2023-2024学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x2-x-220},B={-2,-1,0,1},贝()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-2}D.{-2,-1}

2.己知z十4+i，则z-z=()

1-1

A.-4iB.4zC.2D.-2

3.3知向量Z=(x-5,7),b=(x,-2)>则“x=7"是"lib"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石

拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部

分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（）

A.1米B.2米C.4米D.8米

5.函数f(x)在(2,3)上单调递减，则f的取值范围是()

A.[6,+8)B.(…，6]C.(-8,4]D.[4,+°0)

6.已知锐角a满足tan。=平*，则sin2a=()

A.B.返C.—D.—

3333

7.在直三棱柱ABC-A山Ci中，A8_LBC,AB=BC=AA\,D,E分别为AC,BC的中点,

则异面直线GD与8E所成角的余弦值为（)

A.近B.近7

nV30

3510

8.设。=1.7,fe=tanl.l,c=2ln2A,则（

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.若甲组样本数据笛，X2,……，（数据各不相同）的平均数为3,乙组样本

数据2为+“，2x2+〃，……，的平均数为5,下列说错误的是（）

A.a的值不确定

B.乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍

C.两组样本数据的极差可能相等

D.两组样本数据的中位数可能相等

（多选）10.已知函数/'（x）=2cos（3X+0）+1（3>O,O<（P<1T）的部分图象如图所示,

.兀

Bn.（b=—

中6

c./（x）在［等，至;］上单调递增

OO

KJT

D.f（x哈）的图象关于直线x七对称

（多选）11.已知定义在（0,+8）的函数/（x）满足孙）=/（x）+f（y），且/（4）

=12,当x>l时，/（x）>0,则（）

A.y（i）=o

B.f（x）是偶函数

C.f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增

D.不等式£但+3）-£（2）〈6的解集是（0，1）

x

（多选）12.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正

多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四

面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1,则下列结论正确的是（）

A.该半正多面体的表面积为空巨

4

B.该半正多面体的体积为空叵

12

c.该半正多面体外接球的表面积为告二

D.若点M,N分别在线段。E,BC上，则FM+MN+AN的最小值为J元

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知圆C：N+,2+2x-4y+a=0的半径为3,则。=.

14.设｛小｝是等比数列，且。|+火=7,6/3+06=21,则。7+。10=.

15.现将6本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知书籍A分发给

了甲，则不同的分发方式种数是.（用数字作答）

22

16.已知双曲线氏七-25=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为B,点M在双曲

线E上，ARMF2为直角三角形，O为坐标原点，作ONLMFi,垂足为N,若2棉=3呵,

则双曲线E的离心率为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛〃“）的前〃项和为S”02=10,59=9.

（1）求｛跖｝的通项公式;

(2)求数列｛|。川的前〃项和T,,.

18.如图，在△ABC中，N8AC=135°,AB=4,AC=2A/2.

(1)求sin/ABC的值;

S,

(2)过点A作AD_LAB,力在边8c上，记△4BD与△AC。的面积分别为Si,Si,求三上

So

的值.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB_L平面ABC。，PB=AC=AD=2,PA=3BC=3.

(1)证明：平面PAC_L平面P8c.

(2)若AOJ_AB,求平面P8C与平面PAD夹角的余弦值.

P

20.为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比赛，每场比赛采取五局

三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛中,

甲每局获胜的概率均为P，且前4局甲和对方各胜2局的概率为得.

(1)求P的值；

(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X,求X的分布列与期望.

22

21.已知R,3分别是椭圆C：¥+%=l(a〉b>0)的左、右焦点，P(l,

'9.1

椭圆C上一点，且PF「PF2甘.

(1)求椭圆C的方程；

(2)延长画，画，并与椭圆C分别相交于M,N两点，求△「〃可的面积.

22.已知函数/(x)—axe*(aWO).

(1)讨论/(尤)的单调性；

(2)当a>^时，证明：以？~-(x+l)lnx>0.

ex+1

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合4=3/-》-220},B={-2,-1,0,1},则4nB=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-2}D.{-2,-1}

【分析】先求出集合A,再求两集合的交集即可.

解：由N-X-2N0,得xW-1或x22,

所以A={x|xW-1或x22},

因为8={-2,-1,0,1),

所以ACB={-2,-1}.

故选：D.

【点评】主要考查了集合交集运算，属于基础题.

9.—

2.已矢口z31"；;—~+i>则z-z=()

1-1

A.-4/B.4zC.2D.-2

【分析】先化简计算求出复数z,再求zG即可

O

解：因为Z—丁+i=l+i+i=l+2i，

1-1

所以z-W=l+2i-l+2i=4i-

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.己知向量Z=(x-5,7),b=(x,-2)，则“》=7”是“；二”的()

A.充分不必耍条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可.

解：若x=7,则彳・玉=2义7+7义(-2)=0,即

若彳_1_总则工(x-5)-14=0,即(x-7)(x+2)=0,解得x=7或x=-2.

故“x=7”是的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分不必要条件的判断，考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础

题.

4.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石

拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部

分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是()

A.1米B.2米C.4米D.8米

【分析】设抛物线Cx2=-2py(p>0),由题意可知点(4,-4)在抛物线C上，求

得P，即可得解.

解：设抛物线C：X2--2py(p>0),

由题意可知点(4,-4)在抛物线C上，则-2pX(-4)=42,解得p=2,

...抛物线C的焦点到准线的距离是2米.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

5.函数/CO在(2,3)上单调递减，则f的取值范围是()

A.[6,+8)B.(-8,6]C.(-8,4]D.[4,+°0)

【分析】根据复合函数的单调性得到关于，的不等式，解出即可.

解：若函数/(x)在(2,3)上单调递减，

则y=x(x-r)=NTX在(2,3)单调递减，

而y'=2x-t,令y'<0,解得：

故y=x(x-f)在(-8,A)单调递减，

则■^•23,解得：t，6,

即f的取值范围是[6,+8).

故选：A.

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题.

6.已知锐角a满足tana二号则sin2a=()

A.B.返C.—D.—

3333

【分析】根据同角三角函数基本关系式和二倍角正弦公式可求出结果.

解：由tana［得cos。=J^sina，

因为sin2a+cos2a=1,

所以sin2a+2sin2a=1,

可得sin2a4，

o

因为a为锐角，

所以sina二零-，cosa二弯■，

oo

所以sin2a=2sinacosa二一「♦

o

故选：A.

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式和二倍角正弦公式在三角函数求值中的应

用，属于基础题.

7.在直三棱柱ABC-A山iG中，AB1BC,AB=BC=AA\,D,E分别为AC,8C的中点，

则异面直线GO与BE所成角的余弦值为()

A.返B.匹C.D.

351010

【分析】设AB=2,取481的中点F,连接GF,DF,DE,则可得/为异面直线

G。与BiE所成的角或补角，然后在△GO尸中求解即可.

解：设AB=2,取的中点F,连接CiF,DF,DE,

因为。，E分别为4C,BC的中点，所以£>E〃AB,DE卷AB，

因为AbB]〃AB,AiBi=ABf所以AE〃8i尸,B\F=DE,

所以四边形。ESF为平行四边形，所以DF〃囱，

所以NG。产为异面直线GD与所成的角或补角.

因为AB，8C,AB=BC=AAi=2fD,E分别为AC,5C的中点,

DF=BJE=A/12+22=V5,0^=712+22=V5,C^^(72)2+22=V6>

l_o近

所以5r2V30.

cos/CiDF^蕾工

故选：D.

【点评】本题主要考查异面直线所成角,考查计算能力，属于中档题.

8.设。=1.7,fe=tanl.l,c=2Zn2.1,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【分析】由已知结合正切函数的单调性可比较m6的大小，构造函数/(x)=中-勿,

对其求导，结合导数分析函数单调性即可比较a,c的大小即可判断.

解：因为y=tanx在(0,夕兀)上单调递增，

所以/?=tanl.l>tan-7T-=^3^1.7=a，

o

令f(x)=ex-ex,则f(x)=夕-e,

当x>l时，，(x)>0,f(x)在(1,+8)上单递增，

WJ/(1.7)=e17-I.7e>/(1)=0,

则^'-7>1.7e>1.7X2.7=4.59>4.41=2.12,

因此1.7>[2.产=2历2.1,即a>c,

故c<a<b.

故选：c.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系，还考查了函数单调性在函数值大小比较中

的应用，属于中档题.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.若甲组样本数据xi,及，……，X”（数据各不相同）的平均数为3,乙组样本

数据2»+a,2x2+〃，……，2x”+a的平均数为5,下列说错误的是（）

A.a的值不确定

B.乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍

C.两组样本数据的极差可能相等

D.两组样本数据的中位数可能相等

【分析】根据平均数的性质求出。，从而判断A；根据方差的性质判断以根据极差和中

位数的定义判断CD.

解：由题意可知，2X3+a—5,a--1,故A错误；

易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的22=4倍，故B错误；

不妨设x,<x2<••••<””则甲组数据的极差为心-M,

乙组数据的极差为（2x〃-1）-（2ri-1）=2（xn-XI）,

所以两组样本数据的极差不相等，故C错误；

设甲组样本数据的中位数为m,

则乙组样本数据的中位数为2机-1,

当机=1时，m=2m-1,

所以两组样本数据的中位数可能相等，故£>正确.

故选：A8C.

【点评】本题考查了平均数，方差的性质，考查中位数，极差的定义，是基础题.

（多选）10.已知函数/（x）=2cos（3x+（p）+1（a）>0,0<<p<ir）的部分图象如图所示,

贝（）

B.0记

C./（x）在［手，4］上单调递增

Oo

JTJT

D.f（x哈）的图象关于直线x七对称

【分析】由图可知r=n,求得3,可判断A；由f（等）=-1结合0＜（pV7T求得少，可

TT

判断8；利用三角函数的单调性求解可判断C；求出f（x哈）的解析式，进而求出对称

轴，可判断Q.

解：由图可知丁=2（告；一^）=兀，则3=*=2,故A正确；

因为f（*）=2cos（2X*+。）+1=-1，

所以哈+0=2k兀+兀（kEZ），即。=2k兀吟（kEZ），

JT

因为OVcpVm所以。T，则3正确；

令2加-2k兀（k€Z），解得k兀，:《x《k兀（k£Z），此时/

（x）单调递增;

令2EW2x七卷42k兀+兀（kEZ），解得k兀［^^x《k兀（k£Z），此时,

（x）单调递减.

由x€［等，?］，得/（X）在［竿，窄）上单调递减，在［哈，等］上

单调递增，则C错误；

因为f(x)=2cos(2x+■丁)+1，

IT

所以f(xk-)=2c(2x-丁)+l=-2sin2x+l・

人TT7Tk兀兀7r

令2x二k兀十&WZ，4得fqx=：“y-，kEZ.

当k=o时，X-，

4

ITIT

则f(x哈)的图象关于直线X号对称，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了由y=Asin(3x+(p)的部分图象确定其解析式以及余弦函数的图象

和性质的应用，属于中档题.

(多选)11.已知定义在(0,+8)的函数f(x)满足/(丐)=/(x)tf(y)，且/(4)

=12,当x>l时，/(%)>0,则()

A./(1)=0

B.f(x)是偶函数

C.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增

D.不等式f(x+3)-f的解集是(0,1)

x

【分析】利用X=y=l可求出/(I)判断A,根据定义域判断奇偶性判断B,由单调性定

义判断C,由函数性质及单调性脱去“尸解不等式判断D

解：令x—y—1,得/(1)—f，即/(I)=0，则A正确：

由题意可知f(x)的定义域是(0,+8),则/CO是非奇非偶函数，故B错误；

当x>l时，因为y>0,所以因为/(xy)=f(x)+f(y),

所以/1(xy)-/(y)=/(x)>0,则/(x)在(0,+°0)上单调递增，故C错误；

令x=y=2,得f(4)—2f(2),因为/(4)=12,所以/(2)—6.

因为/(孙)=/(x)+f(y)，所以/(封)-/(y)=于(x),

所以/(X+3)-f(Z)=f(x2+3x),所以f(x+3)-f心)<6等价于

x2x

\+3>0

—>0

因为/(x)在(0,+8)上单调递增，所以《XV,解得0<x<l,则。正确.

故选：AD

【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.

(多选)12.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正

多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四

面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1,则下列结论正确的是（）

A.该半正多面体的表面积为空巨

4

B.该半正多面体的体积为空反

12

c.该半正多面体外接球的表面积为工量

D.若点N分别在线段DE,BC上，则FM+MN+4V的最小值为J通

【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质，球的截面圆的性质，以及多面体的

侧面展开图，结合棱锥的表面积与体积公式，以及球的表面积公式，逐项判定，即可求

解.

解：由题意，该半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割

而成，其棱长为1,

对于A,该正多面体的表面积为4X（1X32-3X亚XP）+4x1*F=7逐，

444

故A错误；

对于8,如图所示，该半正多面体所在的正四面体中，可得正四面体的棱长为3,

取正四面体的下底面的中心为M连接MN,则底面ABC,

在直角△MNG中，：MG=3,NG=—X但义3=禽,

32

1Ml"2-叱=、32-（a）2=心

该半正多面体的体积为庭W-4xLx亚"XF义近=空巨，故8正确；

434312

对于C,该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，

记球心为。，半径为R,△QEF的球心为01,

连接04,NA,OF,00i,由等边△£>£尸的边长为1,

可得。［尸=《,x今x1=4，

323

又由底面正六边形A//KBCL的边长为I,可得附=1,

在正四面体M-QEF中，可得MOi=逅，

_3

0]N=MN-MO\=V6

设ON=h,\'OA=OF=R,.♦.岫2+42=0|尸+0]£2,

222

.\\+h=(近)+(-^Zl_h)2,解得仁返即。N=遮,

3344

，？=0A2=(近)2+]2=&，

48

,该半正多面体外接球的表面积为4叱。42=丹二，故c正确；

对于。，该半正多面体展开图如图所示:

则a=4,AT=M，AF=PT2+AT2=Vl91FM+MN+AN》AF=后,故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查正四面体的性质、球的截面圆的性质、多面体的侧面展开图、棱锥的

表面积与体积公式、球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2()分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知圆C：N+V+2x-4y+a=0的半径为3,则〃=-4.

【分析】直接利用圆的一般式和标准式之间的转换求出结果.

解：圆C：/+)2+2%-4y+o=0的半径为3,转换为圆的标准式为(x+1)2+(y-2)2=5

-a.

故5-a=9,解得a=-4.

故答案为：-4.

【点评】本题考查的知识要点：圆的一般式和标准式的转换，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于基础题.

14.设｛“”｝是等比数列，且41+44=7,43+46=21,则。7+«10=189.

【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.

解：设等比数列｛斯｝的公比为q,

则Q[+a4）q?=a3+a6,故炉=3,

故〃7+aio=/（〃3+。6）=21X9=189.

故答案为：189.

【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

15.现将6本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知书籍A分发给

了甲，则不同的分发方式种数是180.（用数字作答）

【分析】通过对甲分得书籍A与其它书籍的多少，分类讨论求解即可.

解：若甲只分得书籍A,则共有（C：+CQ・A，=30种分发方式；

uU4

cklQc|c?Q

若甲除了书籍A,还分得了其他书籍，则共有一^种分发方式.

°AN,

A2A2

故不同的分发方式种数是30+150=180.

故答案为：180.

【点评】本题考查排列组合的实际应用，计数原理的应用，是中档题.

22

16.已知双曲线E：%-J=1（4>0,6>0）的左、右焦点分别为A,Fi,点M在双曲

线E上，为直角三角形，。为坐标原点，作ONLMFi,垂足为N,若2诬=3而;

则双曲线E的离心率为返士1.

一2一

【分析】由题意，根据直角三角形的直角顶点所在位置以及双曲线的定义得到|MA|,

的表达式，结合相似三角形的性质以及离心率公式进行求解即可.

解：已知同为直角三角形，

此时/MFIF2W90°,

若NFiMB=90°,

因为ONLMFi,

所以ON〃MFz,

此时点N为线段MFi的中点，不满足2诬=3NFi，

所以NMF2FI=90°,

即MF2_Lx轴，

不妨设X=c,

22

因为用一〜

ab

所以W='，

2222

即眼尸2|=旦_,\MFi\=^—+2a=-C

aaa"

因为2诬=3NF「

所以|NF||=—|MF1|=2(a2+c'j,

55a

易知△ONFisaMB乃，

1叫|_|OFi|

此时恒±1=IMF/'

22

WWa+c=V5ac-①

又e=£■且e>\,②

a

联立①②，解得e=返包.

_2

故答案为：返旦.

2

【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛“J的前〃项和为S”，42=10,59=9.

(1)求｛跖｝的通项公式;

（2）求数列｛|斯|｝的前〃项和T„.

【分析】（1）设数列｛斯｝的首项为a”公差为d,根据通项公式及前〃项和公式得到方

程组，解得。1、d,即可得解；

（2）令%>0求出〃的取值范围，再分段求出数列｛|斯|｝的前"项和

解：（1）设数列｛斯｝的首项为公差为d,

a2=a[+d=10=13

则V,解得4ai

Sg=9aj+36d=9=-

kd3

故“"=13-3(n-1)=16-3n.

(2)由(1)可得$=(13+16-3n)n=29n-3n；

n22

令斯=16-3”>0,解得n<±^'，

所以当1W〃W5时，a〃>0,则1二ai+ac+…+a=S产〉-3n

lna1a2andn2

当〃26时，a”VO,贝lj1+02+43+04+05-。6-----an

=2（。1+。2+。3+〃4+〃5）-（。1+。2+。3+〃4+。5+。6_|—^如）

cc、,29x5-3x5229n-3n23n2-29n+140

-2S5-S/2X------2-----------2-=------2-------'

2叱3n2,1<n<5

所以4=2

3n-29n+140n》6

【点评】本题考查数列通项公式的求法和数列前"项和的求法，综合性强，难度大，计

算繁琐，是高考的重点.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

18.如图，在△ABC中，NBAC=135°,AB=4,耽=2如.

（1）求sin/ABC的值；

S,

（2）过点A作AO_LAB,。在边BC上，记△ABO与△ACO的面积分别为Si,S,求三工

S2

的值.

【分析】（1）由余弦定理可得8C,由正弦定理可得sin/ABC；

(2)求出cos/ABC,由可求得BD=一学"，进而得C£>,由蓼=”求得

cosz_ABCS2CD

结果.

解：(1)在AABC中，由余弦定理可得BG=A82+AG-24rAecos/BAC,

则Bc2=16+8-2X4XX(=40,

故BC=2近3,

BC________AC

由正弦定理可得sinZBAC=sinZABC

AOsin/BAC_V10

则sin/ABO

BC~^o"

(2)因为NBAC=135°,

所以0°<ZABC<90°,

因为sin/ABC=^，

所以cosNABC

因为AOJLAB,

所以cosNABC=^，

DU

所以BD=一晾耍，

cosZ.ABC3

则CD=BC-BD粗耍，

o

设点A到直线BC的距离为d,

因为Si、d,

1242

所以I1席=2.

02CD

【点评】本题考查了余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.

19.如图，在四棱锥P-ABCZ)中，P2_L平面ABC。，PB=AC=AD=2,PA=3BC=3.

(1)证明：平面P4C_L平面P8C.

(2)若AO_LAB,求平面P8C与平面PAO夹角的余弦值.

p

D

【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可;

（2）建系，利用空间向量，向量夹角公式，即可求解.

解：（1）证明：因为P8,平面ABCZ）,又ABu平面ABCQ,

所以在RtZXPAB中，可求得怔=疗彳=病.

在△A8C中，因为8c=1,AC=2,

所以AG+BGnSnA#,所以AC_LBC,

又PB_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以4C_LPB,

又PBCBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以AC_L平面PBC,又ACu平面PAC,

所以平面PACJ_平面PBC；

（2）因为AB_L4O,P8_L平面ABC£）,

所以分别以标，BA.而的方向为x，»z轴的正方向，建系如图，

P“

x/D

P(0,>2),C〜0),D(2,0,0),AD=(2,0,0),AP=(0,~\/~512)

由（I）知4C_L平面P8C,

所以正=（2叵，应豆，0）为平面P8C的一个法向量.

55

设平面PA。的法向量为n=(x,y,z)，

则巧可写，取彘(0,2,收)，

n-AP=-V5y+2z=0

设平面PBC与平面PAD的夹角为0,

贝“cos6=|cos(n>AC)|=|•

InIIAC|15

【点评】本题考查面面垂直的证明，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题.

20.为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比赛，每场比赛采取五局

三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛中,

甲每局获胜的概率均为p,且前4局甲和对方各胜2局的概率为得.

(1)求p的值；

(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X,求X的分布列与期望.

【分析】(1)由题意，可知乙每局获胜的概率为(1-p),又前4局甲和对方各胜2局

的概率为看，列出等式即可求出〃的值；

(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中进行求解即

可.

解：(1)已知在一场比赛中，甲每局获胜的概率均为p,

所以乙每局获胜的概率为(1-p),

又前4局甲和对方各胜2局的概率为看，

则以俨(1-p)2=_|,

解得p=-^-；

P2

(2)易知X的所有取值为0,1,2,3,

止匕时P(X=0)=e)3q，P(X=l)=C；X(/)3乂/=得，P(X=2)=

C：X(»X>奈

P(X=3)=1-1常《3

则X的分布列为:

X0123

P2332

s-1616~2

故E(X)=OX^-+1X^+2X^+3X^=^1-.

81616216

【点评】本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力.

22r~

21.已知Fi,22分别是椭圆C：与■当=1(@>1>>0)的左、右焦点，2(1,—

a"bz2

椭圆C上一点，且而卜画,.

(1)求椭圆C的方程；

(2)延长呵，画，并与椭圆C分别相交于M,N两点，求△PMN的面积.

【分析】(1)由平面向量