数系的扩充和复数的概念 高一下数学人教A版（2019）必修2

人教A版高中数学必修第二册数系的扩充和复数的概念广信数学组引入我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当△=b2-4ac<0时没有实数根.因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决.事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避.到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决.在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方?如何开平方?负实数开平方的意义是什么?等等.

本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.

情境引入问题：你知道数系是怎样扩充的吗？数系的每一次扩充又解决了哪些问题？情境引入自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线等问题引入了无理数自然数负整数整数无理数有理数分数实数

从社会实践来看随着社会发展，数系在不断扩充．计数的需要引入了自然数课堂引入自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方形对角线等问题引入了无理数

从社会实践来看随着社会发展，数系在不断扩充．数系的每一次扩充都是为了满足社会生产实践的需要计数的需要引入了自然数情境引入另一方面，数集的每次扩充都是为了解决数学内部的矛盾。从数学发展的角度来看（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；

（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．无解有解？引入新数（1）在自然集中求方程x+1=0的解；情境引入为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是方程的解,即使得i2=-1.i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary(想象的，假想的)一词的词头，i2=i·i.（1）i2=-1；（2）实数可以与

i

进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。如果没有运算，数只是孤立的符号！数系扩充规则：数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．探究新知探究新知问题4：把实数系扩充之后，得到的新数系由哪些数组成呢？思考：你能否写出一个代数形式，把刚刚的数都包含在内？实数a把实数b与i相乘，结果记作bi把实数a与bi相加，结果记作a+bi例如：2i，-3i，例如：2+i，1-3i，a+0i0+bi所有实数以及i都可写成a+bi(a,b∈R)的形式实部虚部1、复数的概念(1)形如的数叫做复数,通常用字母

z

表示.

i

叫虚数单位

(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C

表示.探究新知复数的代数表示虚数纯虚数实数例1：指出复数的实部与虚部。

课堂典例问题4：复数

什么情况数下为实数？虚数集纯虚数集实数集复数集问题5：实数集R与扩充后复数集C是什么关系呢？复数z=a+bi问题6：你能对复数a+bi(a，b∈R)进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？

探究新知2、复数的分类

课堂典例(2)当，即时，复数z是虚数．例2实数m取什么值时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当，即时，复数z是实数．(3)当，且，即时，复数z是纯虚数．

(1)是虚数；(2)是纯虚数.

探究新知3、复数相等复数只有相等与不相等，没有大小关系；如果两复数比较大小，那么这两复数一定为实数。规定：问题7:

实数可以比较大小，复数可以比大小吗？若a+bi=3+2i则a=b=

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课堂典例例3：求适合下列方程的实数x与y的值:（1）

说明:实数问题复数问题转化

课堂练习2.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求实数m的值.练习：1.若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．

数系的扩充课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．

数系的扩充课堂小结虚数有理数Q整数Z自然数N实数R负整数分数无理数复数C通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．

数系的扩充复数的基本概念两个复数相等的含义复数的分类……实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法.解决复数相等问题运用了转化的数学思想.方