北京市汇文中学2023-2024学年高二年级上册期中考试数学试题

北京市汇文中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线/过点尸（-1，2）,倾斜角为45。，则直线/的方程为

A.x—y+l=O

B.x-y-1=0

C.x-y-3=0

D.x-y+3=0

2.设“CR,则“4=-2”是“直线//：ox+2y—l=0与直线〃：x+（a+l）y+4=0平

行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.直线:+]=1与x轴，y轴分别交于点A,B,以线段AB为直径的圆的方程为（）

A.x2+y2-4x-2y-l=0B.x2+y2-4x-2y=0

C.x2+y2-4x—2y+1=0D.x2+y2—2x—4y=0

4.已知方程一匚+上二=1表示的曲线是椭圆，贝"的取值范围（）

10-ft-4

A.（4,7）B.（4,7）O（7,10）C,（7,10）D.（4,10）

5.已知圆C|：x2+y2=l与圆C2：x2+y2-8），+7=0,则圆C1与圆G的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.外切

6.抛物线y=V上的一动点M到直线/：x-y-l=0距离的最小值是（）

A.述B.-C.-D.—

8844

7.直线/过抛物线尸=2x的焦点F,且/与该抛物线交于不同的两点A（&yJ、8（%,女）,

若占+々=3,则弦A8的长是（）

A.2B.3C.4D.5

8.我们把离心率为黄金分割系数避二1的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”C的中

2

心在坐标原点，尸为左焦点，A,8分别为右顶点和是上顶点，则加尸=

9.已知圆M:f+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点，过点尸作

圆〃的切线抬，PB,且切点为A,B,1加1|48|最小值为（）

A.2B.45C.3D.4

22

10.已知圆C：x+y=4,直线乙：y=kx+m,则当&的值发生变化时，直线被圆C所

截的弦长的最小值为2,则机的取值为（）

A.±2B.±0C.±GD.±3

11.已知椭圆C：W+4=1（a>6>0）的左、右焦点分别为耳、尸2,若椭圆C上恰好有6

ab

个不同的点P，使得aKgP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

12.曲线C是平面直角坐标系内与两个定点耳（7,0）和心（1,0）的距离之积等于4的点的

轨迹，则（）

①曲线C过原点；

②曲线C关于原点对称；

③若点P在曲线C上，则△PKK的面积不大于2；

22

④曲线C与曲线二+匕=1有且仅有两个交点.

43

其中正确命题的序号为（）

A.①②B.②③④C.③④D.①②④

二、填空题

13.已知抛物线V=2px的准线方程为了=-1,则。=

试卷第2页，共4页

14.已知双曲线产+片=1的渐近线方程为丫=土立小贝"=______.

m3

15.圆C:(x-2)2+(y-2)2=8与y轴相交于4,8两点，则弦AB所对的圆心角的大小

为.

16.设尸为椭圆C:《+£=l上一动点，耳，心分别为左、右焦点，延长用^至点。，

73

使得I尸。1=|「周，则动点0的轨迹方程为.

17.若直线y=fcr-1与曲线产_J1_(X-2)2有公共点，则k的取值范围是.

18.在平面直角坐标系中，定义4(5,7)=1々-西|+|)，2-必I为两点5(4*),7(々,七)之间

的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是.(填序号)

①若A(0,0),8(1,1),则d(AB)=2；

②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；

③原点。与直线X-y+3=0上任意一点M之间的折线距离d(O，M)的最小值为3；

④原点。与圆5-2)2+(y-4)、l上任意一点例之间的折线距离d(O,M)的最大值为

6+V2.

三、解答题

19.在A46C中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+l=0,-A的平分线所在直线

方程为＞=0,若点8的坐标为(1,2).

(1)求点A和点C的坐标；

(2)求AC边上的高所在的直线/的方程.

四、证明题

20.设抛物线C的方程为/=y,点M为直线/：y=-皿，〃＞0)上任意一点，过点M作

抛物线C的两条切线M4,MB,切点分别为A,B.

⑴当M的坐标为(。,-小时，求过A,8三点的圆的方程，并判断直线/与此圆的

位置关系;

(2)求证：直线AB恒过定点.

五、解答题

21.已知椭圆C:＜•+忘=1(“＞。＞0)的离心率为:，过椭圆右焦点F的直线/与椭圆交

于A,8两点，当直线/与x轴垂直时，|AB|=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当直线/与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点尸(异于点尸)，使x轴上任意点

到直线P4,总的距离均相等？若存在，求尸点坐标；若不存在，请说明理由.

22

22.已知椭圆后:二+马=1(“>%>0)的一个顶点为40,1),焦距为2G.

a~b

⑴求椭圆E的方程；

(2)过点尸(-2,1)作斜率为％的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与

x轴交于点N,当|A4N|=2时，求&的值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【详解】试题分析：由直线的倾斜角为45。，得其斜率为％=61145。=1.又过点P(-L2),

；•方程为y-2=lx(x+l),即x-y+3=0.故选D.

考点：直线的点斜式方程.

2.A

【分析】由“直线//：or+2y—1=0与直线，2：x+(a+1)y+4=0平行”得到“=-2或a

=1.即得解.

【详解】解：若a=—2,则直线/”-2r+2y—1=0与直线〃：x-y+4=0平行；

若“直线//：ar+2y-l=0与直线也x+(a+1)y+4=0平行“，Aa(a+l)-2=0,解得q

——2或a=l,

...%=—2”是“直线"：―+2》—1=0与直线，2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条

件.

故选:A

3.B

【分析】利用截距式的几何意义得到A(4,0),8(0,2),从而求得该圆的圆心与半径，进而得

解.

【详解】因为直线：+]=1在x,y轴上的截距分别为4,2,则A(4,0),B(0,2),

所以A8的中点坐标为(2,1),且r=3AB|=“16+4=^,

22

故以线段AB为直径的圆的方程为。-2)2+()，-1)2=5,BPx2+/-4x-2y=0.

故选：B.

4.B

【分析】椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出，.

l0-Z>0

【详解】由题意，■t-4>0=>/e(4,7)u(7,10).

lO-z^r-4

故选：B.

5.D

【解析】利用圆心距与半径和的关系可判断两者的位置关系.

答案第1页，共13页

【详解】圆C2：(x-4)?+y2=9,其半径为3,

22

又|CC|二y/(0-4)+(0-0)=4,

因为4=1+3即圆心距为两个圆的半径之和，故两圆外切，

故选：D.

6.A

【分析】对y=f求导可求与直线x-y-l=O平行且与抛物线y=V相切的切线方程，再利

用两平行线的距离公式可得所求的最小距离.

【详解】因为y=/,所以y'=2x,

令y=2x=i,得x=g,

所以与直线x-y-l=O平行且与抛物线y=/相切的切点g,：),

切线方程为=,即x-y-!=O,

由两平行线的距离公式可得所求的最小距离

卜;+"3a

d=/二=------•

8

故选：A.

7.C

【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦A8的长.

【详解】抛物线y?=2x的准线方程为x=-；,

因为直线/过抛物线V=2x的焦点尸，且/与该抛物线交于不同的两点4(为/)、,

贝|JInXi+g+&+guXi+Aj+lnS+lMd.

故选：C.

8.D

【分析】设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F的坐标，利用向量8F与向量明乘积为0,

得到NABE

【详解】设椭圆的方程为m+[=1,(a>h>0)

由已知,得A(a,0),8(0,b),F(-c,0)

答案第2页，共13页

则BF=(-c,-h),BA=(a,-b)

BF-BA=b2—ac=O

,-.ZABF=90°

故答案选D

【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题.

9.D

【分析】IPMIIA8I最小值满足四边形RM的面积最小，可转化为动点P到点M的距离最

小值，即可求解.

【详解】圆M:x2+y2-2x—2y-2=0,

.'.(JC—l)-+(y—1)-=4,即圆心为(1,1),半径为2,

要使1Pmi必最小，

则只需四边形P4W3的面积最小，即只需2AM的面积最小,

|AM|=2,.•.只需|PA|最小，

|AM1=y]\PM\2-\AMI2=J|PM『-4,

答案第3页，共13页

所以只需直线2x+y+2=0上的动点尸到点M的距离最小,其最小值是圆心到直线的距离

.12+1+21A

此时PMJJ,1pAi=1,

则此时四边形P4W8的面积为2,即IPMIIABI的最小值为4.

故选：D.

10.C

【分析】由直线L过定点知(0,机)，结合圆的对称性以及勾股定理得出，〃的取值.

【详解】直线L：丫=h+机恒过点M(0,m),由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2,即

当直线乙与直线QM垂直时(。为原点)，弦长取得最小值，于是22=(gx2j+1OM「=1+m2,

解得m=±y/3.

故选：C

11.D

【分析】分等腰三角形尸片片以片人为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定

点尸为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P,使得

仍用=1耳图或忱段=恒用，设点P(X»)在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于〃、

。的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.

【详解】如下图所示：

(1)当点尸与椭圆短轴的顶点重合时，△「百巴是以「居为底边的等腰三角形,

此时，有2个满足条件的等腰耳死；

(2)当△PKK构成以耳工为一腰的等腰三角形时，

答案第4页，共13页

以工尸为底边为例，则|明|=忻闾或仍闯=忸闾,此时点P在第一或第四象限，

由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点尸，使得△「周后是以GK为一腰的等腰三角

形，

不妨设点尸（乂丁）在第一象限，则产=从-勺f,其中0〈x<。，

a

则|尸耳|=J（x+c『+）/=Jx」+2CX+<?2+/?2—勺02=｛二/+2cx+/=—x+a=2cf

=y（x-c）2+y2=^x2-2cx+c2+b2--7X2=2cx+a2=a--x=2c»

由£x+a=2c可得x=他二W,所以，o<2"T<Q,解得:<e=£<i,

acc2a

由。一£x=2c,可得工二广匚竺，所以，0<24<〃,解得:<«=£<:，

acc3a2

综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是1]

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、。的值，根据离心率的定义求解离心率-

的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于“、。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

12.B

【分析】根据题意，化简得到曲线C的方程为[（x+l）2+y2].[（x-l）2+y2]=16,结合曲线的

对称性的判定方法，可①不正确，②正确；结合三角形的面积公式，可判定③正确；联立方

程组，求得交点坐标，可判定④正确.

【详解】设轨迹上的任意一点尸迷/）,则|P用|P闾=4,

所以J（x+l）2+y2.7（x-l）2+y2=4,化简得[（x+1）?+V].[（x_If+y2]=16,

①中，把x=y=O代入上述方程，可得1=16,此式不成立，所以曲线C不过原点，所以①

不正确；

②中，把（-苍-y）代换上述方程中的*/）,其方程不变，所以曲线关坐标于原点对称，所以

②正确；

答案第5页，共13页

③中，若点尸在曲线C上，则弱的面积为

S=g|P耳疗用sinNf；PEugxdxsinNKPg42,所以③正确；

222

④中，由曲线£+9=1,可得xe[-2,2],解得>2=3(1_?),

代入曲线C,整理得32)=0,解得f=32(舍去)，所以x=0,

解得y=±石，可得曲线C与曲线片+片=1有且仅有两个公共点(0,±6),所以④正确.

43

故选：B.

13.2

【分析】由抛物线的准线方程可直接求解.

【详解】由抛物线丁=2内，得准线方程为x=-g

由题意，一片=-1,得P=2.

故答案为：2.

14.-3

【分析】首先可得〃?<0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、h,再跟渐近线方程

得到方程，解得即可;

【详解】解：对于双曲线三=1,所以相<0,即双曲线的标准方程为/-工=1,

m-m

则a=l,b=Q,又双曲线/+上=1的渐近线方程为、=士走x,

m3

所以4=立，即4解得〃?=一3

b33

故答案为：—3

15.900

【详解】试题分析：由题可知，根据圆的标准方程C:(x-2)2+(y-2)2=8,令1-0,解得

X]=ax,=4，因此/<(0.0)8(0.4),|彳3卜4,在4043中，|08|=2&|01卜2万，

Afi4,因此AO/8为直角三角形，即N.4O8-90°,故弦AB所对的圆心角的大小为90“；

考点：圆的标准方程

答案第6页，共13页

16.(x+2)2+y2=28

【分析】由椭圆定义可得IPKI+IP❷1=2“=2々,IPQRP-I,从而IWI+|PQ|=IKQ|=2近,

进而。的轨迹是以《(-2,0)为圆心，2«为半径的圆，由此能求出动点。的轨迹方程.

【详解】P为椭圆c：E+£=i上一动点，人分别为左、右焦点，

73

延长耳P至点2,使得1尸。1=1尸石I,

:.\PF,\+\PF21=2«=277,\PQ\=\PF2\,

■.\PFl\+\PQ\=\FlQ\=2/i,

•・Q的轨迹是以6(-2,0)为圆心，2近为半径的圆，

•••动点。的轨迹方程为(x+2)2+V=28.

故答案为：。+2)2+>2=28

17.[0,1]

【详解】如图，曲线y=-Jl-(x-2『表示如图所示的半圆,丫=依-1表示过定点(。,-1)的

动直线，当动直线在4,4之间时，它与半圆总有公共点，又仁=i,右=。，故04女41,

也即是

点睛：注意y=Jl-(x-2『表示半圆，又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.

利用几何意义可以直接求得两个临界值，所求范围在两个临界值之间.

18.①③④

【分析】根据定义直接计算①，设点P(x,y)到原点的“折线距离”不大于1,即可得到

答案第7页，共13页

|x|+|y|41,画出图象，求出面积即可判断②，设M(x,x+3)即可表示d(O,M)再根据分段函

数的性质计算可得③，依题意设M(x,y),则”(O,")=x+y,再利用点到直线的距离求出

x+y的范围，即可判断④；

【详解】解:对于①若A(0,0),8(1,D则d(A,B)=|l-0|+”0|=2,故①正确；

对于②，设点P(x,y)到原点的“折线距离”不大于1,则|x-q+|y-0|41,即k|+|y归1,则P

点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为2xgx2xl=2,故②错误；

2x+3,x>0

对于③，设M(x,x+3),则d(O,M)=W+|x+3|=,3,-3<x<0,函数图象如下所示：则

—2x—3,x4—3

d(0,M)*=3,故③正确;

对于④，因为圆(*-21+0>-4尸=1表示以(2,4)为圆心，1为半径的圆,

答案第8页，共13页

设M(x,y),则"(O,M)=W+|y|=x+y,令x+y=z,则x+y-z=O

所以解得6-忘4z46+应，即=6+0,故④正确;

19.(1)C(5,-6)(2)x-y+l=O

【详解】试题分析：(1)联立直线x-2y+l=0和y=0,可求得A点的坐标，利用点斜式可

得直线BC的方程，利用角平分线可得直线AC的斜率，利用点斜式可写出直线AC的方程，

联立直线8C,AC的方程可求得交点C的坐标.(2)由直线AC的斜率可得高的斜率，利用点

斜式可求得高所在直线方程.

试题解析：

(1)由已知点A应在BC边上的高所在直线与ZA的角平分线所在直线的交点，

由｛；=0得｛3，故AI。)。

由k==T，所以AC所在直线方程为y=-(％+1),

/\y=—(x+1)/、

8c所在直线的方程为y—2=-2(x7),由｛、:2=)2(,1)，得“5，一6).

(2)由(1)知，AC所在直线方程x+y+l=0,所以/所在的直线方程为(x-l)-(y-2)=0,

即x-y+l=0.

答案第9页，共13页

20.相切

44

（2）证明见解析

【分析】（1）设过M点的切线方程，代入f=y,整理得/-履+!=0,令△=（）,可得A,

8的坐标，进而可得A8的中点N（0,；）,根据|M4|=|N8|=|NM|=g即可求解圆的方程，从

而可判断圆与直线/相切；

（2）利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结

论；

【详解】（1）当M的坐标为（（），-：）时，设过M点的切线方程为）'=依-；,代入V=y,

整理得V-日+工=0,

4

A=A:2-4x-=0,余牟得左=±1,

4

代入方程得X=土!，故得B（U）,A（-4，3，

22424

因为A8的中点N（0,；）,且|N4|=|NB|=pVMkg,

从而过M,A,8三点的圆的圆心为N（0,3,半径为:，

42

故其方程为f+（y-32=;.

44

圆心坐标为N（0,3,半径为•••圆与直线/:y=-L相切

（2）由已知得y=Y,求导得y'=2x,切点分别为4W，%）,B（x2,y2）,

故过点4片,%）的切线斜率为k=2xx,从而切线方程为y-x-=2xl（x-x,）,gpy=2X]x-xf,

又切线过点㈤，所以得-加=2中（,-±2①，即-加=2中0-乂，

同理可得过点B（X2,%）的切线为y=2x2x-xl,

又切线过点用（飞,-，"），所以得-,"=2X2%-x；②即-机=2x?%-%,

即点4怎，M,8（占，%）均满足-，"=2%-y,故直线A8的方程为-，"=2xxn-y,

又,T"）为直线/：>=-%（"，>。）上任意一点，故2⑼）=y-加对任意％成立,

所以x=0,y=m,从而直线A8恒过定点（0,加），

答案第10页，共13页

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与

参数何时没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

21.(1)—+^=1；(2)存在点尸(4,0)

43

怪二3,

a

c1

【解析】(1)由题意可得方程-=不解方程后即可得解；

a2

a2=*4b2+c2,

(2)设直线/：x=my+1(mH0),B(x2,y2),假设存在点尸，设尸(事,0),由题意

…小黑芍悬尸犯联立方程组表示出乂+%、叱代入即可得解•

乏=3

」,

c]

【详解】(1)由题意得-,解得:。=2,b=>/3fc=l.

a2

a=b~+c"

22

所以椭圆的标准方程为：—+^=1.

43

(2)依题意，若直线/的斜率不为零，可设直线/:x=/ny+l(mHO),A(x”y),B(x2,y2).

假设存在点P,设P(x0,0),由题设，4工1,且与二为，x/%

设直线R4,依的斜率分别为占，&，

答案第II页，共13页

则与二」->2

现一端々-x。

因为&x”X),3(*2，必)在》=阳+1上，

故占=g+1,x2=my2+1,

而x轴上任意点到直线PA,PB距离均相等等价于“PF平分/APB”,

继而等价于占+4=0.

则K+公=x+%=\%+刍％-%>(-+%)=2吵为+(1-%)(凶+X)=0

12

'%一%x,-x„-x0)(x2-x0)(x,-x0)(x2-x0)

[x2y2

联立43,消去工得：(3/7?+4)丁+6小〉一9=0,

x=my4-1

-6m-9

有X+%=乂%=

3M+43/n2+4

-1Sm-6m+6nu一24团+6mx0

则勺+%2=°=0

2

(3/n+4)(%,-x0)(x2-x0)(3疗+4)(占-XO)(X2-x0)

即-4w+网>=0,故x<>=4或m=0(舍).

当直线/的斜率为零时，P(4,0)也符合题意.

故存在点尸(4,0),使得x轴上任意点到直线出，P8距离均相等.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用,

属于中档题.

2

22.(1)—+/=1

4

(2)*=-4

b=1

【分析】(1)依题意可