2023-2024学年山东省枣庄市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知点H是点以2,9,6)在坐标平面。中内的射影，则点，的坐标为()

A.(2,0,0)B.(0,9,6)C.(2,0,6)D.(2,9,0)

【正确答案】D

【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.

【详解】因为点4是点42,9,6)在坐标平面。町内的射影，所以©的竖坐标为0,

横、纵坐标与4点的横、纵坐标相同，所以点H的坐标为(2,9,0).

故选：D

2.已知加=(x,-2,5),〃=(1,4,-10),且而〃则*的值是()

A.--B.-2C.vD.2

22

【正确答案】A

【分析】由蓝〃■直接列方程求解即可.

【详解】因为五=(居一2,5),"=(1,4,70),且记〃加

所以A*焉，解得、=《，

故选：A

3.如图，空间四边形O/8C中，OA=~a>OB=b>历=1点M在。4上，且OM=2M4,

N为8c的中点，则砺=()

B.一与+与+匕

322

1-21-

D.—a+—b7——c

232

【正确答案】B

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】MN^ON-OM;（丽+西号3**5寺

故选：B.

4.已知直线心、屈若直线右与《垂直，则4的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正确答案】D

【分析】由直线，2与4垂直得到4的斜率与，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.

【详解】因为直线，2与4垂直，且4=6,所以4X与=-1,解得q=一日，

设4的倾斜角为々，tana=-乎，所以a=150".

故选：D

5.在棱长均为1的平行六面体ABCD-ABCQi中，/BAD=/BAA、=ADAA,=60°,则卜弓卜

（）

A.5/3B.3C.576D.6

【正确答案】C

【分析】设在=£,AD=b，AA]=c,利用J布卜屈瓦芯结合数量积的运算即可得

到答案.

【详解】设48=。，AD=b>44]=。，由已知，得<〃,书>=60',<a9c>=60°,<c,b>=60°»

16r|=||=|c|=1,所以QB=a.c=c%=5，

1uuir.rr-r—r—rn~~r;~r;r-rFTr^r

所以AG=J（o+b+c）2=5/4+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=yj6-

故选：C

6.已知数列应｝满足％=2,%尸子当勺为偶数时，贝a=（）

3%+1,当对为奇数时，

A.—B.1C.2D.4

64

【正确答案】B

【分析】根据递推式以及4=2迭代即可.

【详解】由4=2,得02=3=1,a,=3a2+1=4,a4=-^-=2,%=?=1,

%=3%+1=4,a7=^~=2,%=今=1.

故选：B

7.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的

焦点.已知抛物线f=4y的焦点为R一条平行于y轴的光线从点区(1,2)射出，经过抛物

线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点()

A.(-1,2)B.(-2,4)C.(-3,6)D.(-4,8)

【正确答案】D

【分析】求出A、尸坐标可得直线4F的方程，与抛物线方程联立求出8,根据选项可得答

案，

【详解】把x=l代入/=外得y=；,所以4I。，尸(0,1)

1-13

所以直线//的方程为，4,即产一9+1，

y—i=----x4

0-1

3।.

与抛物线方程联立,4解得］.所以2(-4,4),

X2=4yI"-

因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确，

故选：D.

8.已如双曲线*《=1。>06>0的左、右焦点分别为耳，F2,过用的直线交双曲线的右

ab

支于4,8两点，若伤1AB,且4|/用=3|/回，则该双曲线的离心率为()

A.我

B.710C.叵D.75

22

【正确答案】A

【分析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到娟=3。，=利用勾股定理得

到关于a,c的等量关系，求出离心率.

【详解】连接片8,设用=3x,则根据4M用=3|/却可知，邳=4x,因为由

勾股定理得：|耳却=5x,由双曲线定义可知：|/|-M图=2a,阿|-阿|=%,解得:

|j/s|=3x-2a,\BF2\=5x-2a,从而3X-2Q+5X-2Q=4x,解得：x=at所以月|=3a,

叵，即该双曲线的离心率为叵.

22

二、多选题

9.圆V+/=4与圆/+/-4x-2/ny+/=0的位置关系可能是（）

A.外离B.外切C.相交D.内含

【正确答案】ABC

【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.

【详解】/+F-4x-2,〃y+"户=0整理为：（x-2）2=4,从而圆心为（2,加），半

径为2,而》2+/=4的圆心为（0,0）,半径为2,从而两圆的圆心距为,4+,

当•>2+2,即团>2石或相<-2百时，此时两圆外离;

当d4+m2=2+2,此时/M=±2#'，此时两圆外切；

由于"+苏22恒成立，故当24“+/<2+2，即-26<m<2j5时，两圆相交；

且^^7版22,故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.

故选：ABC

10.已知S”为等差数列｛叫的前〃项和，且q=-7,S3=-15,则下列结论正确的是（）

A.an=2n-9B.｛%｝为递减数列

C.q是4和劣的等比中项D.S”的最小值为-16

【正确答案】AD

【分析】先由题干中条件得到公差"=2,从而求出通项公式，判断出AB选项；计算出处,

4，为发现4、氏。，故判断C选项的正误；D选项｛《,｝为递增数列，且%=-1<0,

%=1>0,从而得到其最小，计算出结果即可判断.

【详解】由题意得：S3=3q+3d=-15,因为％=-7,所以4=2,所以｛6｝通项公式为：

勺=-7+2（〃-1）=2〃-9,A选项正确；由于d=2>0,所以｛/｝为递增数列，B选项错误;

通过计算可得：。4=-1，。6=3，%=9,其中所以。6不是%和的的等比中项，

C选项错误；因为｛凡｝为递增数列，且4=-1<0,«5=1>0,故S“在〃=4时取得最小值,

$4=4%+6d=-28+12=-16,D选项正确

故选：AD

11.已知直线a+l）y-l=0,其中aeR,下列说法正确的是（）

A.若直线/与直线x-y=0平行，则”=0

B.当。=1时，直线/与直线x+N=0垂直

C.直线/过定点（1,0）

D.当。=0时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【正确答案】BC

【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.

【详解】对于A项，若直线/与直线x-N=O平行，则/一叶1=1=4"1)=0=。=0或1,

故A错误；

对于B项，当。=1时，直线/为x-y-l=O,斜率为1,而直线x+y=O斜率为-1,...两条

直线垂直，故B正确：

对于C项，-a+l)y-l=0恒成立时，令y=0,得x=l,即直线过定点(1,0),故C

正确；

对于D项，当a=0时，直线/为x-y-l=0,令x=0ny=-l,令y=0nx=I,所以横截

距和纵截距互为相反数，故D错误.

故选：BC.

12.如图，在边长为2的正方体/8CD-44GA中，P在线段8n上运动(包括端点)，下

列选项正确的有()

C.直线PC|与平面488，所成角的最小值是g

6

D.尸C+尸。的最小值为26

【正确答案】ACD

【分析】证明AC,平面48〃得到A正确；取特殊点排除B；根据距离的最值得到C正确;

确定尸C+PZ)=尸。+尸4241得到D正确，得到答案.

【详解】如图所示：连接/，，DB,纥C,

1平面BCC/i，B(u平面8CG。，故N8J.8C，

B、C1BG,BC,//ADt,故qC_LAD],

又因为/Bn"A=4故印。平面482,

又因为/Pu平面48。，故/尸C,A正确；

当尸与B重合时，PB即3Q,由于。3,8c不垂直，故B错误;

C,到平面A、BCD,的距离为;CQ=五，

当PG最大时，直线pq与平面45CD,所成角度最小，

PC)的最大值为8c=2&，

故此处线面所成角的最小值。的正弦值为sind=g=Le/0,』71，故®=7F1，C正确:

2近2L2j6

PC+PDPC+PA}>AtC,当4,RC三点共线时等号成立，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.若2=(1,0,-1),6=(0,2,1),"=(2,九—1)为共面向量，则机的值为.

【正确答案】2

【分析】根据空间向量共面定理即可求解.

【详解】若7为共面向量，

则存在一组唯一的实数九〃，使得展=21+〃$,

即（2,九-1）=/,0,-1）+〃（0,2,1）,

2=2b=2

即＜2〃=加,解得，m=2,

一九+〃=-11〃=1

故2

14.已知数列｛%｝中，%=2,%=】，且数列｛7%｝为等差数列，则%=.

7

【正确答案】-

1______1_

【详解】试题分析：由题意得：,有1一m111、yaw57

a=-------:-----=—,-------=-------1-（5-3W=-=aJ=—

7-324a5+l%+112‘5

等差数列通项

15.在棱长为1的正方体44GA中，O为平面4月的中心，E为8C的中点，

则点O到直线4E的距离为.

【正确答案】旦触6

66

【分析】建立空间坐标系，求解直线4"的单位方向向量工，结合勾股定理进行求解.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（1,0,1）,E（；,1,0）,0（1,；,；）,

因为M=.04=（o,-；,；）,

2IA[E\33322

-----2

所以。4・〃=一].

所以点。到直线4E的距离为不忒_画;）2=4.

故答案为.正

6

16.已知点4(2,1),5(3,4),C(0,2),直线/h=左卜-1),若直线/与线段48有公共点,

则k的最大值为；若直线/与线段BC有公共点，则上的取值范围是.

【正确答案】2(-8,-2］可2,+8)

【分析】直线/表示过点(1,0)的直线，在平面直角坐标系中作出线段当直线/过点8

时，直线/与线段43相交且斜率最大，求出斜率；作出线段8C,直线/分别过点8和点C

时，为斜率的临界值，得到斜率的取值范围.

【详解】直线/表示过点。0)的直线，在平面直角坐标系中作出线段48如图，

当直线/过点8时，直线/与线段48相交且斜率最大，此时斜率勺=。=2；

在平面直角坐标系中作出线段8c如图，

直线/过点8时，斜率匕=2,直线/过点C时，斜率玲=^^=-2,所以上的取值范围为

(-co,-2]U[2,+co).

故2:U[2,+oo)

四、解答题

17.(1)在等差数列｛%｝中，5“为其前"项的和，若S4=6,58=20,求九.

(2)在等比数列中也｝也+4=60,处3=36,求。和公比4.

【正确答案】(1)72；(2)自=2,夕=3或々=-2应=-3

【分析】(1)利用等差数列前〃项和公式计算首项和公差，再代入计算品,；(2)利用等比

中项的性质求优，并结合"+a=60确定4的具体值，再代入等式计算可求出4，q.

【详解】解：(1)设数列｛q｝的首项为q,公差为d,

4al+6d=6,

由题意，得。二。,”

8%+28d=20

31

解得q=Z，d

所以品=16q+1204=72.

(2)由等比数列的性质可得，她=母=36,

又a+“=b2(l+r)=60,

所以b2>0也=6,

所以1+q,=10,

解得g=±3.

当g=3时，^,=—=2；

q

当g=-3时，6,=—=-2.

q

18.给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在了轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其

焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x=-2.

（1）对于顶点在原点。的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线。

的方程是V=4x,并说明理由；

（2）过点（4,0）的任意一条直线/与C:/=4x交于A,B不同两点，试探究是否总有

OALOB^请说明理由.

【正确答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有次，砺，证明见解析

（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适

合，利用焦半径公式可判断条件③适合；

（2）假设总有风，砺，设直线/的方程为x=W+4,联立）-,利用韦达定理计算

x=ty+4

方•砺可得结果.

【详解】解：（1）因为抛物线C：/=4x的焦点厂（1,0）在x轴上，所以条件①适合，条件②

不适合.

又因为抛物线C：/=4x的准线方程为：x=-l,

所以条件④不适合题意，

当选择条件③时,|4同=乙+1=1+1=2,

此时适合题意，

故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2=4x；

（2）假设总有厉_L丽，

由题意得直线/的斜率不为0,

设直线/的方程为x=W+4,

y2=4x

由《得/一416=0

x=W+4

设“（X1,必），8（X2，%）

所以A>0恒成立，必+%=47,y1y2=-16,

222

则玉*2=（阴+4）（仇+4）=tyfy2+4/（^+y2）+16=-16^+16/+16=16.

所以。404=$'2+必歹2=16-16=0,

所以厉，砺，

综上所述，无论/如何变化，总有况J.而.

本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

19.如图，在四棱锥P-48c。中，底面/BCD为正方形，4B=2,AP=3,直线尸4垂直于

平面ABCD,E,F分别为P4”的中点，直线ZC与。尸相交于。点.

（1）证明：与CD不垂直；

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析;

⑵一土

【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、3/P所在直线分别为X、＞、z轴建立空间直

角坐标系，求出点。的坐标，计算得出无.①wO,即可证得结论成立；或利用反证法；

（2）利用空间向量法即求.

【详解】（1）方法一：如图以点A为坐标原点，AB、AD、4P所在直线分别为X、夕、z轴

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则C(2,2,0)、0(0,2,0),P(0,0,3)、《0,0,|)、尸(1,0,0).

___uuu

设因为尸。="1,/,0),FZ)=(-1,2,0),

因为彷〃而，所以得T，即点。住I，o],

—123\33)

因为正=[WCD=(-2,0,0),

---4

所以OE-CZ)=:wO,

3

故OE与CD不垂直.

方法二：假设。£与CD垂直，又直线4，平面ZBCACOu平面N8CD,

所以P/，CO.而尸”与OE相交，

所以CDJ_平面P/C

又。u平面P4C,

从而CD1CA

又已知N88是正方形，

所以C。与CZ不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，

即OE与C。不垂直得证.

(2)设平面尸8c的法向量为$=(』,必,zj,又。(0,2,0),P(0,0,3),8(2,0,0),C(2,2,0)

因为丽=(-2,0,3),而=(0,2,0),

所以偿而=/+：=。，令寸3,得屋(3,0,2).

BCm=2必=0

设平面PCD的法向量为方=(七,%/2),

因为诙=(-2,0,0),丽=(。,2,-3),所以除工或二。，

令%=3,得万=(0,3,2).

因为际何，讣辐=9

显然二面角8-PC-。为钝二面角，

4

所以二面角8-PC-D的余弦值是一石.

20.已知数列｛”“｝的前n项和S,=2a„-2.

(1)证明｛4｝是等比数列，并求｛《,｝的通项公式；

(2)在。“和％”之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数列

的前N项和。.

【正确答案】(1)证明见解析，。"=2”

⑵3一展

【分析】(1)利用4=S“-S,i(〃22)及已知即可得到证明，从而求得通项公式；

(2)先求出通项上=等，再利用错位相减法求和即可.

【详解】(1)因为S,,=2a,,-2,

当"22时，S,,_i=2a“T-2,

所以，当〃22时，a“=2%,又q=2%-2,解得q=2,

所以｛。“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

故。,,=2"

-2〃1〃+1

(2)因为。“=2"，所以"，=%a!，a=/_,—,

〃+1n+1an乙

7；」+L-L2xL3>4++(〃+】)J,

"4w42222”，

/1T=2rx/1+c3lx>+...+/(〃+1l、)x尸1，

所以=1+卷+/+~+/-(〃+1”击

i尹0-2"T)〃+131n+1

=1+4-------&-------------=----------------

i2”+i22〃2〃+i

1—

2

_3〃+3

―22n+,

LL,、|f〜〃+3

所以北=3-芝二

21.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南

面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道

与辅道距离10米.在建筑物底面中心。的东北方向20&米的点4处，有一360。全景摄像

头，其安装高度低于建筑物的高度.

•A

摄像头

西辅道/Q\东辅道

西景源/物光景直道东

(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？

(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.

【正确答案】(1)不在

(2)17.5米

【分析】(1)以。为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线

48方程，判断直线N8与圆。的位置关系即可;

(2)摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点/的直线/与圆O相切时的直线方程即

可.

【详解】(1)以。为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系

则。(0,0),/(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10

依题意得：游客所在点为例-5,0)

则直线N8的方程为主=短^,化简得4x-5y+20=0,

I20I20

所以圆心。到直线4B的距离4=+52=百<4,

故直线AB与圆0相交，

所以游客不在该摄像头监控范围内.

(2)由图易知：过点4的直线/与圆。相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡,

所以设直线/过A且恰与圆。相切，

①若直线/垂直于x轴，则/不可能与圆0相切；

②若直线/不垂直于x轴，设/：y-20=%(x-20),整理得H-y-20A+20=0

所以圆心0到直线/的距离为”=『芋,+”=4,解得4='或%=:，

"2+143

34

所以直线/的方程为y-20=：(x-20)或y-20=§(x-20),

即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0,

设这两条直线与了=-10交于。，E

y=-10y=TO

由解得x=-20,解得x=-2.5,

3x-4y+20=04x-3y-20=0

所以同=17.5,

观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.

摄像头

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)若直线/与椭圆C交于4、B两点,线段的中点为M,。为坐标原点，且|。河|=啦,

求N08面积的最大值.

【正确答案】(1)《