m,

.,.设4(-10,b),

把A点坐标代入抛物线的解析式为y=-Xr2中,

解得：b=-4,

：.F(0,-4),

；.EF=3,

•.•水位以每小时0.3团的速度上升，

.*.34-0.3=10(小时),

答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析

式.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线了="?%2-2蛆-1与y轴交点为4.

（1）求抛物线的对称轴和A的坐标；

（2）横纵坐标都是整数的点叫整点，已知点8（2,0）,记抛物线与直线A8所围的封闭

区域为图形W（不含边界），

①当〃?=1时，直接写出图形W内的整点个数；

②若图形W内恰好有一个整点，结合函数图象，求，”的取值范围.

【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x=0,即可求

出点A的坐标；

（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；

②先判断出满足条件的整数点由（1,-1）,进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论.

【解答】解：（1）：抛物线的解析式为、=〃措-2,内-1

抛物线的对称轴为直线x=-二2更=1,

2m

令x=0,则y=-1,

AA（0,-1）；

（2）①当相=1时，抛物线的解析式为y=»-2x-1,

由（1）知，A（0,-1）,抛物线的对称轴为直线x=l,

・・・抛物线还经过（2,-1）,

•・•抛物线的顶点坐标为（1,-2）,

...图形W内的整点只有(1,-1)一个;

•.•图形W内有1个整数点，

2

当m>0时，则-2W4mxI)-⑵)<-],

4m

2

当机<o时，则o<里左(二L)二②1,

4m

.,.0<wtWl或-2Wm<-1.

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，

顶点坐标公式，利用数形结合的思想解决问题是解本题的关键.

27.(7分)如图，4c与OO相切于点C,A8经过上的点力，BC交。。于点E,DE//

OA,CE是OO的直径.

(1)求证：A3是。。的切线：

(2)若80=4,CE=6,求4c的长.

【分析】(1)连接OD,根据平行线的性质得出NO£)E=NA。。，ZDEO=ZAOC,根

据等腰三角形的性质得出NOEQ=/OQE,即可得出NAOC=/AO。，进而证得△AOD

丝△AOC(SAS),得到NA£>O=/ACB=90°,即可证得