08攻坚克难(1)微切口3圆周运动中的受力和能量问题

微切口3圆周运动中的受力和能量问题(2023·苏锡常镇调研一)如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO′组成．轻弹簧一端固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为10cm的轻绳连接A、B两球．A球质量mA＝1kg，B球质量mB＝4kg，A球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长20cm，劲度系数k＝450N/m.初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态．现使系统绕OO′轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO′在同一竖直平面内，当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2.求：(1)初始时弹簧的长度．(2)细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度．(3)整个过程中驱动力对系统所做的总功．解析：(1)初始时弹簧处于压缩状态，A球恰好处于静止状态，设初始时弹簧的压缩量为Δl，弹簧原长为l0.则kΔl＝μ(mA＋mB)g代入数据解得Δl＝0.04m所以初始时弹簧的长度l＝l0－Δl＝0.16m(2)当系统以某角速度稳定转动，弹簧的弹力大小与初始时相同时对B球有mBgtan37°＝mBω2rBrB＝l0＋Δl＋Lsin37°代入数据解得ω＝5rad/s(3)根据能量守恒，整个过程中驱动力对系统所做的总功等于A、B球的动能增加量，B球的重力势能增加量，A球与水平横杆间摩擦产生的内能之和．W＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)＋mBg(L－Lcos37°)＋μ(mA＋mB)g·2ΔlvA＝ωrArA＝l0＋ΔlvB＝ωrB代入数据解得W＝7.46J求解圆周运动受力和能量问题的方法(1)选择研究对象，根据运动状态求某一个力或合力．(2)根据圆周运动的知识求向心力、向心加速度等．(3)根据功能关系或动能定理求解该过程中外力对装置所做的功．题组跟进31．(2023·扬州期末)如图所示，弹簧左端系于A点，右端与质量为m的小球接触但不连接．现用外力推动小球将弹簧压缩至P点保持静止，此时弹性势能为Ep＝kmg(k为一已知常量)，P、B之间的距离为2.5k.小球与水平轨道的动摩擦因数为μ＝0.1.DEF是固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端D点的切线水平，圆心O与轨道下端F的连线与竖直墙面的夹角为127°.静止释放小球，小球进入圆弧轨道后恰好能沿着轨道DEF运动，一段时间后从轨道下端F处脱离，已知重力加速度为g.取sin37°＝0.6.(1)求小球运动到B点的速度大小．(2)求轨道DEF的半径R.(3)在F点下方整个空间有水平向左、大小为F0＝0.75mg的恒定风力，求小球从F点运动到O点正下方时的动能．解析：(1)根据功能关系Ep＝μmg·2.5k＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得vB＝eq\r(\f(3gk,2))(2)在B点由牛顿第二定律mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),R)解得R＝eq\f(3k,2)(3)在F点及其下方，小球受水平向左的风力F0＝0.75mg和竖直向下的重力mg，由角度关系可知，小球所受合力方向沿着小球速度方向，即沿F点切线方向．从D点到O点正下方由动能定理可得mgR＋mgeq\f(R,cos53°)＋0.75mg·Rsin53°＝Ek－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得Ek＝5.65kmg2．(2023·扬州期初)如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R.轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点．松手后，小球A运动至P点时对细管恰无作用力，重力加速度为g，取π＝3.2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：(1)小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小N.(2)重物B的质量M.(3)小球A到达P点时加速度大小a.解析：(1)小球A静止于Q点对小球受力分析N＝mgcos53°解得N＝0.6mg(2)小球A运动到P点时，mgcos37°＝meq\f(v2,R)A、B组成的系统，由机械能守恒定律得Mg·eq\f(1,2)πR＝mg·1.4R＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)Mv2(取π＝3.2)解得M＝eq\f(3,2)m(3)小球A运动到P点时，沿圆轨道切线方向T－mgsin37°＝ma1对重物B分析Mg－T＝Ma1解得a1＝eq\f(9,25)gA在P点沿圆轨道半径方向加速度a2＝gcos37°＝eq\f(4,5)g小球A到达P点时加速度大小a＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))＝eq\f(\r(481),25)g3．(2021·江苏卷)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°.现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)装置静止时，弹簧弹力的大小F.(2)环A的质量M.(3)上述过程中装置对A、B所做的总功W.解析：(1)设AB、OB的张力分别为F1、F2，A受力平衡F＝F1sin37°B受力平衡F1cos37°＋F2cos37°＝mg，F1sin37°＝F2sin37°解得F＝eq\f(3mg,8)(2)设装置转动的角速度为ω对A：F＝Mω2·eq\f(8,5)L对B：mgtan53°＝mω2·eq\f(4,5)L解得M＝eq\f(9,64)m(3)B上升的高度h＝eq\f(1,5)L，A、B的动能分别为EkA＝eq\f(1,2)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·\f(8,5)L