2023届河北省石家庄市部分学校高三年级上册期末联考数学试题

绝密★启用前

高三数学考试

注意事项：

1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将

答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜产一4%-12<0bB={x|2-x>l},则Ac3=（）

A.1x|-2<x<1}B.{x卜6<x<1}C.{x[l<x<2}D.<x<6}

2.已知复数z=a+i（aeR）,若z2=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用奴泉水饮

用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml的泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况

主要有四种：A.全部喝完；B.喝剩约,；C.喝剩约一半；D.其他情况.该数学兴趣小组的学

3

生将收集到的数据进行整理，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）

6.在四棱锥P—ABCD中，平面ABCO,四边形ABCD是正方形，PA=AB,

PH=2HC,E,F分别是棱CD,Q4的中点，则异面直线3〃与ER所成角的余弦值

是（）

16c迎272

A.-B.---C.---D.----

3333

7.当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质.光线透过玻璃的性质，称为“透射”，

以透光率表示.已知某玻璃的透光率为90%(即光线强度减弱10%).若光线强度要减弱到原

来的上以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是(参考数据：1g2go.30,1g3no.477)

块块块块

8.已知函数/(x)=2sinr|cosx|+J§cos2x,则()

jr

Aj(x)的最小正周期是乃Bj(x)的图象关于直线》=看对称

14-rr勺-rr

”(力在［0,2可上有4个极值点口./(另在资考上单调递减

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知点A0,—2),8(2,0),C(3,-3),£>(-1,-6),则O

A.AB〃ACB.网=|AC|C.AC1ADD.cos/AB,BD\=0

10.已知。>0,b>0,且a+2Z?=l,则()

1i12

A.cibK-B.2a+。<—C.—H—29D.log/>0

82ab

11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该

礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的

等腰三角形.将长方体44G。的上底面4耳G0绕着其中心旋转45。得到如图

2所示的十面体ABCZ)'G".已知AB=AD=2,AE=布,贝ij()

A.十面体A8CD—跖G”的上、下底面之间的距离是a+1

B.十面体ABCD—EFG”的表面积是8指+8

C.十面体ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距离是史壁

2

D.十面体A5CD—£FG”外接球的表面积是(11+20)》

12.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)-g(2—x)=-5,

g(x)+/(x+2)=3.若〃x)的图象关于直线x=l对称，且〃3)=-3,则()

A.g⑴=6B.g(无)的图象关于点(0,4)对称

22

c.g(x)是周期函数，且最小正周期为8D.W>(%)=90

k=\

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线

上.

13.已知抛物线。:*=2〃？(〃>0)的焦点为尸，点4在抛物线。上，若点A到x轴的距

离是|A同一2,则〃=.

14.写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：.

①焦点在x轴上；②离心率为2.

15.某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目，要求每人只参加一个项目，

且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是.

16.已知/（x）是定义在（ro,0）D（0,+s）上的奇函数，/'（X）是/（x）的导函数，当x>0

时，+.若"2）=0,则不等式只/（力>0的解集是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.（10分）

公差不为0的等差数列｛4｝的前"项和为S“，且满足。3=10，%，。4，%成等比数列.

（1）求｛%｝的前"项和S,,；

2

（2）记仇=-----,求数列｛〃｝的前〃项和

S“+6

18.（12分）

某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有兵乓球都是质地均匀，大小与颜色相同

的，且每个小球上标有1,2,3,4,5,6这6个数字中的一个，每个号都有若干个兵乓球.

顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当x»5时，该顾客积

分为3分，当3Wx<5时，该顾客积分为2分，当x<3时，该顾客积分为1分.以下是用电

脑模拟的抽奖,得到的30组数据如下:

1311633412

4125312631

6121225345

(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分

的概率；

（2）某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几

折（如该顾客积分为3+3=6,商场就给该顾客的所有购物打10-6=4折），记该顾客最

后购物打X折，求X的分布列和数学期望.

19.（12分）

A

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，右cosA+cos—=0,且A£>=2£>8,

2

AE=4EC.

（1）求A的大小；

（2）若a=7,DE=2不,求△ABC的面积.

20.（12分）

如图，在正三棱柱ABC—44a中，AA]=AB,D,E分别是楼BC,Bg的中点.

（1）证明：平面AG。，平面4CE.

（2）求平面ACE与平面4CE的夹角的余弦值.

21.（12分）

225

已知椭圆C:，+/=l（a>〃>0）的离心率是半，点M（0,2）在椭圆。上.

（1）求椭圆C的标准方程.

⑵已知P（O,1）,直线/:>="+加化HO）与椭圆C交于A,B两点，若直线AP,BP

的斜率之和为0,试问△PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，

请说明理由.

22.（12分）

已知函数/（x）=e*-3f+冰的图象在％=1处的切线方程为>=（e-2）x+8.

（1）求a,b的值；

（2）若关于x的不等式对于任意恒成立，求整数加的最大值.

（参考数据：1由0之2.3）

高三数学考试参考答案

【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.

由题意可得A={H-2<X<6},8={X|X<1},则AC8={X[—2<X<1}.

【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.

f/72-1-3

由题意可得z2=q2-i+2ai=3+4i,则/'解得。=2,从而N=2—i,故复数N

2a=4,

在复平面内对应的点位于第四象限.

【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养.

当同时，〃力>0,则排除A,D；当xee考卜卜/（x）<0,则排除C.

故选B.

【解析】本题考查充要条件与三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想.

得

sin2a---=-sin=1-2sin21cr——I=—由

I6

是

~3

“sin（2aj）=；”的充分不必要条件.

【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养.

由题中统计图可知参加这次会议的总人数为40+40%=100,则所发矿泉水喝剩约一半的

人数为100x30%=30,故会议所发矿泉水全部喝完的人数为100—40—30—8=22.

【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养.

如图，分别取依，P4的中点M,N,连接MF,CM,MN.易证四边形CEE0是

平行四边形，则。0〃所，。3=石户.因为加，N分别是PB,PH的中点，所以

MN//BH,则NCMN是异面直线3”与£尸所成的角（或补角）.设AB=6,则

CM=EF=3娓,PM=-PB=342,CN=2PN=46,

2

MN=VPM2+PN2-2PM-PNcosZMPN="，故cosZCMN=""一*=1

2X3V6XV63

【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养.

设原来的光线强度为a(a>0),则要想通过〃块这样的玻璃之后的光线强度

6zx（90%）n<^a,即09'，即lg0.9n<lg^-,即

-21g5_-2（l-lg2）_-2+2x0.3

«30.4,故至少要通过31块这样的玻璃，才能

21g3-1-21g3-1-2x0.477-1

使光线强度减弱到原来的以下.

25

【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.

2sin[2x+—,2k兀----WxW2&万H—,

3J22

f（x）=2sia¥|cosx|+>/3cos2x=<画出/(%)

（八左、冗八，3九

-2sin2x,2kTV4—<x<2kjtd----,

I3j22

的图象，如图所示,

由/(x)的图象可知/(x)的最小正周期为2〃，则A错误./(x)的图象关于直线

x=br+^UeZ)对称，则B错误./(x)在［0,2同上有6个极值点，则C错误.当

XG■，当时，cosx>0,则/(%)=2sinf2x+y'j.令

■rr77r

解得k兀+一<x<k7r+——（keZ）.因为

1212v）

2k7T--<x<2k7r+—(%eZ),所以2k兀+2-&x<2k7V+—(kwZ).当攵=1时，

22'，122V'

25%5^rrj-..,137r5万,25乃5万、+13万5%..、可、当、斗

——<x<—.因为—r,——D——,一，所以/(x)在—上单倜递臧，则

122|_62」|_122」L62

D正确.

【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养.

由题意可得A8=(l,2),fiC=(l,-3),AC=(2,-1),AD=(—2,T),BD=(-3,-6),

则AB=—2AO,卜耳=卜。卜行，ACBD=0,故A,B,C正确，D错误.

【解析】本题考查不等式，考查逻辑推理的核心素养.

因为a〉0,b>0,且a+2/?=l,所以2缶^《1,即abW1，则A正确；

8

当a=L,〃时，2a+0=3>,，则B错误；

2442

>

l+_=（a+2Mf-+-|=—+—+5>9,当且仅当4时，等号成立，贝IJC正

abyab）ab3

确；

因为且。+2Z;=1,所以OCQVLO<Z?<1,所以log/>0,则D正确.

【解析】本题考查多面体外接球，考查直观想象的核心素养.

如图，补全长方体A3C£>-AB|GA•由题中数据可知4左=1+（/一1『=4一2正，则

A4,=^7-（4-2V2）=V2+l,故A正确.

因为AB=2,AE=y/l,所以aABE的面积R=,x2xJ7=T=逐，则十面体

2

ABCO-EFGH的表面积S=8#+8,故B正确.

因为十面体ABC。一瓦GH由长方体A5CZ）—4gG。的上底面绕着其中心旋转45°得

到，所以长方体ABC。-4用GA的外接球就是十面体ABCD-EFGH的外接球.设十面

体ABCD-EFGH外接球的半径为R,则R2=-'+,则十面体ABCD-EFGH外

4

接球的表面积是4万穴2=（11+2夜,，故D正确.

,，所以=《=叵，所以产

因为AE=BE=&sin/84E9BE49

币72sinN84E24

则十面体ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距离是

111+2y/249_117+12^2_1（3+2&）_3指+4#

V-424-V-24--V24一12故C错误.

【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养.

因为/(3)=—3,且g(x)+/(x+2)=3,所以g(l)+/(3)=3,所以g(l)=6,则A正

确.因为y=/(x)的图象关于直线x=l对称，所以“x)=/(2-x),所以

/(x+2)=/(—x).因为/(x)—g(2—x)=—5,所以/(2—x)—g(2—x)=—5,所以

f(-x)-g(-x)=-5.因为g(x)+/(x+2)=3,所以g(x)+f(-x)=3,所以

g(x)+g(—x)=8,则g(x)的图象关于(0,4)对称，且g(O)=4,故B正确.因为

/(x)—g(2-x)=-5,所以/(-x)—g(x+2)=-5,所以g(x)+g(x+2)=8,所以

g(x+2)+g(x+4)=8,贝Ug(x)=g(x+4),即g(x)的周期为4,故C错误.因为

〃3)=-3,且g(x)+〃x+2)=3,所以g(l)=6.因为g(x)+g(x+2)=8,所以

g⑶=2.因为g(O)=4,所以g⑵=4,则

22

>⑻=5[g(l)+g⑵+g⑶+g(4)]+g(l)+g⑵=5x16+10=90,故D正确.

k=\

【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养.

由题意可得5=2,解得〃=4.

2、,2

AV.

14.-----=1(答案不唯一)【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养.

412

72

满型口足犬一—yr1即可.

a~3。~

15.—【解析】本题考查概率，考查分类讨论的数学思想.

25

空^+C；.A；=150种,

甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目的情况有

2)

其中符合条件的情况有(c；+C；)A；=36种，故所求概率P=卷=卷.

16.(^O,-2)U(2,4W)【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想.

设g(x)=(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f\x).当x>°时,因为矿(x)+2/(x)>0,

所以g'(x)〉0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递增.因为是奇函数，所以

/(-x)=-/(x),所以g(—x)=(—X)=r2/(x)=_g(x),则g(x)是奇函数.

x3/(x)>0,即xg(x)>0.因为/(2)=(),所以g(—2)=—g(2)=0,则xg(x)>0等价

x>0,x<0,

于，或,解得％<—2或x>2.

g(x)>0-1g(x)<0,

a,+2d=10,

17.解：(1)设数列｛凡｝的公差为d,由题意可得，2/、即

(%+3d)~=(4+d)(q+6d),

%+2d=10,

3屋一3qd=0,

,,八n(n-\\d

因为dwO,所以4=6,4=2,则S〃=?•n2+5n.

(2)由(1)可知a=

11、

则(=4+4+-+b„

〃+2n+3>

(12n

故驾=2一—

"(3〃+33〃+9

评分细则：

(1)第一问中，也可以将为，4，%用％和。表示，从而求出d，再根据前〃项和公式

求出S.；

22

(2)第二问中求出7；=§一宗与不扣分;

（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.

18.解：（1）由题意可知某顾客抽奖一次，积分为3分的频率是色=1，则估计某顾客抽奖

305

一次，积分为3分的概率为

5

93

某顾客抽奖一次，积分为2分的频率是二=±,则估计某顾客抽奖一次，积分为2分的概

3010

3

率为一■

10

（2）由题意可知X的可能取值为4,5,6,7,8.

P（X=8）

亡。29

P（X=7）=2x*lq

Jo

Cj+C：C；5=42

P（X=6）

「145

唳=5）=罟嚏

则X的分布列为

X87654

7942181

D

r

292914514529

,,_/079,42181.

故E（X）=8x----F7x----F6x-------K5x-----F4x—6.6.

v7292914514529

评分细则：

（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；

（2）第二问中，得到随机变量X的所有取值得1分，每求出一个X取值的概率得1分,

只求出尸（乂,）«=4,5,6,7,8）的值，没有列出表格，不予扣分；

（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.

AAA

19.解:（1）因为cosA+cos—=0,所以2cos2—+cos-----1=0,

222

2cos--1||cos—+1|=0,解得cos"=，或cos4=-l（舍去）.

I2A2J222

m且A।]A7t..2〃

因为一£0M,一,所rri以sl一=一,则n4=—.

2t2j233

（2）设£>8=x,EC=y,则c=3x,b=5y,

在△ABC中，由余弦定理可得储=（3x）2+（5y）2-2.3x-5.y-cosA,

即9/+25^+15孙=49,①

在AADE中，由余弦定理可得。炉=(2x)2+(4y『-2・2x・4y•cosA,

即x2+4y2+2孙=7,②

联立①②，解得x=l,y=l,则c=3,0=5.

故△ABC的面积为L/jcsinA=@叵.

24

评分细则：

(1)第一问中，求出cos4=L,得3分，没有说明直接得到4=工，不

予扣分；

(2)第二问中求出匕，C的值得4分；

(3)若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.

20.(1)证明：由正三棱柱的性质，易证则NBCE=NCG。.

因为NCGO+NGOC=90，所以NBCE+NGOC=90,即CEJ_G。.

因为AB=AC,。是棱BC的中点，所以A£>_LBC.

由正三棱柱的定义可知CG1平面ABC,则eg1AD.

因为8C,CQu平面BCG4,且BCcCC|=C,所以AD,平面8CC4.

因为CEu平面BCG4,所以4JLCE.

因为A。，£Du平面AG。，且ADcGO=。，所以CE_L平面AQ。.、

因为CEu平面4CE，所以平面AG。，平面4CE.

(2)解：取B|G的中点尸，连接。歹.易证D4,DC,OE两两垂直，故以。为坐标原

点，分别以。C,

DA,。产的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

设AB=2,则A（0,G,0）,A（°，百，2），C（l,0,0）,E（-l,0,l）

故C4=（-1,30）,C£=（-2,0,1）,C4=（-1,73,2）.

设平面ACE的法向量为〃=（玉,%,zJ,

则/.CA=f+Gx=0,令与=£,得”=（后1,2网.

nCE--2x]+Z]=0,

设平面\CE的法向量为加=（%,%，Z2），

m-CA=一%+6%+2z,=0,//-\

则1222令w=l，得加二（L一石,2）.

mCE--2X2+z2=0,'，

设平面ACE与平面ACE的夹角为夕，

八।/|m-n|47376

则cos，=|cos〈〃?,n）\=n--=-,——/=——.

।'〃H|/?|71+3+4x73+1+124

评分细则:

（1）第一问中，也可以以。为坐标原点，分别以OC,DA,。尸的方向为x,y,Z轴

的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面AG。和平面的法向量a，b,由

a-b^O,得到平面AG。J_平面4CE；

（2）第二问中，也可以先找出平面ACE和平面AtCE的夹角0,再通过余弦定理求出cos6＞；

（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.

\c_41

~a~~,

21.解：（1）由题意可得卜=2,解得/=8,b2=4.

c2^a2-b2,

22

故椭圆C的标准方程为—+^-=1.

84

⑵设4（石,凶）,3（马,％）,

y=kx+m,

2

联立4%y2整理得

---1--—-1,

184

4km2〃/-8

XX

则X]+x2―9——，\2

2尸+12r+1

设直线4P,BP的斜率分别是勺，k2,

2km（m-\\

因为％+Z,=0,所以2%----J——^=0,解得加=4,

m--4

则

4.+[）（4左26）

2x16-8

|AB|="2+11%-々I=JK+1-