2022-2023学年广东省河源市龙川县培英学校八年级(下)开学数学试卷(含解析)

2022.2023学年广东省河源市龙川县培英学校八年级（下）开学

数学试卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

I.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（)

A.5、6、7B.10、8、4C.7、24、25D.9、15、17

2.在中，NC=90°，AB=3,AC=29则3c的值()

A.V5B.C.V7D.Vl3

3.判断下列三条线段“，b,c组成的三角形不是直角三角形的是()

A.a=4,b=5,c=3B.a=7,b=25,c=24

C.〃=40,Z?=50,c=60D.a=5,Z?=12,c=13

4.如图所示，在RlZVlBC中，AB=8,AC=6,ZCAB=90°,AD.LBCf那么AO的长为

)

2C.3D.4.8

5.如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=4cmfBC=3cm,将斜边48翻折,

使点8落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AO,则CE的长为（)

A.\cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

6.如图，点P是NBAC的平分线上一点，PEL4c于点E,且PE=3,AP=5,点尸

在边AB上运动，当运动到某一位置时△尸4尸面积恰好是△E4P面积的2倍，则此时AF

的长是（）

C.6D.4

7.直角三角形的两边长，外”满足6m=-9,则第三边长是()

A.5B.5或V7C.4或V?D.4

8.如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的。=()

主视图左视图

A.273B.如C.2D.1

9.已知：如图在△ABC,△AOE中，NBAC=/a4E=90°,AB=AC,AD^AE,点C,

D,E三点在同一条直线上，连接3D,BE.以下四个结论:

①BD=CE；

②BD_LCE；

③/4CE+NDBC=45°；

④BE2=2(AD2+AB2),

其中结论正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

10.如图，点E在△O8C的边上，点4在△O8C内部，ZDAE=ZBAC=90°,AD=

AE,AB=AC.给出下列结论：

①BD=CE；®ZABD+ZECB=45°；©BDLCE-,©BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中

不正确的结论有()个.

D

A.3B.2C.1D.0

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角

顶点与另一个的直角顶点重合于点4,且另三个锐角顶点8,C,。在同一直线上.若A8

=&,则CD—.

12.如图，已知AB是线段C£＞的垂直平分线，E是AB上一点，如果EC=10,EF=8,那

么DF=.

13.如图，在3X3的正方形网格中，每个小正方形边长为1,点A,B,C均为格点，以点

A为圆心，A8长为半径作弧，交格线于点£＞,则C£＞的长为.

14.在四边形ABCQ中，已知△ABC是等边三角形，NA£>C=30°,AZ)=3,BD=5,则边

CD的长为.

15.如图，ZBAC=90°,AB=AC,AE1AD,JiAE=AD,AF平分/D4E交8c于F,若

BD=6,CF=8,则线段AO的长为

A

16.如图，NBAC=90度，AB=AC,AELAD,且AF平分/D4E交BC于凡

若BD=6,CF=8,则线段A£＞的长为.

17.如图，在矩形ABC。中，AO=3,将矩形ABC。绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG,

点8的对应点E落在C。上，且。E=EF,则AB的长为.

三、解答题：第18,19.20小题5分，第21,22,23小题9分，第24,25小题10分。

18.如图所示，在△ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AQ=6,求BC的长.

19.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得NB=90°,AB=3,BC=4,CD=\2,

AD=\3,假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

20.如图，长方形ABC。中，AB=8,BC=10,在边C。上取一点E,将△AOE折叠后点。

恰好落在BC边上的点F处

(1)求CE的长；

(2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P,使得P4+PE值最小？若存在，请求

出最小值；若不存在，请说明理由.

备用图

21.如图，在△ABC中，。为8c的中点，直线FG过AC上的点F,交BC于。，交AC上

的平行线BG于点G,DELGF,并交A8于点E,连接EG,EF.

(1)求证：BG=CF；

(2)当点尸位于何位置时，四边形4BGF是平行四边形，并证明；

(3)若AB=AC,ABA.AC,求证：BE1+CF2=EF1.

22.为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABC。，如图所示，学校计划在空地上

种植草皮，经测量NA=90°,AB^3m,DA=4m,BC=\2m,CD=\3m.

(1)求出空地4BCD的面积.

(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

23.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点.A、B两点的坐标分别为4(机，0)、B

(0,〃)，且|m-n-3I+7^6=0,点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线A。

匀速运动，设点尸运动时间为，秒.

(1)求。4、OB的长；

(2)连接尸8,若△POB的面积不大于3且不等于0,求/的范围；

(3)过P作直线AB的垂线，垂足为£>,直线与y轴交于点E,在点P运动的过程

中，是否存在这样的点P,使0△40B?若存在，请求出f的值；若不存在，请说

明理由.

24.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,点E在边A力上，且CB=CE,点尸是射线瓦)

上的一个动点，NECF的平分线CG交BE的延长线于点G.

(1)若NEBC=70°,Z£CF=38°,求NG的度数.

ZG

(2)在动点F运动的过程中的值是否发生变化？若不变，求出它的值，若变

ZCFE

化，请说明理由.

25.平面内，点8为△4CO外一点，连接BA、BC,N4BC=19°,ZADC=45°.

(1)如图1,/BA。和NBC。的角平分线交于点直接写出NAMC的度数为.

(2)如图2,点E在84的延长线上，/D4E的平分线和/BCC平分线交于点F,求/

AFC的大小.

(3)如图3,在(2)的条件下，延长AF交C。于点/,且3NE4G+2N«7=199°,

过点。作射线交射线8A于点E,交A/于点G,当A"：AC=3：5,HG：HD

Q

=1：6,S£AGH——,C£>=4时，求G/的长.

5

参考答案

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.5、6、7B.10、8、4C.7、24、25D.9、15、17

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于

最长边的平方即可.

解：A、52+362W72,不能构成直角三角形，故本选项错误；

B、42+82W102,不能构成直角三角形，故本选项错误；

C、72+242=252,能构成直角三角形，故本选项正确；

D、92+1527172,不能构成直角三角形，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三

边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理：若三角形三边

满足*+按=^2,那么这个三角形是直角三角形.

2.在RtZiABC中，ZC=90°,4B=3,AC=2,则的值（）

A.近B.V6C."D.-/13

【分析】根据勾股定理即可得到结论.

解：在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=3,AC=2,

BC=VAB2-AC2=VS2-22=炳’

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

3.判断下列三条线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是（）

A.a=4,h—5,c—3B.a=7,h—25,c—24

C.«=40,b=50,c=60D.a—5,b=12,c=13

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.

解：4、：32+42=52,.•.由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误：

B、•••72+242=252,.♦.由线段a,h,c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；

C、•.•402+502/602,.•.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形，故本选项正确；

。、：52+122=132,.•.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，

两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

4.如图所示，在RtZkABC中，4B=8,4c=6,ZCAB=90°,ADLBC,那么AO的长为

()

【分析】先根据A8=8,AC=6,/CA8=90°,利用勾股定理可求BC,再根据S^ABC

^—AC-AB^—BC-AD,可求AD.

22

解：如右图所示，

在RtZXABC中，AB=8,AC=6,ZCAB=90°,

BC=VAC2+BC2=V62+82=I。，

又,.,SM8C=LC・AB=」BC・A。，

22

/.6X8=10AD,

.".AD=4.S.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理.注意直角三角形面积的两种求法，等于两直角边乘积的

一半，也等于斜边乘以斜边上高的积的一半.

5.如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,将斜边A2翻折,

使点8落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为A。，则CE的长为()

A.\cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB,已知AC

的长，可将CE的长求出.

解：在RtZ\ABC中，VAC2+BC2=V42+32=5

根据折叠的性质可知：AE=AB=5

；AC=4

ACE=AE-AC=1

即CE的长为1

故选：A.

【点评】将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口.

6.如图，点尸是NBAC的平分线AO上一点，PELAC于点E,且PE=3,AP=5,点尸

在边AB上运动，当运动到某一位置时△F4P面积恰好是△以「面积的2倍，则此时A尸

A.10B.8C.6D.4

【分析】作于H,根据角平分线的性质即可得出结论.

解：作PHLAB于H,

•.,点P是NBAC的平分线上一点，PEA.AC,PHLAB,

：.PH=PE,

由勾股定理得，4E=2=4,

・・・△E4P面积是△以「面积的2倍,

：.AF=2AE=Sf

【点评】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到

角的两边的距离相等是解题的关键.

7.直角三角形的两边长相，〃满足山？*屈石-6m=-9,则第三边长是（）

A.5B.5或4C.4或WD.4

【分析】利用非负数的性质求出加，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题.

解：,**m2+V2n-8-6m=-9

•**（加-3）2+V2n-8=0-

*.m-3=0且2〃-8=0.

.*./??=3,〃=4.

①〃=4为斜角边时，则第三边长为：742-32=V7；

②〃=4为直角边时，则第三边长为：3+32=5；

综上所述，第三边长为5或寂.

故选：B.

【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

8.如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的。=（）

主视图左视图

A.2V3B.V3C.2D.1

【分析】由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2,求。的值可结合俯

视图来解答，如下图.

解：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的最长的对角线长是4,

则边长为2,

作8c于。，在△ABC中，AB=AC=2,NR4c=120°,

,在直角中，NAB£)=30°,AD=\,

BD=VAB2-AD2=V22-12=V3-

【点评】本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将

其转化到直角三角形中解答.培养了学生的空间想象能力.

9.已知：如图在△ABC,ZVIOE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,

D,E三点在同一条直线上，连接8。，BE.以下四个结论：

①BD=CE；

®BD±CE；

③NACE+N£>BC=45°；

④BE2=2(AD2+AB2),

其中结论正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】①由A8=AC,AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形

ABO与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；

②由三角形A8O与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质

及等量代换得到BD垂直于CE-,

③由等腰直角三角形的性质得到NA8£>+/O8C=45°,等量代换得到NACE+NZ)BC=

45°；

④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可

作出判断.

解：①•.•/BAC=/O4E=90°,

ZHAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,

即/BAD=/CAE,

•.,在△BAO和△C4E中，

"AB=AC

,ZBAD=ZCAE)

AD=AE

:.△BADWXCAE(SAS),

：.BD=CE,故①正确；

②：△BAO丝△€?!£',

NABD=/ACE,

'：ZABD+ZDBC=45Q,

.•./ACE+N£>BC=45°,

ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=90°,

则BD1CE,故②正确；

③•；△ABC为等腰直角三角形，

AZABC=ZACB=45°,

AZABD+ZDBC=45°,

,：NABD=Z.ACE

：.ZACE+ZDBC=45°,故③正确；

@'：BDLCE,

.•.在中，利用勾股定理得：

BE?^BD2+DEr,

•••△ACE为等腰直角三角形，

:.DE=®AD,

即DE1=2AD2,

，BE2=BU+DE2=BD2+2AD2,

而BOw2AB2,故④错误，

综上，正确的个数为3个.

故选：C.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质,

熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

10.如图，点E在的边。B上，点4在内部，ZDAE=ZBAC=90°,AD=

AE,AB=AC.给出下列结论：

①BD=CE；②N4BO+NECB=45°；③BDLCE；④8#=2(AD2+AB2)-CD2.其中

不正确的结论有()个.

【分析】只要证明△ZMBgZYEAC,利用全等三角形的性质即可一一判断;

解：'：ZDAE=ZBAC=90°,

：.ZDAB^ZEAC

\'AD=AE,AB=AC,

：./\DAB^^EAC(SAS),

：.BD=CE,NA2O=NECA,故①结论正确，

AZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②结论正确，

；NECB+NEBC=NABD+NECB+NABC=450+45°=90°,

.\ZC£B=90°,即BOLCE,故③结论正确，

：.BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CZ)2+2>4D2=2CAD2+AB2)-CD2.故

④结论正确，

.•.不正确的结论有0个.

故选：D.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，

解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.把两个同样大小的含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角

顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点8,C,。在同一直线上.若A8

=近，则8=_百二J.

【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2,BF=AF=\,再利用勾股定理求出

DF,即可得出结论.

解：如图，过点A作AFJ_BC于尸，

在中，ZB=45°,

:.BC=®AB=2,BF=AF=^-AB=1,

；两个同样大小的含45。角的三角尺，

：.AD=BC^2,

22=

在Rtzvin/中，根据勾股定理得，^=VAD-AFVS

：.CD=BF+DF-BC=1+M-2=百-1,

故答案为：,^3-L

【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题

的关键.

12.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点，如果EC=10,EF=8,那

【分析】根据勾股定理求出CF,根据线段垂直平分线的性质得到。F=CF,得到答案.

解：,：CD1.AB,£C=10,EF=8,

•,-CF=VCE2-EF2=6'

'.'AB是线段CD的垂直平分线，

:.DF=CF=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段

的两个端点的距离相等是解题的关键.

13.如图，在3X3的正方形网格中，每个小正方形边长为1,点4,B,C均为格点，以点

A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点£>,则C。的长为3-J7.

【分析】由勾股定理求出4B,再由勾股定理求出OE,即可得出的长.

解：连接AB,AD,如图所示：

AD=AB=yj22+2

DE—(2V2)2-I2=V7，

ACD-3-77，

故答案为：3-jy.

【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出4B,DE是解决问题的关键.

14.在四边形A8CZ)中，已知△ABC是等边三角形，ZADC=30°,AD=3,BD=5,则边

CD的长为4.

【分析】延长A。到点E,使。E=CD,连接CE.通过证明△BC。丝△ACE,可得出8。

=4E,从而得出CD的值.

解：在CO外侧作等边三角形△(7££连接AE,贝lJ/AOE=90°,DE=CD,NDCE=

60,

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

，ZACE=ZBCD

CE=CD

AAACE^ABCD(5A5),

：.AE=BD,

.•.在RtZVIDE'中，

AD2+DE1=AE1,

其中AO=3,AE=BD=5,则C£)=OE=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，正确的作出辅

助线构造全等是解题的关键.

15.如图，NBAC=90：AB=AC,AE1AD,5.AE=AD,AF平分ND4E交3c于凡若

BD=6,CF=8,则线段4。的长为」遥

A

【分析】连接跖，作AGLBC于点G,由等腰直角三角形的性质得N8=NACB=45°,

BG=CG,则AG=BG=CG=*C,可证明△ACEdAB。，得CE=BD=6,NACE=

ZB=45°,则/ECF=90°,所以EF=正后工=10,再证明△EAF丝△£>”，得

E尸=。尸=10,即可求得BC=24,则AG=BG=1BC=12,DG=6,根据勾股定理求得

2

AD=6后

解：连接EF,作AG_LBC于点G,则NAOG=90°,

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZB^ZACB=45°,BG=CG,

：.AG=BG=CG^—BC,

2

\"AE1AD,

：.ZDAE=90°,

：.ZCAE=ZBAD=900-ACAD,

在△ACE和△A8O中，

AC=AB

'ZCAE=ZBAD)

AE=AD

：.AACE^/\ABD(SAS),

:.CE=BD=6,NACE=NB=45°,

：.NECF=ZACE+ZACB=90°,

VCF=8,

EF=7CE2-K:F2=Ve2+82=i0，

平分ND4E交BC于凡

；.NEAF=NDAF,

在△E4F和产中，

fAE=AD

<ZEAF=ZDAF.

AF=AF

：./\EAF^/\DAF(SAS),

：.EF=DF=IO,

：.BC=BD+DF+CF=6+10+8=24,

：.AG=BG=—BC=—X24=n,

22

：.DG=BG-BD=\2-6=6,

二A。=7AG2+DG2=V122+62=6V5,

故答案为：6^/5.

【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要

的辅助线是解题的关键.

16.如图，NBAC=90度，AB=AC,AELAD,且AE=AD,AP平分ND4E交2c于F,

若BD=6,CF=8,则线段AD的长为

【分析】由“S4S”可证△AB。g△ACE,/名△£/!尸可得BD=CE,N4=NB,DF

=EF,由勾股定理可求EF的长，即可求8C的长，由勾股定理可求40的长.

解：如图，连接EF,过点A作AGJ_BC于点G,

'JAE1AD,

：.ZDAE=ZD/lC+Z2=90o,

又,.•NB4C=N£)AC+/l=90°,

；.N1=N2,

在△AB。和中

，AB=AC

<N1=N2，

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS).

：.BD=CE,N4=/8

VZBAC=90°,AB=AC,

.".ZB=Z3=45°

.•./4=/B=45°,

...NECF=N3+N4=90°,

：.CE2+CF2=EF2,

:.BD^+FOuEF2,

平分/D4E,

ZDAF=NEAF,

在△D4F和△£■4下中

，AD=AE

-ZDAF=ZEAF)

AF=AF

:.△DAFWXEAF(SAS).

：.DF=EF.

：.BD2+FC2=DF2.

：.。产=BU+FG=62+82=100,

：.DF=\0

，8C=BQ+£>F+FC=6+10+8=24,

'：AB=AC,AG±BC,

.•.8G=4G=2BC=12,

2

：.DG=BG-BD=12-6=6,

AQ=JAG2+DG2=6匹

故答案为：6代

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

17.如图，在矩形A8CD中，AD=3,将矩形ABC。绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG,

点B的对应点E落在C£>上，且DE=EF,则AB的长为3后.

【分析】由旋转的性质得到AB=AE,再由。等量代换得到AD=DE,

即三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长.

解：由旋转得：AD^EF,AB^AE,ZD=90°,

"：DE=EF,

：.AD=DE,即为等腰直角三角形，

根据勾股定理得：A£=732+32=3V2>

则AB=4E=3&,

故答案为：

【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键.

三、解答题：第18,19.20小题5分，第21,22,23小题9分，第24,25小题10分。

18.如图所示，在△ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线A£>=6,求BC的长.

【分析】延长AO到E使连接CE,证aAB力也△£<?£>,求出AE和CE的长,

根据勾股定理的逆定理求出/E=90°,根据勾股定理求出8即可.

解：延长A。到E使AO=OE,连接CE,

在△43。和△ECD中

'AD=DE

<ZADB=ZEDC)

BD=DC

AABD空/\ECD,

，AB=CE=5,AD=DE=6,AE=\2,

在△AEC中，AC=13,AE=12,CE=5,

J.AC^^AE^+CE2,

：.ZE=90°,

由勾股定理得：CD=7DE2+CE2=VGI>

BC=2CD=2.6],

答：BC的长是2闹.

【点评】本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三

角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角

形，题型较好.

19.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得NB=90°,AB=3,8c=4,CD=\2,

4力=13,假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

【分析】由勾股定理逆定理可得△ACC与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积.

解:；42+32=52,52+122=132,

即ABa+BOnAC2,故NB=90°,

同理，ZACD=90°,

：.s四边形A6CQ=SaA8C+SzxACO

=—X3X4+—X5X12

22

=6+30

=36.

答：这块钢板的面积等于36.

【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定

理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模

型，画出准确的示意图.

20.如图，长方形ABCO中，AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将△ADE折叠后点。

恰好落在8c边上的点尸处

（1）求CE的长；

（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P,使得P4+PE值最小？若存在，请求

备用图

【分析】（1）先判断出A尸=4。=8,进而利用勾股定理求出BF=6,最后在RlZ\ECF,

利用勾股定理，即可得出结论；

（2）先作出点E关于BC的对称点E,进而求出。E,再利用勾股定理即可得出结论.

解：（1）长方形ABCD中，A8=8,BC=10,

：.ZB=ZBCD=90°,CD=AB=S,AD=BC=IO,

由折叠知，EF=DE,4尸=40=8,

在RtZXAB尸中，根据勾股定理得，^=VAF2-AB2^61

：.CF=BC-BF=4,

设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x,

在Rt^ECF中，根据勾股定理得，C产+C£2=E产，

16+x2=（8-x）2,

，x=3,

：.CE=3;

(2)如图，延长EC至E使C£=CE=3,连接A£交8C于P,

此时，PA+PE最小，最小值为AE,

；CD=8,

DE=CD+CE=8+3=11,

在RtZ\AZ)E中，根据勾股定理得，AE='AD2+DE，

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，求出CE是解本

题的关键.

21.如图，在△ABC中，。为BC的中点，直线FG过4c上的点凡交BC于D,交4C上

的平行线BG于点G,DE1GF,并交AB于点E,连接EG,EF.

(1)求证：BG=CF；

(2)当点/位于何位置时，四边形A8GF是平行四边形，并证明；

(3)若AB=4C,ABLAC,求证：8屋+(?产=£尸.

G

【分析】(1)证明△BOG四△CDF,根据全等三角形的性质证明结论；

(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；

(3)根据等腰直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质证明即可.

【解答】(1)证明：•••。为2c的中点，

：.BD=DC,

•：BG//AC,

：.ZDBG=ZC,

在△BOG和△(?£)尸中，

，ZBDG=ZCDF

<BD=CD，

ZDBG=ZC

:.△BDGqLCDF(ASA)

；.BG=CF；

(2)解：当点F位于AC的中点时，四边形ABGF是平行四边形，

理由如下：'：AF=FC,BG=FC,

：.AF=BG,XBG//AC,

四边形ABGF是平行四边形；

(3)证明：AB=AC,ABA.AC,

：.ZABC=ZC=45°,

：.ZDBG=ZC=45°,

；./EBG=90°,

：.BE1+BG2^EG1,

为8c的中点，DEIGF,

：.EF=EG,

:.BQ+CFEF2.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理，掌握

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键.

22.为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地4BC。，如图所示，学校计划在空地上

种植草皮，经测量NA=90°,AB—3m,DA—4m,BC—\2m,CD—\3m.

(1)求出空地ABCQ的面积.

(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

【分析】(1)连接3。，在直角三角形A3。中，利用勾股定理求出B£),再利用勾股定

理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，四边形ABCD面积等于三角形ABD面

积+三角形BCO面积，求出即可；

（2）由（1）求出的面积，乘以200即可得到结果.

解：（1）连接BD,

在Rt/XABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52,

在△CB。中，CL）2=i32,8。=122,

而122+52=132,

即BC+BD2=CD2,

：.ZDBC=90°,

贝SABCD=SBAD+SDBC:=—'AD-AB+—DB'BC=—X4X3+—X12X5=36（平方米）；

VWi&&2222

（2）所以需费用36X200=7200（元）.

【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点.A、8两点的坐标分别为A（〃?，0）、B

（0,”），且|m-n-3|+V2rr6=0,点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO

匀速运动，设点尸运动时间为f秒.

（1）求。A、。8的长；

（2）连接尸8,若APOB的面积不大于3且不等于0,求，的范围；

（3）过P作直线A8的垂线，垂足为。，直线PO与y轴交于点E,在点P运动的过程

中，是否存在这样的点P,使△EOP之AAOB?若存在，请求出f的值；若不存在，请说

【分析】（1）根据已知得出关于〃的方程组，求出即可;

（2）分为两种情况：①当P在线段04上时，求出三角形B0P的面积，得出不等式组,

求出其解集即可；②当尸在线段04的延长线上时，求出三角形B0P的面积，得出不等

式组，求出其解集即可；

（3）当。P=0B=3时，分为两种情况，画出符合条件的两种图形，结合图形和全等三

角形的性质即可得出答案.

解：（1）-3|+缶-6=0,

:-n-3=0,In-6=0,

解得：〃=3,加=6,

/.OA=6,。5=3；

（2）分为两种情况：①当P在线段0A上时,

AP=t,PO=6-t,

1Q

1•△BOP的面积S=3X(6-/)X3=9--6

22

・・・若△PO8的面积不大于3且不等于0,

3

・・.0V9-3W3,

2

解得：4^/<6；

,:若APOB的面积不大于3且不等于0,

3

A0<—r-9^3,

2

解得：6VfW8；

即r的范围是4W/W8且r#6；

（3）当。2=。8=3时，分为两种情况（如图）：第一个图中，=3,

第二个图中AP=6+3=9,即1=9；

即存在这样的点P，使△EOP丝△408,f的值是3或9.

【点评】本题考查了绝对值，二次根式的性质，垂直定义，全等三角形的性质和判定等

知识点的综合运用，题目比较典型，但是有一定的难度，注意要进行分类讨论啊.

24.如图，在四边形中，AD//BC,点E在边上，且CB=CE,点F是射线E7）

上的一个动点，/EC尸的平分线CG交BE的延长线于点G.

(1)若/EBC=70。，Z£CF=38°,求/G的度数.

ZG

（2）在动点F运动的过程中的值是否发生变化？若不变，求出它的值，若变

ZCFE

化，请说明理由.

【分析】（1）先利用等腰三角形的性质可得NCEB=NC2E=70°,再利用角平分线的

性质可得NGCE=19°,然后利用三角形的外角性质可得NG=/CEB-NGCE,进行计

算即可解答；

（2）先利用平行线的性质可得NAEB=/CBE,从而可得NCEB,再利用三角

形的外角性质可得NCFE=NAEC-NECF=2（NCEB-NGCE）,然后利用（1）的结

论可得NG=NCEB-NGCE,从而可得NCFE=2N