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量子物理第3讲——薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限深势阱一维有限高势垒主要内容六、薛定谔方程1第1页德布罗意公式自由粒子物质波波函数在某处发觉一个微粒概率正比于描述该微粒波函数振幅平方。即称为概率密度。微粒在体积元内出现概率为：2第2页连续。波函数归一化条件：波函数标准条件：单值、有限、坐标和动量不确定度关系能量和时间不确定度关系3第3页六、薛定谔方程1、薛定谔方程自由粒子波函数能够看出：4第4页进行替换、并作用于波函数，得即算符与能量动量间有对应等价关系：非相对论极限下，自由粒子能量–动量关系：5第5页进行替换、作用于波函数在外力场中：薛定谔方程(1926)：低速运动微观粒子基本规律，地位同牛顿定律。起源：基本假定之一，不可证实，只可检验。地位：
成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱线分裂，分享1933年Nobel物理奖。6第6页2、定态薛定谔方程定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关，总能量不随时间改变状态。定态波函数：用于描述处于定态粒子波函数。Schrödinger方程：分离变量法：则：设7第7页依据时间任意性、空间坐标任意性，上式两端必为常量，令为则其解为即对照自由粒子波函数可知，常量就是粒子总能量：8第8页那么，定态波函数其中不含时间部分(通常也称定态波函数)满足定态薛定谔方程：9第9页3、一维无限深势阱势壁无限高，阱内粒子不可越出阱外：阱内定态薛定谔方程：质量为粒子作一维运动，在力场中势设为10第10页则其通解：连续性：令另外，一定不能为零。为整数，但奇偶性与相反.???为何不为负???11第11页能量量子化：所以归一化：波函数：几率密度：12第12页粒子动量：粒子德布罗意波长：粒子能量、动量、德布罗意波长(及频率)均是量子化。其中最小能量和最小动量皆不为零，正是不确定度关系反应。13第13页定义透射系数：4、一维有限高势垒含有能量粒子沿X正向射向势垒。经典力学：粒子没有能力穿过势垒，百分之百地被弹回。量子力学：粒子有一定机会经过势垒。14第14页解薛定谔方程表明：其中隧道效应：粒子能够穿透比它能量还高势垒现象。已经试验证实并得到实际应用。电子，当制作扫描隧穿显微镜(STM)15第15页STM下硅表面结构重现16第16页利用STM搬迁原子为电子造“量子围栏”17第17页例：一维定态薛定谔方程：解：当时，方程变形为质量为粒子处于一维对称势场中，推导粒子在情况下,其总能量满足关系式，并由此说明能量是否连续。18第18页其通解为其中当及时，方程变形为其通解为其中当时当时19第19页利用连续性：处，处
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