高三数学二轮复习专题2省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

QG-（文科）数学数学数学数学第1页

决胜高考专案突破名师诊疗对点集训第2页【考情汇报】题型小题

第12题:递推关系式(结构新数列求和或分组求和).第14题:等比数列(用前n项和公式求基本量).大题第17题:等差数列(求基本量,求通项;用函数观点求前n项和最值).第20题:椭圆综合等差数列(等差中项).第17题:等比数列(通项公式、前n项和公式、综合对数求和).

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第3页【考向预测】数列一直是高考重点与热点.因为它既含有函数特征,又能组成独

特递推关系,使得它既与中学数学其它部分知识如:函数、方程、

不等式、解析几何等有较紧密联络,又有自己鲜明特征,所以在

高考中占有极其主要地位.以考查数列通项公式,前n项和及数

列基本性质为主要内容,在试卷中约占10分或12分,一个选择题和

一个填空题,或一道解答题;小题普通为概念性问题,惯用等差数列、名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第4页等比数列概念和性质来处理,属于中低级题;而大题综合性较强,

常从数列递推关系入手,再转化为等差数列和等比数列中求通

项或求和.考查学生数学思维能力和分析、建模、处理问题能力

以及函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想.复

习时仍应该以基础知识为主,不要片面追求难度.数列可视为一个特

殊函数,所以能够用函数观点来处理数列问题.【知能诊疗】1.已知:数列{an}中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n≥2,n∈N*),判断{an}是否

为等差数列.【解析】a2-a1=1,a3-a2=

,∴{an}不是等差数列.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第5页2.(黑龙江省哈六中高三第三次模拟)已知数列{an}前n项和

为Sn,且an+1=5Sn-3,a1=1,则{an}通项公式是

.【解析】由an+1=5Sn-3,得an=5Sn-1-3(n≥2),两式相减得an+1-an=5an,即

=6(n≥2),由a1=1,得a2=2,

≠6,故an=

【答案】an=

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第6页3.(3月北京市丰台区高三一模)设Sn为等比数列{an}前n项

和,若a1=1,且2a2,S3,a4+2成等差数列,则数列{

}前5项和为

(

)(A)341.

(B)

.

(C)1023.

(D)1024.【答案】A【解析】由2S3=2a2+a4+2,得q=2,则{

}公比为4,S5=

=341.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第7页4.在公差不为0等差数列{an}中,a1,a3,a7成等比数列,S7=35,求数列通

项an.【解析】由S7=35,得

=35,即2a1+6d=10,a4=5;又

=a1a7,即(a4-d)2=(a4-3d)(a4+3d),得d=1,故an=a4+(n-4)d=n+1.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第8页5.(陕西省西安市八校高三年级数学试题)在公差不为0等

差数列{an}中,a1=-12,且a8,a9,a11成等比数列.(1)求数列{an}公差;(2)设Sn为数列{an}前n项和,求Sn最小值,并求出此时n值.【解析】(1)由a8,a9,a11成等比数列知(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d),即16a1d+64d2=17a1d+70d2,整理得a1d+6d2=0.因为d≠0,所以a1=-6d.从而d=2,即数列{an}公差为2.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第9页(2)(法一)由(1)可知Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.因为n2-13n=(n-

)2-

,且n∈N+,所以当n=6或7时,n2-13n有最小值-42,所以,Sn最小值为-42,此时n为6或7.(法二)由(1)可知数列{an}通项公式为an=2n-14,令an≤0,得n≤7.据数列{an}单调递增可知,其前6项均为负项,第7项为0,从第8项开始

均为正项,所以,S6=S7,且均为Sn最小值,最小值为-42,此时n为6或

7.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第10页6.已知数列{an}是首项a1=

等比数列,其前n项和Sn中S3=

,求数列{an}通项公式.【解析】若q=1,则S3=

≠

不符合题意,∴q≠1.当q≠1时,由

得

∴an=

·(-

)n-1=(-

)n+1.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第11页7.(东北四校高三第一次高考模拟)已知{an}为等比数列,a1=1,

a6=243,Sn为等差数列{bn}前n项和,b1=3,S5=35.(1)求{an}和{bn}通项公式;(2)设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求Tn.【解析】(1)a6=a1q5=243,得q=3,an=3n-1;S5=

=35,b5=11,又b1=3,得bn=2n+1.(2)Tn=3×1+5×3+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1,①3Tn=3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n,②①-②得:-2Tn=3+2×(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,整理得:Tn=n·3n.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第12页【诊疗参考】1.应用an与Sn关系解题时,普通要分n=1和n≥2来讨论,要注意验证

能否统一到一个式子中,当a1不符合an=Sn-Sn-1(n≥2)表示式时,通项

公式必须分段表示.注意隐含条件n≥2,n∈N*,要验证是不是从第一

项开始.2.等差数列求Sn最值结论为:(1)当a1>0,d<0时,若Sr最大,则应有

(2)当a1<0,d>0时,若Sr最小,则应有

仅解不等式an<0是不正确,仅解an+1≥0也是不正确.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第13页3.等差等比数列综合时,要分清谁是等差,谁是等比.灵活利用公式:等

差an=am+(n-m)d;等比an=amqn-m,使运算简便.尤其是求通项公式时,不一

定求a1,能够利用已知求得am;等比数列不一定求q,求出q3或q2有时可

以直接利用,降低运算量.在求等比数列前n项和时,注意分q≠1,q=1

两种情况讨论.4.用错位相减求和时注意:(1)写出qSn倒数第二项,方便相减;(2)Sn-

qSn第一项不要丢掉;(3)Sn-qSn最终一项是减号;(4)用公式求和时

要注意项数.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第14页【关键知识】一、等差、等比数列概念、判定、公式与性质

等差数列等比数列定义

是等差数列⇔an+1-an=d(常数)是等比数列⇔=q(不为零常数)通项公式an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)dan=a1qn-1=akqn-k中项公式a,A,b成等差数列⇔A=.推广:2an=an-m+an+ma,G,b成等比数列⇒G2=ab.推广:

=an-m·an+m名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第15页通项性质①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.②若{kn}(n∈N+)成等差数列,则{

}

也为等差数列.③d=

=

(m≠n)①若m+n=p+q,则aman=apaq.②若{kn}(n∈N+)成等差数列,则{

}成等比数列.③qn-1=

,qn-m=

(m≠n)

Sn=

=na1+

d=

n2+(a1-

)nSn=

和性质在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列在公比不为—1等比数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第16页二、判断或证实数列是等差(或等比)方法1.定义法:验证an+1-an=d(常数)或

=q(常数);2.中项公式法:验证2an=an-m+an+m或

=an-m·an+m;3.通项公式法:(1)数列{an}为等差数列⇔an=An+B(A,B为常数,n∈N*);(2)数列{an}为等比数列⇔an=cqn(c,q均是不为0常数,n∈N*).三、求通项公式惯用方法1.观察法:找到项与项数关系,然后猜测检验,即得通项公式an;名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第17页2.利用前n项和与通项关系:an=

3.公式法:利用等差(比)数列通项公式;4.累加法,如an+1-an=f(n);累乘法,如

=f(n);5.转化法:(1)an+1=Aan+B(A≠0,A≠1),能够经过待定系数法an+1+λ=A(an+λ),求出

λ,化为等比数列后,再求通项;(2)an+1=can+rn(c≠0,r≠0),能够经过两边除以rn+1,转化为类型(1)求解.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第18页数列求和要先研究数列通项,依据通项选择方法,化归为基本数列

求和.1.公式法:用等差(比)数列求和公式;2.分组求和法:若cn=an+bn,则用分组求和法;3.错位相减法:若cn=an·bn,{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则用错位

相减法;4.裂项相消法:形如cn=

(其中{an}为等差数列).四、数列惯用求和方法名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第19页1.已知等差数列{an}前n项和为Sn:(1)若a1>0,d<0,则当且仅当

时,Sn取最大值;(2)若a1<0,d>0,则当且仅当

时,Sn取最小值;2.惯用拆项公式(k,n∈N*)(1)

=

-

;(2)

=

(

-

);五、惯用结论名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第20页(3)若{an}是等差数列,公差为d(d≠0),则

=

(

-

);(4)

=

(

-

).【考点突破】热点一:数列概念与性质数列概念、性质及其基本量关系是高考中经常考查内容,一

般出现在选择题,填空题或解答题第一问,属于轻易题,中等题,主

要考查数列性质灵活应用及对概念了解.

(1)(广东省六校2月高三第三次联考)等差数列

{an}中,已知a3=5,a2+a5=12,an=29,则n为

(

)(A)13.

(B)14.

(C)15.

(D)16.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第21页(2)(·新课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+

a10=

(

)(A)7.

(B)5.

(C)-5.

(D)-7.【分析】(1)a2+a5不能用等差中项,故用基本量,又已知a3,所以a2+a5=

(a3-d)+(a3+2d)=12,求得公差,结合an=29可解.(2)要看清{an}为等比数

列,所以a5a6=a4a7,然后用基本量表示,依据韦达定理结构方程,解方程

得出a4,a7值,或是解方程组;然后求出q3即可,后面直接用q3,降低计

算量.【解析】(1)a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,得d=2,an=a3+(n-3)d=29,得n=15.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第22页(2)由题意并依据等比数列性质得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0两根,则解得

或

故q3=-2或-

.当q3=-2时,a1+a10=

+a7q3=-7;同理可知当q3=-

时,a1+a10=-7.故a1+a10=-7,故选D.【答案】(1)C

(2)D【归纳拓展】关于等差、等比数列问题,首先应抓住a1、d、q,通

过列方程组来解.此方法含有极大普遍性,需专心掌握,但有时运算

量较大,熟练利用性质或公式特征量可大幅度简化运算.利用an=am+

(n-m)d和an=amqn-m可降低运算量.方程思想、分类讨论思想是处理数

列惯用思想方法.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第23页变式训练1

(1)等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,则数列

{an}前20项和S20=

.(2)(山东省试验中学高三第四次诊疗考试)等差数列{an}中,a4

+a10+a16=30,则a18-2a14值为

.【解析】(1)由a4=10和a3,a6,a10成等比数列得:

即

解得

或

故S20=200或330.(2)由a4+a10+a16=30得a10=10,a18-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a10=-10.【答案】(1)200或330

(2)-10名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第24页

(1)(山东省济宁市重点中学高三上学期期中)已知数列{an}通项为an=(

)n-1·[(

)n-1-1],以下表述正确是

(

)(A)最大项为0,最小项为-

.(B)最大项为0,最小项不存在.(C)最大项不存在,最小项为-

.(D)最大项为0,最小项为a4.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第25页(2)设等差数列{an}前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4最大值为

.【分析】(1)先求出数列前四项,然后确定an+1-an符号,从而确定

数列单调性,即可求出数列最大项和最小项.(2)依据S4≥10,S5≤

15转化为基本量,降低参数,用一个参数范围来求a4范围.【解析】(1)a1=0,∵当n>1时,0<(

)n-1<1,(

)n-1-1<0,∴an最大项为a1=0;a2=(

)2-1[(

)2-1-1]=-

;a3=(

)3-1·[(

)3-1-1]=-

;a4=(

)4-1[(

)4-1-1]=-

,名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第26页an+1-an=( )n[( )n-1]-( )n-1[( )n-1-1]=( )n-1×

.当n≥3时,an+1-an>0;n<3时,an+1-an<0,最小项为a3=-

.故选A.(2)∵等差数列{an}前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15.∴

即

∴

≤a1≤3-2d,

≤3-2d,d≤1.∴a4=(a1+2d)+d≤3+d≤3+1=4.故a4最大值为4.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第27页【答案】(1)A

(2)4【归纳拓展】(1)本题主要考查了数列函数特征,同时考查了计算

能力,属于中等题.求数列最大最小项,普通能够先研究数列单调

性,能够用

或

也能够转化为函数最值问题或利用数形结合.(2)由已知得出不等式,利用消元思想确定d或a1范围是解题

关键;若题干中没有给出不等式,求d范围,先要列出a1,d等量关

系,然后应用判别式法或配方法产生不等式.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第28页变式训练2

(1)(山东省烟台市高三期末检测)已知数列{an}

满足a1=a,an=an+1+2,定义数列{bn},使得bn=

(n∈N*).若4<a<6,则数列{bn}最大项为

(

)(A)b2.

(B)b3.

(C)b4.

(D)b5.(2)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d等差数列{an}前n项和为Sn,满

足S5S6+15=0.①若S5=5,求S6及a1;②求d取值范围.【解析】(1)an=a+(n-1)(-2)=-2n+a+2,bn=

=

,解得a=

+2n-2,∵4<a<6,解得6-2n<

<8-2n,由此可知b3最大,当n≥4时,bn<0.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第29页(2)①由题意知S6=-3,a6=-8,∴

解得a1=7,∴S6=-3,a1=7.②∵S5S6+15=0,∴2

+9a1d+10d2+1=0,(4a1+9d)2=d2-8,∴d2≥8,故d取值范围为d≤-2

或d≥2

.【答案】(1)B

(2)①S6=-3,a1=7②d≤-2

或d≥2

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第30页热点二:数列通项与求和数列通项与求和是高考热点,主要利用转化思想转化为等差、

等比数列问题.其中求数列通项公式是关键,而求通项公式惯用方

法有:定义法、公式法、累加法、累乘法、转化法等.主要考查性质

灵活利用及对概念了解,考查基本技巧与基本思想方法.在求和

问题中,既要善于从数列通项入手观察数列特点与改变规律,又

要注意项数.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第31页

(1)(湖北省荆门、天门等八市3月高三联考)假如数列a1,

,

,…,

,…是首项为1,公比为-

等比数列,则a5等于

(

)(A)32.

(B)64.

(C)-32.

(D)-64.(2)(·新课标全国)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}前60

项和为

.【分析】(1)先分析通项

,

=(-

)n-1,用累乘法;(2)列出前几项,观察规律.【解析】(1)a5=a1×

×

×

×

=a1q1+2+3+4=(-

)10=32.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第32页(2)由题意得,由an+1+(-1)nan=2n-1得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n[(-1)n-1an+2n-

1]+2n+1=-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1,也有an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3,两式相加得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4,设k为整数,则a4k+1+a4k+2+a4k+3

+a4k+4

=-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10,于是S60=

(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=

(16k+10)=1830.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第33页【答案】(1)A

(2)1830【归纳拓展】形如an+1-an=f(n),

=f(n),an+1=Aan+B(A≠0,A≠1)等,可经过累加法,累乘法,待定系数法转化为等差或等比数列求通项.由递

推公式求通项公式,关键是数学式变形,结合待定系数法进行适当

结构,或组合转化为等差数列或等比数列处理问题.通项公式是数

列灵魂,只有抓住它特征,再去联想惯用数列求和方法,才能快

速解题.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第34页变式训练3求满足以下条件数列通项公式:(1)a1=1,an=

+an-1(n≥2,n∈N*);(2)a1=1,an+1=3an+2.【解析】(1)由已知得an-an-1=

,用累加法,an-a1=

+

+…+

=1-(

)n-1,得an=2-(

)n-1.(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴

=3,∴{an+1}为等比数列,公比为3,∴an+1=(a1+1)×3n-1,∴an=2·3n-1-1.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第35页

(烟台一模)已知数列{an}是公差为2等差数列,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求{an}通项公式;(2)令bn=

(n∈N*),记数列{bn}前n项和为Tn,求证:Tn<

.【分析】(1)利用等比中项列式,转化为求基本量,可求通项;(2)由(1)

求得an,看bn=

形式,可用裂项相消法求和.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第36页【解析】(1)数列{an}是公差为2等差数列,a1+1,a3+1,a7+1成等比数

列,a3=a1+4,a7=a1+12.所以由(a3+1)2=(a1+1)·(a7+1)得(a1+5)2=(a1+1)·(a1+13),解之得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.(2)由(1)得an=2n+1,∴bn=

=

=

·

=

(

-

).∴Tn=

(1-

+

-

+…+

-

)=

(1-

)=

-

<

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第37页【归纳拓展】处理等差数列或等比数列相关问题时,“基本量法”

是惯用方法,等差中项,等比中项是常考考点;若cn=

,数列{cn}通项公式是一个分式结构,普通采取“裂项相消法”,通项拆

成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项(注意普通情况下剩下

正负项个数相同).变式训练4

(北京市东城区1月高三考试)在等差数列{an}中,

a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,公比为q,且

b2+S2=12,q=

.(1)求an与bn;(2)数列{cn}满足cn=

,求{cn}前n项和Tn.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第38页【解析】(1)设{an}公差为d,∵

∴

解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)∵Sn=

,∴cn=

=

=

(

-

),∴Tn=

[(1-

)+(

-

)+…+(

-

)]=

(1-

)=

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第39页

(广东省惠州市高三一模)已知数列{an}满足:a1=1,a2=

,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*.(1)求a3,a4,a5,a6值及数列{an}通项公式;(2)设bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}前n项和Sn.【分析】(1)因为有(-1)n,可按奇数,偶数进行分类;(2)由bn=a2n-1·a2n形式,能够看出用错位相减法,通项bn求法是关键.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第40页【解析】(1)经计算a3=3,a4=

,a5=5,a6=

.当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}奇数项成等差数列,∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1;当n为偶数时,an+2=

an,即数列{an}偶数项成等比数列,∴a2n=a2·(

)n-1=(

)n.所以,数列{an}通项公式为an=

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第41页(2)∵bn=(2n-1)·(

)n,∴Sn=1·

+3·(

)2+5·(

)3+…+(2n-3)·(

)n-1+(2n-1)·(

)n,①

Sn=1·(

)2+3·(

)3+5·(

)4+…+(2n-3)·(

)n+(2n-1)·(

)n+1.②①-②得:

Sn=1·

+2[(

)2+(

)3+…+(

)n]-(2n-1)·(

)n+1

=

+

-(2n-1)·(

)n+1=

-(2n+3)·(

)n+1.∴Sn=3-(2n+3)·(

)n.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第42页【归纳拓展】数列是一个特殊函数,像分段函数一样数列通项可

以分段表示,主要考查等差数列、等比数列概念.用转化思想把递

推关系式转化为等差等比数列问题是解题惯用方法;若cn=an·bn,

是等差数列,

是等比数列,主要用错位相减法求和.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第43页变式训练5数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2

)an+sin2

,n=1,2,3,….(1)求a3,a4,并求数列{an}通项公式;(2)设bn=

,求数列{bn}前n项和Sn.【解析】(1)因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2

)a1+sin2

=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.普通地,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=[1+cos2

]a2k-1+sin2

π=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1.所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1等差数列,所以a2k-1=k.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第44页当n=2k(k∈N*)时,a2k+2=(1+cos2

)a2k+sin2

=2a2k.所以数列{a2k}是首项为2、公比为2等比数列,所以a2k=2k.故数列{an}通项公式为an=

(2)由(1)知,bn=

=

,Sn=

+

+

+…+

,①

Sn=

+

+

+…+

.②①-②得:

Sn=

+

+

+…+

-

=

-

=1-

-

.所以Sn=2-

-

=2-

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第45页

(天津市六校高三第三次联考)已知数列{an}、{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}前n项和为Sn.(1)求证:数列{

}为等差数列;(2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn.【分析】(1)用定义证实等差数列是惯用方法.此题不轻易凑成bn=an-

1形式,所以考虑把an=bn+1代入an-1=an

,两边同时除以bnbn+1,整理成

形式可得为等差数列.(2)先求Tn,数列与不等式综合,证实不等式能够考虑作差法.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第46页【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1,代入an-1=an

得bn=

bn+1,整理得bn-bn+1=bnbn+1.∵bn≠0,不然an=1,与a1=2矛盾,从而得

-

=1,∵b1=a1-1=1∴数列{

}是首项为1,公差为1等差数列.(2)∵

=n,则bn=

,Sn=1+

+

+…+

.∴Tn=S2n-Sn=1+

+

+…+

+

+…+

-(1+

+

+…+

)=

+

+…+

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第47页(法一)∵Tn+1-Tn=

+

+…+

-(

+

+…+

)=

+

-

=

-

=

>0,∴Tn+1>Tn.(法二)∵2n+1<2n+2,∴

>

,∴Tn+1-Tn>

+

-

=0,∴Tn+1>Tn.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第48页【归纳拓展】在解数列问题时,除惯用数学思想方法利用外,还要

尤其注意,在解题中一定要有“目标意识”.此题为了出现目标

,两边同时除以bnbn+1是惯用方法.求证等差数列,可从两个方面出发,一

是等差数列定义,即证an+1-an=d;二是等差中项2an=an-m+an+m;数列与

不等式综合,主要应用不等式证实方法:作差法,放缩法,或转化为

函数最值问题.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第49页变式训练6

(广东省中山市四校12月联考)设数列{an}前n

项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*).(1)求证:数列{an+1}为等比数列;(2)若bn=

,数列{bn}前n项和为Tn,n∈N*,证实:Tn<2.【解析】(1)∵Sn+1=2Sn+n+1,当n≥2时,Sn=2Sn-1+n,两式相减得:an+1=2an+1,∴an+1+1=2

,即

=2.又S2=2S1+2,a1=S1=1,∴a2=3,∴

=2;所以

+

是公比为2等比数列.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第50页(2)由(1)知an=2n-1,∴bn=

=

=

.∴Tn=

+

+

+…+

,

Tn=

+

+…+

+

.∴Tn=2(

+

+

+…+

-

)=2-

-

<2.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第51页热点三:数列综合应用数列与其它分支知识综合应用,普通是以数列与函数、方程、不

等式、三角、解析几何等知识综合应用为主.处理这类综合问题,

首先要分析出在每个分支中各是什么问题;其次,要把整个大题分解

成若干个小题或“步骤”,使它们成为在各自分支中基本问题;最

后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题结论.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第52页(1)写出a2、a3值(只写结果),并求出数列{an}通项公式;(2)设bn=

+

+

+…+

,若对任意正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+

>bn恒成立,求实数t取值范围.【分析】(1)由递推关系式可知用累加法求通项;(2)对于bn求法,由

于是分式形式,能够考虑用裂项相消;对于恒成立问题,能够转化为函

数最值,先判断函数单调性.

已知数列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*).名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第53页∴an-a1=2[n+(n-1)+…+3+2],∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=

=n(n+1).当n=1时,a1=1×(1+1)=2也满足上式,∴数列{an}通项公式为an=n(n

+1).【解析】(1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*),∴a2=6,a3=12.当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,(2)bn=

+

+…+

=

+

+…+

=

-

+

-

+…+

-

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第54页= - = =

.令f(x)=2x+

(x≥1),则f'(x)=2-

,当x≥1时,f'(x)>0恒成立,∴f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=

,要使对任意正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+

>bn恒成立,则须使t2-2mt+

>(bn)max=

,即t2-2mt>0,对∀m∈[-1,1]恒成立,∴

解得,t>2或t<-2,∴实数t取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第55页另解:bn+1-bn=

-

-

+

=

+

-(

+

)=

-

<0.∴数列{bn}是单调递减数列,∴(bn)max=b1=

,要使对任意正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+

>bn恒成立,则须使t2-2mt+

>(bn)max=

,即t2-2mt>0,对∀m∈[-1,1]恒成立,∴

解得,t>2或t<-2,∴实数t取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).【归纳拓展】数列是一个特殊函数,要注意其特殊性:(1)若用导数

研究数列单调性、最值等,要结构辅助函数,因为导数是对连续函

数定义;(2)辅助函数单调性与数列单调性联络与区分.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第56页变式训练7

(·南昌期末)已知各项均为正数数列{an}满足

=2

+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}通项公式;(2)令cn=1+

,记数列{cn}前n项积为Tn,其中n∈N*,试比较Tn与9大小,并加以证实.【解析】(1)因为

=2

+anan+1,即(an+1+an)·(2an-an+1)=0.又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1.所以数列{an}是公比为2等比数列.由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故数列{an}通项公式为an=2n(n∈N*).名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第57页(2)结构函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则f'(x)=

-1=-

,当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)<f(0)=0,∴ln(1+x)-x<0,所以lncn=ln(1+

)=ln(1+

)<

,所以lnTn<

+

+

+…+

,记An=

+

+

+…+

,则

An=

+

+

+…+

+

,所以有An-

An=

+

+

+…+

-

=1-

<1,即An<2,所以lnTn<2,所以Tn<e2<9.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第58页

(北京房山区一模)在直角坐标平面上有一点列P1

,P2

,…,Pn

,…,对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+

图象上,且Pn横坐标组成以-

为首项,-1为公差等差数列

.(1)求点Pn坐标;(2)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中每一条对称轴都垂直于x轴,第

n条抛物线Cn顶点为Pn,且过点Dn

,记与抛物线Cn相切于Dn直线斜率为kn,求

+

+…+

;名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第59页(3)设S=

,T={y|y=4yn,n∈N*},等差数列

任一项an∈S∩T,其中a1是S∩T中最大数,-265<a10<-125,求{an}通项公式.【分析】(1)求点Pn横坐标,即求等差数列通项公式;(2)直线与圆

锥曲线相切问题能够用导数几何意义处理,对于分式求和,用裂项

相消法;(3)数列与集合综合,先求S∩T是入手点.【解析】(1)xn=-

+

×

=-n-

,∴yn=3xn+

=-3n-

,∴Pn=(-n-

,-3n-

).名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第60页(2)∵Cn对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,∴设Cn方程为:y=a(x+

)2-

,把Dn

代入上式,得a=1,∴Cn方程为:y=x2+

x+n2+1,y'=2x+2n+3.当x=0时,kn=2n+3,∴

=

=

(

-

),∴

+

+…+

=

[(

-

)+(

-

)+…+(

-

)]=

(

-

)=

-

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第61页(3)S=

,T=

={y|y=-2(6n+1)-3,n∈N,n≥1}中最大数a1=-17.设

公差为d,则a10=-17+9d∈

,由此得-

<d<-12,又∵an∈T,∴d=-12m

,∴d=-24,∴an=7-24n

.【归纳拓展】数列在日常经济生活中广为应用,如增加率问题、银

行存款利率问题、贷款问题等,都是与等比数列相关.另外,有些实际

问题,可转化为数列问题,注意是求项还是求和,是解方程还是不等式

问题.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第62页变式训练8已知数列{an}前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)

都在函数f(x)=x2+2x图象上,且过点Pn(n,Sn)切线斜率为kn.(1)求数列{an}通项公式;(2)若bn=

an,求数列{bn}前n项和Tn;(3)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}任一项cn

∈Q∩R,其中c1是Q∩R中最小数,110<c10<115,求{cn}通项公式.【解析】(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x图象上,∴Sn=n2+2n(n

∈N*),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列

{an}通项公式为an=2n+1.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第63页(2)由f(x)=x2+2x求导可得f'(x)=2x+2,∵过点Pn(n,Sn)切线斜率为kn,∴kn=2n+2.∴bn=

an=4·(2n+1)·4n.∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n,①由①×4,得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4×(2n+1)×4n+1.②①-②得:-3Tn=4[3×4+2×(42+43+…+4n)-(2n+1)×4n+1]=4[3×4+2×

-(2n+1)×4n+1],名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第64页∴Tn=

·4n+2-

.(3)∵Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},∴Q∩R=R.又∵cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中最小数,∴c1=6.∵{cn}公差是4倍数,∴c10=4m+6(m∈N*).又∵110<c10<115,∴

解得m=27.所以c10=114,设等差数列公差为d,则d=

=

=12,∴cn=6+(n-1)×12=12n-6,所以{cn}通项公式为cn=12n-6.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第65页限时训练卷(一)一、选择题1.在等比数列

中,假如a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于

(

)(A)95.

(B)100.

(C)135.

(D)80.【答案】C【解析】a3+a4=

q2=40q2=60,q2=

;a7+a8=

q4=135.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第66页2.(广东省惠州市高三第三次调研)公差不为零等差数列{an}

中,a1+a2+a3=9,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}公差为

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.【答案】B【解析】由已知得a2=3,

=a1a5=9,即

=9,解得d=2.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第67页3.(广东省惠州市高三一模)公差不为零等差数列{an}前n

项和为Sn,若a4是a3与a7等比中项,S8=32,则S10等于

(

)(A)18.

(B)24.

(C)60.

(D)90.【答案】C【解析】由

=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)得2a1+3d=0,再由S8=8a1+

d=32得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3,所以S10=10a1+

d=60.故选C.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第68页4.(广东省执信中学高三3月测试)设等差数列

前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于

(

)(A)9.

(B)8.

(C)7.

(D)6.【解析】a3+a7=-6,a5=-3,d=2,Sn=n2-12n,当Sn取最小值时,n等于6.【答案】D名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第69页5.数列

首项为3,

为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b2=12,

则a8等于

(

)(A)0.

(B)-109.

(C)-181.

(D)121.【答案】B【解析】d=-14,an+1-an=bn,a8-a1=b1+b2+…+b7=

=

=-112,则a8=-109.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第70页6.在等差数列{an}中,a3+a8+a13=m,其前n项和Sn=5m,则n等于

(

)(A)7.

(B)8.

(C)15.

(D)17.【答案】C【解析】a3+a8+a13=m,得a8=

,S15=

=15a8=5m.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第71页7.(北京西城区期末)设等比数列{an}前n项和为Sn,若8a2+a5=0,

则以下式子中数值不能确定是

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【答案】D【解析】

=q3=-8,q=-2,

=

;

=

,数值由n来决定.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第72页8.(北京市西城区4月联考)设等比数列{an}各项均为正数,

公比为q,前n项和为Sn.若对∀n∈N*,有S2n<3Sn,则q取值范围是(

)(A)(0,1].

(B)(0,2).

(C)[1,2).

(D)(0,

).【解析】当q≠1时,∵S2n<3Sn,∴

<3×

,∴qn<2.当q>1时,n<logq2对∀n∈N*恒成立,∴logq2>nmax不成立,∴舍去;当0<q<1时,n>logq2对∀n∈N*恒成立,∴logq2<nmin,∴logq2<1,即0<q<

2,又0<q<1,∴0<q<1.当q=1时,S2n=2Sn<3Sn成立,∴综上可得:0<q≤1.故选A.【答案】A名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第73页9.(山东省枣庄市高三上学期期末)数列

中a1=a,a2=b,且满足an+1=an+an+2,则a值为

(

)(A)b.

(B)b—a.

(C)—b.

(D)—a.【解析】经验证得周期为6,a=a335×6+2=a2=b.【答案】A名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第74页10.已知{an}为等比数列,且a3+a6=36,a4+a7=18,若an=

,则n=

.【答案】9【解析】设an=a1qn-1,a3+a6=36,a4+a7=(a3+a6)q=18,解之得

进而an=128·(

)n-1,由an=128·(

)n-1=

,解得n=9.二、填空题名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第75页11.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}前n项和,且

=

(n∈N+),则

+

=

.【解析】

+

=

=

=

=

.【答案】

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第76页12.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9则数列{an}

通项公式为

.【解析】设等差数列{log2(an-1)}公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)=log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.【答案】an=2n+1名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第77页13.已知数列

是首项a1=

等比数列,其前n项和Sn中S3、S4、S2成等差数列.三、解答题(1)求数列

通项公式;(2)设bn=lo

,求和:Tn=

+

+…+

.【解析】(1)若q=1,则S3=

,S4=1,S2=

,显然S3、S4、S2不组成等差数列.∴q≠1,由S3、S4、S2成等差数列得2·

=

+

,名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第78页∴2q4=q3+q2

⇒2q2-q-1=0⇒(2q+1)(q-1)=0,∵q≠1,∴q=-

,∴an=

·(-

)n-1=(-

)n+1.(2)∵bn=lo

=lo

=n+1,∴

=

=

-

.∴Tn=

+

+…+

=(

-

)+(

-

)+…+(

-

)=

-

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第79页限时训练卷(二)一、选择题1.数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+

,a2=-1,则数列{an}首项为

(

)(A)1或-2.

(B)±1.(C)±2.

(D)2或-1.【答案】A【解析】由S1=2S2+

,得a1=1或-2.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第80页2.在数列{an}中,an=

,若它前n项和Sn=

,则n等于

(

)(A)3.

(B)4.

(C)5.

(D)6.【答案】D【解析】an=

=1-

,Sn=

=n-(1-

),代人验证得n=6.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第81页3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+

),则an等于

(

)(A)2+lnn.

(B)3+lnn.(C)2-lnn.

(D)3-lnn.【答案】A【解析】a2=a1+ln(1+

),a3=a2+ln(1+

),…,an=an-1+ln(1+

)⇒an=a1+ln(

·

·

·…·

)=2+lnn.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第82页4.在数列{an}中,a1=1,an+1=

(n∈N*),则

是这个数列第(

)项.(A)4.

(B)5.

(C)6.

(D)7.【答案】C【解析】由已知得

=

+

,∴{

}是以

=1为首项,公差d=

等差数列.∴

=1+(n-1)·

,∴an=

=

,∴n=6.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第83页5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=

(n∈N*),则a20等于

(

)(A)0.

(B)-

.

(C)

.

(D)2.【答案】B【解析】由a1=0,an+1=

(n∈N*),得a2=-

,a3=

,a4=0,…,由此可知:数列{an}是周期改变,且周期为3,所以a20=a2=-

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第84页6.数列{an}通项公式为an=2n+1,令bn=

,则数列{bn}前n项和为

(

)(A)

.

(B)

.(C)

-

.

(D)

-

.【答案】D【解析】bn=

=

=

,故Tn=

=

-

.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第85页7.设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)(an+3),则数列{an}

通项公式an等于

(

)(A)2n+1.

(B)2n-1.

(C)2n-1.

(D)2n+1.【答案】D【解析】由4Sn=(an-1)(an+3)得4Sn-1=

,两式相减得

=0,又{an}是正项数列,∴an-an-1-2=0

,则数列{an}为等差数列,a1=3,an=2n+1.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第86页8.已知数列{an}通项公式an=log3

(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn=-4自然数n等于

(

)(A)83.

(B)82.

(C)81.

(D)80.【答案】D【解析】Sn=log3

=log3

,即log3

=-4,

=

,n=80.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第87页9.在数列{an}中,an=4n-

,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a,b为常数,则ab等于

(

)(A)2.

(B)1.

(C)-2.

(D)-1.【答案】D【解析】∵an=4n- ,∴a1= ,从而Sn=

=2n2- .∴a=2,b=-

,则ab=-1.名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第88页10.数列{an}中,a1=

,an+1=

(n∈N+),则数列{an}前项和为

.【解析】

-

=1,∴{

}是公差为1,首项为2等差数列,∴

=n+1,an=

,S=1-

=

.【答案】

二、填空题名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第89页11.已知数列{an}满足an+1=

an+

,且a1=

,则{an}通项公式为

.【解析】an+1-

=

(an-

),an-

=(a1-

)·(

)n-1,an=

+3(

)n-1.【答案】an=

+3(

)n-1

名师诊疗专案突破对点集训决胜高考第90页12.对于正项数列

,定义Hn=

,若Hn=

,则数列{an}

通项公式为

.【答案】an=

【解析】∵

=

,∴a1+2a2+3a3+…+nan=

,

①a1+2a2+3a3+…+

an-1=

,②由①-②得nan=

,所以an=

.名师诊疗专案突破对点集训