2023届新疆乌鲁木齐市名校高三第一次联合模拟考试数学试题

2023届新疆乌鲁木齐市名校高三第一次联合模拟考试数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知不重合的平面/和直线/,贝！”的充分不必要条件是（）

A.a内有无数条直线与夕平行B.ILa且/

C.a-L/且y_L力D.a内的任何直线都与£平行

2.如图示，三棱锥ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ZACB^90°,且尸4=。8=48=也PC=5

3.已知函数〃x）="（a>0,且awl）在区间上",2〃?]上的值域为在”,2〃?],贝ija=（）

A.y/2B.-C.4或正D.9或4

4164

4.已知是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若ma,僧p,n//a,n///3,则a(3

B.若tn〃n,mVa,nL/3,则a0

C.若加_L〃，mua,nu0,则aJ•户

D.若加_L〃，ma,nl/3,则

2〃+l

5,已知数列｛a“｝的通项公式是a=sin----------71贝+生+%+…+〃|2=()

n2

A.0B.55C.66D.78

6.设双曲线C:二-乙=1的右顶点为A,右焦点为尸，过点户作平行。的一条渐近线的直线与C交于点8,则

916

△AF3的面积为（)

3264

AA.•D.C.5D.6

1515

Y2v22

已知双曲线：土■）一匕双曲2，一

7.G—1U-USPQ•Ar—1有相同的渐近线，则双曲线G的离心率为（

m/n-104

5D.男

A.B.5c.V5

42

=卜卜=4+1}

8.已知集合。=11,A={y|yNO},B;,贝！M①B=()

A.[0,1)B.(0,+oo)C.(l,+<»)D.[1,+co)

9.幻方最早起源于我国，由正整数1,2,3........./这〃2个数填入〃X”方格中，使得每行、每列、每条对角线上

的数的和相等，这个正方形数阵就叫〃阶幻方.定义/（〃）为"阶幻方对角线上所有数的和，如/（3）=15,则f（10）=

()

E□

□S□□

A.55B.500C.505D.5050

10.若函数.f（x）=x3+ox2+3x-9在％=_3时取得极值，贝ja=（）

A.2B.3C.4D.5

11.若i为虚数单位，则复数z=K=在复平面上对应的点位于（）

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直

角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°,若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不

计，取百合1.732）,则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）

A.134B.67C.182D.108

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy中，双曲线，上1（。〉0,b>0）的左顶点为A,右焦点为尸，过尸作x轴的垂

线交双曲线于点九。.若A4PQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是.

A1

14.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且/=/十82一缶"。=8,sin,=§,则。=.

22

15.已知双曲线。：二—二=1（«>o,b>0）的左，右焦点分别为匕，F2,过点E的直线与双曲线的左，右两

ah

7

支分别交于A,B两点,若|AB|=|AK|,COSZBAF2=-,则双曲线C的离心率为.

O

16.若（2—x）=a。+a［（1+x）+4（1+x）-++%（l+x）>则％+%+。2++4+%三__>a.=___.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知直线x+y=l过椭圆三+齐=l（a>">0）的右焦点，且交椭圆于4,8两点，线段A8的中点是

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线/与线段48相交（不含端点）且交椭圆于C,D两点,求四边形AC5D面积的最大值.

18.（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用

“卑热表示每周，，水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个

周投入成本

周期）的诚信数据统计：

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

（I）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数嚏；

（D）若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周

进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；

（ni）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,

根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

19.(12分)如图，在三棱柱ADE-BCF中,ABCO是边长为2的菱形，且44£>=60。，CDEE是矩形，£0=1,

且平面CDEF_L平面ABC。，P点在线段8c上移动(P不与。重合)，〃是AE的中点.

(1)当四面体七。尸。的外接球的表面积为5兀时，证明：平面EDP

(2)当四面体EQPC的体积最大时，求平面"DP与平面EPC所成锐二面角的余弦值.

20.(12分)已知等差数列｛4｝满足%=7,%+%=26.

(1)求等差数列｛%｝的通项公式；

(2)设％=」一,〃€N,求数列｛c“｝的前〃项和7“.

44+1

d+e~f

x=--------

2

21.(12分)在直角坐标系X。)，中，曲线。的参数方程为：乙(其中/为参数)，直线/的参数方程为

一-二

y=--------

I2

,C1

x=2+—j=m

2'5(其中机为参数)

(1)以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线。的极坐标方程；

(2)若曲线C与直线/交于A3两点，点p的坐标为(2,0),求|/%卜|尸邳的值.

2

22.(10分)已知函数/(龙)=0，

(1)求函数的单调区间；

4r2

(2)当0<相</时，判断函数g(x)=]—〃2,(x>0)有几个零点，并证明你的结论；

(3)设函数〃(x)=；+---ex2,若函数〃(x)在(0,+8)为增函数，求实数C的取值

范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A.a内有无数条直线与夕平行，则。，尸相交或。///，排除；

B./la且/_L/7,故二//夕，当a///?,不能得到/_La且/，尸，满足；

C.且夕，alIp,则a,7?相交或a//£,排除；

D.。内的任何直线都与尸平行，故二//夕，若。//夕，则a内的任何直线都与力平行，充要条件，排除.

故选：B.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.

2、A

【解析】

首先找出PC与面Q46所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系

求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知.ABC是等腰直角三角形且NACB=90°,^ABP是等边三角形，

O

B

设AB中点为。，连接P。，CO,可知po=逅，CO=—>

22

同时易知AB1CO,

所以AB_L面POC,故NPOC即为PC与面RLB所成角,

PO2+CO2-PC225/2

有cosZ.POC=

2PoeO

故sin4Poe=Vl-cosZPOC=-

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

3,C

【解析】

对。进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.

【详解】

a"'=mla'"=2m

分析知，相>0.讨论：当时，《，所以""=2,m=2,所以。=及；当0<a<l时，<

a-m=2m

所以优'=；,根=所以。=，.综上，。=±或“=夜，故选C.

【点睛】

本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素

养.

4、B

【解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】

A选项，若ma,m,，n//a,n///3,则a，或a与P相交；故A错；

B选项，若;？2〃〃，mVa,则〃_La,又鼠工。,々，夕是两个不重合的平面，则aP,故B正确；

C选项，若mua,则〃ua或〃〃a或〃与a相交，又〃u尸，a,£是两个不重合的平面，则。，或a

与父相交；故C错;

D选项，若加，〃，m\a,则〃ua或〃〃&或〃与a相交，又〃，夕，/夕是两个不重合的平面，则a4或a与

尸相交；故D错；

故选B

【点睛】

本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.

5、D

【解析】

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin|军1■万]的值，可进一步得到数列｛2｝的通项公式，然后代入

q+%+%+…+/转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当〃为奇数时，sin(符已))=sin(〃万+^1)=sin(7+5)=sin言=-1,

当n为偶数时，sin[---71\-sin[“7+yl=siny=1

所以当〃为奇数时，。“=-〃=当〃为偶数时，4=/,

所以q+%+%-1----1*。12

=-12+22-32+42------112+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

6、A

【解析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点A、右焦点尸的坐标，再求出过点尸与C的一条渐近线的平行的直线方程，通过

解方程组求出点5的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】

由双曲线的标准方程可知中：a=3,b=4:.c=yla2+b2=5.因此右顶点A的坐标为(3,0),右焦点尸的坐标为

44

(5,0),双曲线的渐近线方程为：y=±-x,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线y=-x

44

的直线与C交于点3,所以直线所的斜率为因此直线所方程为：y=-(x-5)9因此点8的坐标是方程组：

y=|u-5)17

彳1732

的解，解得方程组的解为:；，即以三「恁)，所以所的面积为:

__匕

916

32

故选：A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.

7,C

【解析】

由双曲线G与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出〃?的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案.

【详解】

222

由双曲线G：土+上一=i与双曲线-2-=1有相同的渐近线，

m"2-10

2,解得加=2,此时双曲线G：^--乙=1,

28

则曲线G的离心率为e=£=Y孚=6,故选C.

aV2

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8、A

【解析】

求得集合B中函数的值域，由此求得加8,进而求得人心或①.

【详解】

由y=«+121,得8=[1,物)，所以Q/=(fU),所以AI率3=[0,1).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

9、C

【解析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得/(〃)=1+2+3+-一+〃,即得解.

n

【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以〃阶幻方对角线上数的和/(〃)就等于每行(或每列)的数的和，

又〃阶幻方有〃行(或〃列),

1+2+3+…+〃2

因此，f(ri')=

n

1+2+3+…+99+100

于是/(10)==505.

10

故选：C

【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

10、D

【解析】

对函数求导，根据函数在x=-3时取得极值，得到广(-3)=0,即可求出结果.

【详解】

因为,f(x)=x3+ax2+3x-9,所以/'(X)=+2or+3,

又函数/(x)=V+加+3x-9在％=-3时取得极值,

所以./(—3)=27—&,+3=0,解得a=5.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.

11、D

【解析】

31

根据复数的运算，化简得到2=二-《"再结合复数的表示，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意’根据复数的运算'可得］=而1+z=（；（l++2z；））（（l1-2z3）=二3-z=丁3」1

3

所对应的点为5，-5位于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12、B

【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.

【详解】

解：设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为迫，

22

下)1-16

则小正方形的边长为上，小正方形的面积5=—-1------，

2222)2

则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为

x500«(1-0.866)x500=0.134x500=67'

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】

根据AAPQ是等腰直角三角形，且尸为PQ中点可得A/=巧乙再由双曲线的性质可得a+c=L,解出《即得.

a

【详解】

x=c--

h~

由题，设点P(c,%)，由-y2,解得％=±幺，即线段PF=£_,A4PQ为直角三角形，

-z----——l(^z>0,Z?>0)cia

h-

ZPAQ=-9且AP=42,又尸为双曲线右焦点，PQ过点尸，且尸轴，.・.A尸=依，可得〃+。=幺

2a

2_2

a+c=----—,整理得：2«2+ac-c2=0»即e*-e-2=0，又e>l,e=2.

a

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.

14、9

【解析】

已知由余弦定理即可求得C=£,由sin&=」可求得cos4=2叵，即可求得sinA，利用正弦定理即可求得结果.

42323

【详解】

「历A1

由余弦定理/+。2_2a0cosC和/=/+/?2-，可得cosC=，得sinC=>由sin—=—,

2223

A2夜.,一.AA472ac始八

cos—=-----，；.sinA=2sin—cos—=------,由正弦定理------=----—»得c=9.

23229smAsinC

故答案为：9.

【点睛】

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，难度一般.

15、巫

3

【解析】

设忸用=〃,|伤|=加，由双曲线的定义得出：忸周=勿+〃,|筋|=加一2右由|AB|=|A用得AB居为等腰三角

形，设NA8鸟=NA鸟8=6,根据cosZBA居=(,可求出J_5忸目=5"，得出机=2”，再结合焦点

8

4|AF2|m

三角形ABFF2,利用余弦定理：求出。和c的关系，即可得出离心率.

【详解】

解:T^\BF2\=n,\AF2\=m,

由双曲线的定义得出：

忸周一忸鸟|=2凡则忸制=2。+〃，

|然|一|秋|=2。,则|4耳|=相_勿,

由图可知：|Afj|=4a+〃一加,

又\AB\=\AF2\,

即而+〃一加二相，

则21n=4々+〃，

・•・AA8Q为等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

?.20+ZBAF2=7r9则2。=乃一N8AK，

7

cos20=cos("-ZBAF)=-cosBAF=——,

228

071

即cos26=2cos2。-1二一一,解得：cos6=—,

84

1

,£—77=_1，解得：〃2=2〃，

m4

4

4〃=4Q+〃，即3〃=4。，解得：n=—a,

3

8

m=­a,

3

在中，由余弦定理得:

忸"广+忸用2一-段

cosZFJBF2=cos0=

2忸用忸鸟4

flO¥f4Y2

W+Uc?」=『J+口Yu,

即:

2（2a+/z）・〃4c1。44

v72x——ax—a

33

解得：e2=^=—,即e=£=口色.

a236a3

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

16、12821

【解析】

令x=0,求得“。+6+。2++4+%的值•利用［3—(1+x)］展开式的通项公式，求得生的值.

【详解】

令x=0,得4+q++%=27=128.［3-(1+”了展开式的通项公式为337-［一(1+力］'，当r=6时，为

C^3'(1+X)6=21(1+X)6,即4=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+y2=l(2)拽

2-3

【解析】

42

(D由直线X+y=1可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点加可得玉+W=**+%=(,且由斜率公式可得

上工=-1,由点A5在椭圆上，则1+二=1国+母=1，二者作差，进而代入整理可得/=2b2，即可求解；

X?—%aba厅

(2)设直线l：y=kx点A,B到直线I的距离为4,d2，则四边形的面积为S=^\CD\-dl+^\CD\-d2=(4+4),将

y=^代入椭圆方程，再利用弦长公式求得|C£>|,利用点到直线距离求得4,4,根据直线/与线段A5(不含端点)相交,

可得X0-+g)<0,即氏〉进而整理换元，由二次函数性质求解最值即可.

【详解】

(D直线x+y=1与X轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故c=1,

因为线段A8的中点是M

设A&,y）,6（马,必），则为+%=［，乂+%=］，且:

又£+£=i,M+g=i,作差可得立■+££=（）,

a优廿crbz

贝^（.一飞）!遇+%）+（%+=o,得/=2b2

a'b

又/=〃+c2c=1,

所以〃=2,〃=1,

因此椭圆的方程为1+9=1.

24

X21X———

—+V=1x=03

(2)由(1)联立《2，解得,或，

y=l1'

x+y=1y=—

3

不妨令4(0,1),唱,一),易知直线i的斜率存在，

设直线/：丁=依，代入[+y2=],得(2公+1,2=2,

■JlJ1

解得.而场或一环？

/o2/9

设。(工,必),。(辱乂),则卜7人五币+行厂而下,

2

贝！J|co|=J1+二k-x4|=\J\+k

w+1

因为40,1),展,-1到直线>=履的距离分别是1，/」3*:，

㈠314一4‘4一k

由于直线/与线段(不含端点)相交，所以(％xO-+即上〉一

133)4

4^44

+§(E)

所以4+4=313

川+公

四边形AC8。的面积5=*。|0+*。|4=*。|(4+4)=警・品

3

令攵+1=，/>—,则2公+1=2/一41+3,

4

。4夜t4&I?401-

所以3,29一4/+33丫2产—由+331_4+^1

11c1_4g

当_=2即上=5时,%-_=逑W-X尸|场一亍，

t32V12

因此四边形ACBD面积的最大值为生亘.

3

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算能力.

2

18、(I)91%；(H)］；(ID)两次活动效果均好，理由详见解析.

【解析】

(I)结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；

(II)设抽到“高诚信度”的事件为4,则抽到“一般信度”的事件为B,则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件

为C,利用列举法列出所有的基本事件和事件C所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；

(m)结合表中的数据判断即可.

【详解】

(I)表中十二周“水站诚信度”的平均数

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x---------------------------------------------x——=9n1i%o/.

12100

(II)设抽到“高诚信度”的事件为4,则抽到“一般信度”的事件为B,则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为C,总

的基本事件为A4、44、44、AA、44、44、4A、44、AA、AA、4以4氏4氏、共15种,

事件C所包含的基本事件为44、AA、44、AA、44、&4、&4、4&、4&、444共10种，

102

由古典概型概率计算公式可得，P(C)=^=-.

(ni)两次活动效果均好.

理由：活动举办后，“水站诚信度，由88%—94%和80%—85%看出，后继一周都有提升.

【点睛】

本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典

概型概率的关键；属于中档题、常考题型.

7

19、(1)证明见解析(2)-

8

【解析】

(1)由题意，先求得P为8。的中点，再证明平面HW5//平面E0P,进而可得结论；

(2)由题意，当点P位于点8时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.

【详解】

(1)证明：当四面体EOPC的外接球的表面积为5兀时.

则其外接球的半径为由.

2

因为ABCD时边长为2的菱形，CDEF是矩形.

ED=\,且平面CDEEL平面

则平面ABC。，EC=M.

则EC为四面体EOPC外接球的直径.

所以NEPC=90。，即CB_L£：P.

由题意，CB±ED,EPED=E,所以CBLOP.

因为N84D=N5c£>=60。，所以P为8c的中点.

记AO的中点为M，连接MH,MB.

则MBPDP,MHPDE,DEcDP=D,所以平面“M3//平面EDP.

因为HBu平面HMB，所以HB//平面EDP.

(2)由题意，EDlYffiABCD,则三棱锥£—DPC的高不变.

当四面体E0PC的体积最大时，△OPC的面积最大.

所以当点P位于点3时，四面体EDPC的体积最大.

以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一砂z.

则。(0,0,0),£(0,0,1),5(73,1,0),H,C(0,2,0).

所以。5=(G,l,0),DH=,EC=(O,2,-l),£B=(V3,1,-1).

设平面"DB的法向量为团=(X］，x，zJ.

DB-m-6x、+y=0,

J3I।

DH,m=—X,—y.H—z.=0,

212121

令X1=l,得"2=(1,-8

设平面EBC的一个法向量为/i=(x2,y2,z2).

EC-n-2y,-z,=0,

则r-

EBn=V3X2+y2-z2=0,

令％=3,得“=(6,3,6).

设平面与平面EPC所成锐二面角是。，贝！|cose=

7

所以当四面体EDPC的体积最大时，平面“0P与平面EPC所成锐二面角的余弦值为

【点睛】

本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面

平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题.

几

20、(1)%=2〃+1；(2)7；,=-~

6〃+9

【解析】

试题分析：(D设等差数列｛%｝满的首项为为,公差为"，代入两等式可解

⑵由⑴-2〃+1,代入得的臼*-荒，所以通过裂项求和可求得小

q+2d=7[4=3

试题解析：（1）设等差数列的公差为d,则由题意可得cc/，解得C

2q+10d=26[d=2

所以a”=3+2(n-l)=2n+l.

11

(2)因为%=-----=

aa(vv

nn+\(2〃+1)(2〃+3)

______

所以C,212〃+12n+3)

_if11,1111Vn

所以“―5[§一弓+^_'++2»+l-2n+3)~2\3~2n+3J6n+9

21、(1)cos2。=1(。G(,一))(2)5

44

【解析】

（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据X=QCOS6,y=psin。，得到曲线的极坐标方程;

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解;

【详解】

e'+e'

x---------

9

解：（1）曲线C：〈,消去参数/得到：x2-y2=](xzl),

e-e

y=--------

2

由x=/?cos6,y=psinff,

得p1cos20-p2sin26=1(6e

44

所以22cos2。=1(。

'c1

x=2+—j=m

5

⑵v2代入/一产二1,

y=­m

3o4

：.—m~——产，〃-3=0

575

设PA=g,PB=m2,由直线的参数方程参数的几何意义得:

叫阿=帆町|=5

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.

22、(1)单调增区间(0,2),单调减区间为(F,0),(2,”)；(2)有2个零点，证明见解析；⑶

【解析】

(1)对函数/(X)求导，利用导数f(X)的正负判断函数/(X)的单调区间即可;

2

⑵函数g(x)=--/«,(x>0)<2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;

ex

1y21

(3)记函数F(x)=/(x)-(尤-与=上-尤+<龙>0,求导后利用单调性求得F(l)-F(2)<0,由零点存在性定理及单

xexx

调性知存在唯一的x°e(l,2),使/(%)=0,求得〃(x)为分段函数,求导后分情况讨论：①当尤〉/时，利用函数的单

调性将问题转化为2c4〃(4面的问题;②当0<x</时，当cWO时,力'(幻>0在(0,%)上恒成立，从而求得c的取

值范围.

【详解】

⑴由题意知dej-2J列表如下：

X(-8,0)0(0,2)2(2收)

f,(x)—0+0—

/(x)极小值极大值

所以函数“X)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(9,0),(2,+8).

2

Y

(2)函数g(x)=j-a,(x20)有2个零点.证明如下:

44

因为Ovm<-r时，所以g(2)=二一〃2>0,

ee

因为g(X)=-27)，所以g(6〉0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上单调递增,

e

由g(2)〉0,g(())=—加<0,且g(x)在(0,2)上单