数学文化与数学教育省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

杨庆生数学文化与数学教育1数学文化与数学教育第1页文化广义地讲：是指人类在历史实践过程中所创造物质财富和精神财富总和按照这么了解就应把一切非自然、也即由人类所创造事物或对象都看成文化物，“文化性”即是明确必定了对应事物或对象对于人类创造活动直接依赖性。2数学文化与数学教育第2页数学文化因为数学对象并非物质世界中真实存在，而是人类抽象思维事物产物，所以，数学就是一个文化。在亚里士多德：数学对象就只是一个抽象存在也即是人类抽象思维产物。争论：数学对象看成一个不依赖于人类思维独立存在（发觉活动）还是人类抽象思维产物（数学创造创造）。数学家哈代：我认为数学实在存在于我们之外，我们职责是发觉它和遵照它，那些被我们所证实并被我们夸大为是我们创造定理，其实仅仅是我们观察统计而已。3数学文化与数学教育第3页数学文化诺比尔奖活动者物理学家布里奇曼认为：只要稍微观察一下就能明白，数学是人类创造物这一最纯粹自明之理。卡纳斯与纽曼指出：非欧几何证实数学….是人亲手创造，他仅仅服从思想法则所设定限制。任何一个文化成份都是人类思维产物，其相对于个个体来说却是由含有相当大独立性，以致对各个个体来说，文化就像自然界一样组成了一个生存环境。4数学文化与数学教育第4页数学文化文化独立性与群体性：数学实在独立于个体意识而存在，却完全依赖于人类意识；怀特：数学概念…存在于文化之中，即存在于人类行为和传统思想主体之中。5数学文化与数学教育第5页数学文化对数学文化认识归根到底对数学本质认识。对数学本质认识是一个动态认识过程,既伴随数学发展阶段而发展,也伴随各个阶段人们认识提升而深入。作为数学观“过去时态”,我们先回顾一下历史上几位数学家、哲学家看法。6数学文化与数学教育第6页阿尔布斯纳特·约翰阿尔布斯纳特·约翰(Arbuthnot·John)说:“数学是宗教朋友,因为数学能唤起热情而抑制急躁,净化灵魂而使之杜绝偏见与错误。而且一个人假如要想超脱凡俗而与世隔绝,那么经过研究数学而去实现这一目标,显然是一条易获成效而又理想之路径。”[1](P31)数学是人们求真、求善、求美殿堂。柏拉图有句名言:“几何把我们灵魂引导到真理面前。”[2](P187)7数学文化与数学教育第7页大哲学家亚里士多德大哲学家亚里士多德说:“新思想家虽说是为了其它事物而研究数学,但他们却把数学和哲学看作是相同。”数学和辩证法一样,都是人类高级理性表达。8数学文化与数学教育第8页波尔达斯·德莫林斯波尔达斯·德莫林斯(Bordas·Demoulins)说:“没有数学,我们无法看透哲学深度,没有哲学,人们也无法看透数学深度,而若没有二者,人们就什么也看不透视。”[1](P80)哲学在某种意义上说是望远镜,数学是显微镜,二者相得益彰。“哲学从一门学科中退出,那就意味着这门科学建立,而数学进入一门学科就意味着这门学科成熟。”[3](P27)9数学文化与数学教育第9页数学即逻辑罗素说:“逻辑即数学青年时代,数学即逻辑壮年时代。”[4](P30)数学概念都能够借助逻辑概念给出,而数学定理都能够由逻辑公理标准推出,数学和逻辑是精密科学两只眼睛。用两只眼睛去看世界,它比用一只看得更远、更清楚。数学无穷无尽诱人之处于于它最棘手悖论能够开出漂亮理论之花。[3](P9)10数学文化与数学教育第10页A·波雷尔说A·波雷尔说:“数学是一门艺术,因为它主要是思维创造,靠才智取得进展,很多进展出自人类脑海深处,只有美学标准才是最终判定者。”[3](P15)数学与艺术只是人类思维不一样框架,数学抽象与艺术抽象是从不一样侧面观察事物,数学强调定量分析,艺术则偏重于定性感知,可见,数学是智慧与创造艺术。11数学文化与数学教育第11页流派美学派认为数学是静谧、深奥和典雅音乐,数学语言和符号是理性音符,数学追求美,也创造美,数学与艺术结合使美愈加灿烂绚丽。创新说认为数学是不停创新、无止境,每一步创新都是对前人否定,比如发觉无理数,建立分数积分,创建非欧几何,无一不是如此。12数学文化与数学教育第12页数学若干观点过程说认为,数学是试验思维过程+归纳抽象思维过程+逻辑论证思维过程。除此而外,还可列举若干种观点:数学是最精密科学,数学是模式科学;数学是一门高级语言;数学是一个活动;数学是一个关系;数学是人类一个理性精神等等。13数学文化与数学教育第13页数学认识数学是研究现实中数量关系和空间形式科学。——恩格斯数学是研究数量关系和空间形式科学——前苏联“数学内容、方法、意义”数学是研究模式与秩序科学。——“2061”计划14数学文化与数学教育第14页数学认识数学是科学，数学是理论，数学是语言，数学是工具，数学是技术，数学是文化，数学是搭档，15数学文化与数学教育第15页数学文化若干观点从数学哲学史上对数学本质争论看,可归纳出三种观点:“数学是一门演绎科学”;“数学是一门拟经验科学”;数学是一门演算科学”[5]。以上对数学种种认识,都未显偏颇,各自从不一样侧面揭示了数学形式丰富多彩和数学内容博大精深。16数学文化与数学教育第16页数学文化数学是一个文化观点,能够说是数学观“现在时态”。美国数学家怀尔德(R·L·wilder)1981年从数学人类学角度明确提出了“数学--一个文化体系”数学哲学观,他代表作是《作为一个文化体系数学》。[6](P247-248))怀尔德学说,造成了数学家甚至数学哲学家对数学文化关注超出了对数学哲学研究趋势。17数学文化与数学教育第17页数学与文化曾有过三次结合紧密鼎盛时期,

考查人类文明史,数学与文化曾有过三次结合紧密鼎盛时期,第一次是毕达哥拉斯(Pythagoras)学派为代表古希腊时期;第二次是以达·芬奇(DaVinci)为代表欧洲文艺复兴时期;第三次是20世纪中叶以来,伴随科学一体化,系统化即大科课时代到来和全球文化讨论热,数学与文化关系受到人们相当关注。[7]18数学文化与数学教育第18页数学文化假如据此把数学说成是一个文化,还未免有点牵强,我们必须从文化学和数学哲学等方面阐释论证。下面列举中国当前对数学文化研究有代表性几个认识:19数学文化与数学教育第19页数学家齐民友先生数学家齐民友先生从非欧几何产生历史阐述了数学文化价值,指出了数学思维文化意义。他说:“数学作为文化一部分,其最根本特征是它表示了一个探索精神。”[8]“数学作为文化一部分,其永恒主题是‘认识宇宙,也认识人类自己’,在这个探索过程中,数学把理性思维力量发挥淋漓尽致。它提供了一个思维方法与模式,提供了一个最有力工具,提供了一个思维合理性标准,给人类思想解放打开了道路。”[8]他深刻指出:“没有当代数学就不会有当代文化。没有当代数学文化是注定要衰落。”[8]“一个不掌握数学作为一个文化民族也是注定要衰落。”[8]20数学文化与数学教育第20页张楚廷先生张楚廷先生从广义文化学角度阐释数学文化。普通地讲,“文化即人类创造物质文明和精神文明。数学则既是人类精神文明又是物质文明产物,尤其要关注到,数学是人类精神文明硕果,数学不但闪耀着人类智慧光芒,而且数学也最充分地表达了人类为真理而孜孜以求乃至奋不顾身精神,以及对美和善追求。”[9]他指出把数学作为一个文化数学教育功效是多方面,它“不但能够使人变得更富有(知识)、更聪明、而且还能够使人更高大、更高尚、变善、变美”。[9]21数学文化与数学教育第21页郑毓信先生文化概念即是与群体、传统等概念亲密相关。”[10]郑毓信先生在他论著《数学文化学》中阐述说:“因为在当代社会中数学家显然组成了一个特殊群体(可称为‘数学共同体’),并有着相对稳定数学传统。”[10]所以,我们也就能够在所论意义上说,数学是一个文化。也即是指数学家“行为方式”,或者说,即是指特定数学传统。他还指出:“数学作为文化特殊性在于数学对象形式建构性与数学世界无限丰富性和秩序性”。[10]概括地说,历史性与整体性是文化体系两个主要方面。22数学文化与数学教育第22页郑毓信先生数学家工作只是整个数学一个部分，而且数学各部分之间联络是十分主要，数学生命力就在于其各个部分内在联络；在数学定理发觉过程中，逻辑与直觉组成了数学研究双翼；数学家感受到数学美，这其中数学美对其研究活动有着十分主要影响；23数学文化与数学教育第23页数学文化以上关于数学文化三种解释,前两种倾向于强调数学文化发展历史性,最终一个则强调了数学活动整体性,数学共同体和数学传统正是表现了数学文化整体性。他们都从不一样层面揭示了数学文化本质。24数学文化与数学教育第24页数学文化提出数学文化概念,向人们昭示数学文化本质,其意义在于数学含有广泛社会意义和价值,诚如王梓坤先生所言:“数学贡献对整个科学技术(尤其是高新技术)水平推进和提升,对于科技人才培养和滋润,对于经济建设繁荣,对于全体人民科学思维与文化素质培育这四个方面作用是极为巨大,也是其它科学所不能比拟。”[3]25数学文化与数学教育第25页数学发展内在力量符号化抽象化普通化一体化多样化26数学文化与数学教育第26页各种辩证关系抽象化与详细化普通化与特殊化多样化与一体化证实与反驳连续与间断27数学文化与数学教育第27页数学文化“认识和褒扬作为人类文化最主要部分数学,以其在科学和社会中利用,以其观念和推理方法所富有力和美,以其对人类精神丰富”。[11]28数学文化与数学教育第28页由以上叙述看出,人们对数学本质认识从作为一个科学数学,到作为一个哲学数学,再到作为一个文化数学,是伴随数学特点,价值、作用、意义了解逐步广泛而深入,数学文化理念对于探讨新时期数学素质教育提供了新视角。数学教育理应作为文化教育一个专业受到社会和人们高度重视。数学教育目标应是理性思维训练、实用知识技能、文化素养三维结构。数学素质教育应是个体含有数学文化各个层次整体素养。29数学文化与数学教育第29页欧氏几何解析几何

微积分非欧几何过程与意义30数学文化与数学教育第30页欧几里得“几何原本”欧几里得“几何原本”(Euclid,约公元前330-前275)出现是数学史上一个伟大里程碑.从它刚问世起就受到人们高度重视.在西方世界除了“圣经”以外没有其它著作作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比.自1482年第一个印刷本出版以后,至今已经有一千各种版本.在我国,明朝时期意大利传教士利玛窦与我国徐光启合译前6卷,于1607年出版.中译本书名为“几何原本”.31数学文化与数学教育第31页欧几里得“几何原本”徐光启曾对这部著作给以高度评价.他说:“此书有四无须:无须疑,无须揣,无须试,无须改.有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.有三至三能:似至晦,实至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而已.”“几何原本”传入对我国数学界影响颇大.32数学文化与数学教育第32页欧几里得“几何原本”贡献欧几里得“几何原本”被称为数学家圣经,在数学史,乃至人类科学史上含有没有与伦比高尚地位.它在数学上主要贡献是什么呢?1)成功地将零碎数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论整体结构.2)对命题作了公理化演绎.从定义,公理,公设出发建立了几何学逻辑体系,成为其后全部数学范本.3)几个世纪以来,已成为训练逻辑推理最有力教育伎俩.4)演绎思索首先出现在几何学中,而不是在代数学中,使几何含有愈加主要地位.

33数学文化与数学教育第33页欧几里得“几何原本”贡献这种状态一直保持到笛卡儿解析几何诞生.我们还应该注意到,它影响远远地超出了数学以外,而对整个人类文明都带来了巨大影响.它对人类贡献不但仅在于产生了一些有用、美妙定理,更主要是它孕育了一个理性精神.人类任何其它创造都不可能像欧几里德几百条证实那样,显示出这么多知识都仅仅是靠几条公理推导出来.这些大量深奥演绎结果使得希腊人和以后文明了解到理性力量,从而增强了他们利用这种才能取得成功信心.受到这一成就鼓舞,人们把理性利用于其它领域.神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和全部真理追求者都纷纷仿效欧几里德模式,来建立他们自己理论.34数学文化与数学教育第34页希腊文化古希腊文化大约从公元前600年延续到公元前300年.古希腊数学家强调严密推理以及由此得出结论.他们所关心并不是这些结果实用性,而是教育人们去进行抽象推理,激发人们对理想与美追求.所以,这个时代产生了后世极难超越优美文学,极端理性化哲学,以及理想化建筑与雕刻.那位断臂美人—米洛维纳斯(公元前4世纪)是那个时代最好代表,是至善至美象征.正是因为数学文化发展,使得希腊社会含有当代社会一切胚胎.35数学文化与数学教育第35页希腊文化贡献古希腊对数学主要贡献是,第一,对自然哲学贡献.它留给我们一个坚强信念:自然数是万物之母,即宇宙规律关键是数学.这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象终极原因找出来,并将它数量化.第二,对数学科学贡献.他们将数和形抽象化,并坚持演绎证实.这么,数学科学诞生了.并由此它孕育了一个理性精神,这种精神现在已经渗透到人类知识一切领域.第三,对数学内容贡献.主要表现在以下三个方面:1)无理数诞生引出了第一次数学危机,数学由此走上了公理化道路.对数学久远发展产生了深刻影响.2)它给出一个样板———欧几里得几何.这个样板光芒照亮了人类文化每个角落;3)它研究了圆锥曲线,为日后天文学研究和抛射体研究奠定了基础.36数学文化与数学教育第36页欧几里得几何影响欧几里得几何是推理典范,其特点是,以简驭繁,以少胜多.这本书成为后人模仿样板.我们来举几个经典例子.阿基米德不是经过用重物作试验,而是按欧几里得方式,从“相等生物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证实了杠杆定律.牛顿称著名三定律为“公理或运动定律”.从三定律和万有引力定律出发,建立了他力学体系.他“自然哲学数学原理”含有欧几里得式结构.37数学文化与数学教育第37页欧几里得几何影响在马尔萨斯1789年“人口论”中,我们能够找到另一个例子.马尔萨斯接收了欧几里得演绎模型.他把下面两个公设作为他人口学出发点:人需要食品;人需要繁衍后代.他接着从对人口增加和食品供求增加分析中建立了他数学模型.这个模型简练,有说服力,对各国人口政策有巨大影响.38数学文化与数学教育第38页欧几里得几何影响令人惊奇是,欧几里得模式还推广到了政治学.

美国“独立宣言”是一个著名例子.独立宣言是为了证实反抗大英帝国完全合理性而撰写.美国第三任总统杰斐逊(1743-1826)是这个宣言主要起草人.他试图借助欧几里得模型使人们对宣言公正性和合理性深信不疑.”我们认为这些真理是不证自明⋯”不但全部直角都相等,而且“全部人生来都平等”.这些自明真理包含,假如任何一届政府不服从这些先决条件,那么“人民就有权更换或废除它”.宣言主要部分开头讲,英国国王乔治政府没有满足上述条件.”所以,⋯我们宣告,这些联合起来殖民地是,而且按正当权力应该是,自由和独立国家.”顺便指出,杰斐逊兴趣文学、数学、自然科学和建筑艺术.39数学文化与数学教育第39页欧几里得几何影响相对论诞生是另一个光芒例子.相对论公理只有两条:1)相对性原理,任何自然定律对于一切直线运动观察系统都有相同形式;2)光速不变原理,对于一切惯性系,光在真空中都以确定速度传输.爱因斯坦就是在这两条公理基础上建立了他相对论.40数学文化与数学教育第40页欧几里得几何影响关于建立一个理论体系,爱因斯坦认为科学家工作能够分为两步.第一步是发觉公理,第二步是从公理推出结论.哪一步更难呢?他认为,假如研究人员在学校里已经得到很好基本理论、推理和数学训练,那么他在第二步时,只要“相当勤奋和聪明,就一定能成功”.至于第一步,即找出所需要公理,则含有完全不一样性质,这里没有普通方法.爱因斯坦说:“科学家必须在庞杂经验事实中间抓住一些可用精密公式来表示普遍特征,由此探求自然界普遍原理.”实际上即是发觉公理。41数学文化与数学教育第41页解析几何

解析几何诞生是数学史上另一个伟大里程碑.他创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何不足表示不满:古代几何过于抽象,过多地依赖于图形.他们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和公式约束,成为一个妨碍思想技艺,而不是有益于发展思想艺术.同时,他们都认识到几何学提供了相关真实世界知识和真理,而代数学能用来对抽象未知量进行推理,代数学是一门潜在方法科学.所以,把代数学和几何学中一切精华东西结合起来,能够取长补短.这么一来,一门新科学诞生了.笛卡儿理论以两个概念为基础:坐标概念和利用坐标方法把两个未知数任意代数方程看成平面上一条曲线概念.所以,解析几何是这么一个数学学科,它在采取坐标法同时,利用代数方法来研究几何对象.42数学文化与数学教育第42页解析几何伟大意义1)数学研究方向发生了一次重大转折:古代以几何为主导数学转变为以代数和分析为主导数学.2)以常量为主导数学转变为以变量为主导数学,为微积分诞生奠定了基础.3)使代数和几何融合为一体,实现了几何图形数字化,是数字化时代先声.4)代数几何化和几何代数化,使人们摆脱了现实束缚.它带来了认识新空间需要.帮助人们从现实空间进入虚拟空间:从三维空间进入更高维空间.43数学文化与数学教育第43页解析几何伟大意义解析几何中代数语言含有意想不到作用,因为它不需要从几何考虑也行.考虑方程x2+y2=25我们知道,它是一个圆.圆完美形状,对称性,无终点等都存在在哪里呢?在方程之中!比如,(x,y)与(x,-y)对称,等等.代数取代了几何,思想取代了眼睛!在这个代数方程性质中,我们能够找出几何中圆全部性质.这个事实使得数学家们经过几何图形代数表示,能够探索出更深层次概念.那就是四维几何.

44数学文化与数学教育第44页解析几何伟大意义我们为何不能考虑下述方程呢?x2+y2+z2+w2=25,以及形如x21+x22+⋯+x2n=25方程呢?这是一个伟大进步.仅仅靠类比,就从三维空间进入高维空间,从有形进入无形,从现实世界走向虚拟世界.这是何等奇妙事情啊!用宋代著名哲学家程颢诗句能够准确地描述这一过程:道通天地有形外,思入风云变态中.45数学文化与数学教育第45页解析几何伟大意义解析几何诞生是新时代到来序曲,但还不是新时代开端.它对旧数学作了总结,使代数和几何融为一体,并引出变量概念.变量,这是一个全新概念,它为研究运动提供了基础.恩格斯说:“数学中转折点是笛卡儿变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了”.推导出大量宇宙定律必须等候这么时代到来,准备好这方面思想,产生像牛顿、莱布尼兹、拉普拉斯这么一批能够开创未来,为科学活动提供方法,指出方向领袖.

46数学文化与数学教育第46页微积分

但也必须等候创建一个必不可少工具—微积分,没有微积分,推导宇宙定律是不可能.在17世纪天才们开发全部知识宝库中,这一领域是最丰富,微积分为创建许多新学科提供了源泉.微积分是人类智力伟大结晶.它给出一整套科学方法,开创了科学新纪元,并所以加强与加深了数学作用.47数学文化与数学教育第47页微积分

恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分发觉那样被看作人类精神最高胜利了.假如在某个地方我们看到人类精神纯粹和唯一功劳,那就正是在这里.”有了微积分,人类才有能力把握运动和过程.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了当代化社会.航天飞机,宇宙飞船等当代化交通工具都是微积分直接后果.数学一下子走到了前台.数学在人类社会第二次浪潮中作用比第一次浪潮要显著多了.48数学文化与数学教育第48页微积分作用1642年1月8日,伽利略在宗教迫害下,默默辞世.同年12月25日,一个孱弱没有了父亲早产儿诞生了,他就是牛顿.牛顿接过伽利略事业继续前进.当初伽利略用数学化语言描述自然界时,总是将运动限制在地球表面或附近.他同时代人开卜勒得到了关于天体运动三个数学定律.不过,科学这两个分支似乎是独立.找出它们之间联络是对当初最伟大科学家挑战.49数学文化与数学教育第49页微积分作用在微积分帮助下,万有引力定律发觉了,牛顿用同一个公式来描述太阳对行星作用,以及地球对它附近物体作用.这就是说,伽利略和牛顿建立这些定律描述了从最小尘埃到最遥远天体运动行为.宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含范围内.这是人类认识史上一次空前飞跃,不但含有伟大科学意义,而且含有深远社会影响.它强有力地证实了宇宙数学设计,摧毁了笼罩在天体上神秘主义、迷信和神学.50数学文化与数学教育第50页微积分作用在伽利略规划指导下,借助微积分工具在寻求自然规律方面所取得成功远远超出了天文学领域.人们把声音看成空气分子运动而进行研究,取得了著名数学定律.胡克研究了物体振动.波意耳、马略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体压力和密度.范·海尔蒙特利用天平测量物质,迈出了近代化学中主要一步.黑尔斯开始用定量方法硕士理学.哈维利用定量方法证实了流出心脏血液在回到心脏前将在全身周流.定量研究也推广到了植物学.全部这些仅仅是一场空前巨大、席卷近代世界科学运动开端.51数学文化与数学教育第51页微积分作用到18世纪中叶,伽利略和牛顿研究自然定量方法无限优越性,已经完全确立了.著名哲学家康德说,自然科学发展取决于其方法与内容和数学结合程度,数学成为打开知识大门金钥匙,成为科学皇后.1)理性精神是获取真理最高源泉;2)数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效伎俩;3)每一个领域都应该探求对应自然和数学规律.尤其是哲学、宗教、政治经济、伦理和美学中概念和结论都要重新定义,不然它们将与那个领域里规律不相符合.52数学文化与数学教育第52页非欧几何众所周知,欧几里得几何以五条公设为基础,(1)连接任何两点能够作一直线段.(2)一直线段能够沿两个方向无限延长而成为直线.(3)以任意点为中心,经过任意给定另一点能够作一圆.(4)凡直角都相等.(5)假如在同一平面内,任一直线与另两直线相交,同一侧两内角之和小于两直角,则这两直线无限延长必在这一侧相交.(5)等价于“过一直线外已知点只能作一条直线平行于已知直线”.53数学文化与数学教育第53页非欧几何这些公设真理性不证自明,没有一位“神智健全”人胆敢对此表示怀疑,从如此坚实基础出发,经过完美、严密逻辑推理,产生出更多定理,并为大家所接收.笛卡儿、牛顿成功使这些定理地位愈加巩固,在两千多年应用中到达了光芒顶点.人们毫不迟疑地得到这么结论:欧氏几何是真理;真理就是欧氏几何.54数学文化与数学教育第54页非欧几何不过,从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安,其中包含欧几里得本人.他们主要怀疑是第五公设.因为只有第五公设包括到无限,这是人们经验之外东西.第五公设研究在19世纪造成对数学发展极其主要一些结果.19世纪上半叶,数学史上有两个很主要转折,一个是1829年左右发觉双曲几何,一个是1843年发觉非交换代数.非欧几何发觉是人类思想史上一个重大事件.著名数学家凯塞说.欧几里得第五公设,“可能是科学史上最主要一句话”.55数学文化与数学教育第55页非欧几何因为平行公设不一样而带来了欧氐几何与非欧几何一些本质不一样.都有哪些不一样呢,我们稍作介绍.比如,在罗巴切夫斯基几何中三角形内角和总小于180°,半径无限大圆周极限不是直线,而是一个曲线,叫作极限圆.经过不在一条非欧直线上三点,并不总能作一个非欧圆,而能做或者是非欧圆,或者是极限圆,或者是等距线(即与一条非欧直线等距离点组成线).不存在面积任意大非欧三角形.两个非欧三角形相似就全同.毕达哥拉斯定理不成立,等等.56数学文化与数学教育第56页非欧几何在黎曼几何中,三角形内角和总大于180°.两个三角形,面积较大者含有较大内角和,一条直线全部垂线相交于一点,两条直线围成一个封闭区域.黎曼几何含有真实意义吗?在这里答案是必定.假如将公理中直线解释为球面上大圆,黎曼几何公理恰恰适合用于球面上.球面上没有平行线,因为任何两个大圆都相交.实际上,它们不是相交一次,而是相交两次.另一个定理也轻易推导出来:一条直线全部垂线相交于一点.我们指出,黎曼几何每一条定理都能在球面上得到令人满意解释和意义.换言之,自然界几何或实用几何,在普通经验意义上来说,就是黎曼几何.

57数学文化与数学教育第57页非欧几何几千年来,这种几何一直就在我们脚下.不过,连最伟大数学家也没有想过经过检验球几何性质来攻击平行线公理.我们生活在非欧平面上,却把它当成一个怪物,真是咄咄怪事!非欧几何诞生主要性与哥白尼日心说,牛顿引力定律,达尔文进化论一样,对科学、哲学、宗教都产生了革命性影响.

58数学文化与数学教育第58页非欧几何主要影响

1)非欧几何创建使人们开始认识到,数学空间与物理空间之间有着本质区分.但最初人们认为这二者是相同.这种区分对了解1880年以来数学和科学发展至关主要.2)非欧几何创建扫荡了整个真理王国.在古代社会,像宗教一样,数学在西方思想中居于神圣不可侵犯地位.数学殿堂中聚集了全部真理,欧几里得是殿堂中最高神父.不过经过鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等人工作,这种信仰彻底被摧毁了.非欧几何诞生之前,每个时代都坚信存在着绝对真理,数学就是一个典范.现在希望破灭了!欧氏几何统治终止就是全部绝对真理终止.59数学文化与数学教育第59页非欧几何主要影响3)真理性丧失,处理了关于数学本身本质这一古老问题.数学是像高山、大海一样独立于人而存在,还是完全人创造物呢?答案是,数学确实是人思想产物,而不是独立于人永恒世界东西.4)非欧几何创建使数学丧失了真理性,但却使数学取得了自由.数学家能够而且应该探索任何可能问题,探索任何可能公理体系,只要这种研究含有一定意义.60数学文化与数学教育第60页非欧几何主要影响非欧几何在思想史上含有没有可比拟主要性.它使逻辑思维发展到了顶峰.为数学提供了一个不受实用性左右,只受抽象思想和逻辑思维支配范例,提供了一个理性智慧拚弃感觉经验范例.最终,需要指出,数学与人类文明联络是多方面、多层次.数学与哲学、文学、建筑、音乐、绘画也都有深刻联络,这里不再叙述.计算机诞生后,数学与其它文化联络愈加深入和广泛.能够毫无愧言地说,信息时代就是数课时代.联合国科教文组织在1992年发表了《里约热内卢宣言》,将年定为数年,并指出,“纯粹数学与应用数学是了解世界及其发展一把主要钥匙”.

61数学文化与数学教育第61页理性力量数学在人类文明中一直是一个主要文化力量.数学不但在科学推理中含有主要价值,在科学研究中起着关键作用,在工程设计中必不可少.而且,在西方,数学决定了大部分哲学思想内容和研究方法,摧毁和结构了很多宗教教义,为政治学和经济学提供了依据,塑造了众多流派绘画、音乐、建筑和文学格调,创建了逻辑学.作为理性化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治领域,并成为其思想和行动指南.62数学文化与数学教育第62页理性力量人类历史上每一个重大事件背后都有数学身影:哥白尼日心说,牛顿万有引力定律,无线电波发觉,三权分立政治结构,一夫一妻婚姻制度,爱因斯坦相对论,孟德尔遗传学,巴贝奇计算机,马尔萨斯人口论,达尔文进化论,达·芬奇绘画,巴赫12平均率,晶体结构确实定,双螺旋疑结打开等都与数学思想有亲密联络.63数学文化与数学教育第63页数学有三个层面作为理论思维数学;作为技术应用数学;作为文化涵养数学.这三个层次对不一样人有不一样含义和不一样用场.

从事数学研究人,以理论层面为主,强调归纳与演绎.从事工程人以技术层面为主,强调应用与计算.

从事人文科学人以文化层面为主,强调数学与其它学科联络,强调数学在人类文明中作用.64数学文化与数学教育第64页数学教育价值教育本质是培养学生利用知识艺术,教育中心问题是怎样使知识保持活力,使学生在知识增加同时,智力取得同时增加.这就是古人讲“积学以储宝,酌理以富才”.教师应该是思想活跃“活人”,而不是被书本牵着走机器.

传授知识是课程目标之一,但课程还有更主要目标———开发智力,增加智慧.没有知识作基础,人不可能聪明;但有很多知识也能够不聪明,智慧是掌握知识方法.教育与工厂不一样,工厂处理死物质,教育是开发人心智.怀特海说:“把人看成工具是教育理论中最致命、最危险、最错误概念之一.”65数学文化与数学教育第65页科学、应用和艺术———真善美一个完整素质教育统选课应包含三个方面:科学、应用和艺术.科学在于求真,培养学生追求真理勇气,求实精神和严密逻辑思维能力和创新能力.

应用在于培养学生活用知识能力,使他们能在自己专业中使用数学思想和方法,掌握量思维方式.

艺术作用在于培养学生想象力、审美力和创造力,并使学生拥有丰富个性.66数学文化与数学教育第66页数学教育价值

首先,数学抽象性帮助我们抓住事物共性和本质.比如,建立数学模型过程就是一个科学抽象过程.它要求人们善于把问题中次要原因、次要关系、次要过程先撇在一边,抽出主要原因、主要关系和主要过程,而后化为一个数学问题.这种方法能够用于数学以外.另外,数学抽象性使得数学问题处理伴伴随困难.在处理数学问题过程中,使学生体验到挫折和失败,而这正是砥砺意志打磨心理品质绝好时机.愈挫愈奋,百折不挠良好心理素质不会在温室中形成.假如学生在学校里没有尝尽为求解问题而奋斗喜怒哀乐,那么数学教育就在一个主要地方失败了.67数学文化与数学教育第67页数学教育价值其次,数学赋予知识以逻辑严密性和结论可靠性.爱因斯坦说:“为何数学比其它一切科学受到特殊尊重?一个理由是,它命题是绝对可靠和无可争辩,而其它一切科学命题在某种程度上都是可争辩,而且经常处于被新发觉事物推翻危险之中.⋯数学之所以有高声誉,还有一个理由,那就是数学给精密自然科学以某种程度可靠性,没有数学,这些科学是达不到这种可靠性.”68数学文化与数学教育第68页数学教育价值数学严密性和准确性能够使学生在未来工作中降低随意性.英国律师至今要在大学中学习许多数学知识,并不是律师工作要多少数学,而是出于这么一个考虑:经过严格数学训练能够使人养成一个独立思索而又客观公正办事格调和严谨学术品格.数学教育是培养学生诚信观念主要渠道之一.在数学课上形成诚信观是持久,根深蒂固.前苏联数学家辛钦说:“数学教学一定会慢慢地培养青年人树立起一系列含有道德色彩特征,这种特征中包含正直和老实.”69数学文化与数学教育第69页数学教育价值再次,数学是思想体操.进行数学推导和演算是锻炼思维智力操.这种锻炼能够增强思维本事,提升抽象能力、逻辑推理能力和辨证思维能力,培养思维灵活性和批判性.思维灵活性表现在不受思维定式束缚,能快速地调整思维方向,善于从旧或传统思维轨道上跳出来,另辟蹊径.数学中一题多解是培养思维灵活性有效路径.思维批判性指,对论证和解答提出自己看法.数学中惯用反证法和结构反例是思维批判性详细表现.数学不但仅是一个工具,它更是一个人必备素养.它会影响一个人言行、思维方式等各个方面.

70数学文化与数学教育第70页数学教育价值一个人,假如他不是以数学为终生职业,那么他数学素养并不只表现在他能解多难题,解题有多快,数学能考多少分,关键在于他是否真正领会了数学思想,数学精神,是否将这些思想融会到他日常生活和言行中去.日本米山国藏说:“我搞了多年数学教育,发觉学生们在初中、高中接收数学知识因毕业进入了社会后,几乎没有什么机会应用这些作为知识数学,所以通常是出校门不到一、两年就很快忘记了.然而,不论他们从事什么业务工作,惟有深深铭刻于头脑中数学精神,数学思维方法、研究方法和着眼点等,都随时随地发生作用,使他们受益终生.”71数学文化与数学教育第71页数学教育价值

自然科学作为“关于自然现象有条理知识”,作为“对于表示自然现象各种概念之间关系理性研究”,数学为此提供了不可或缺方法、语言、基础;一样地,社会科学数学化最少包含以下几个方面:“一是在研究方法和伎俩上,能够成功地应用数学理论和数学方法;二是在认识和思维方式上,更多采取数学观点和数学态度去审阅各种社会现象,考查社会问题,揭示社会科学研究对象本质;三是社会科学研究应从数学及其相关研究,尤其是从数学哲学、数学文化中吸收有益养料,这主要是社会科学思想数学化;四是社会科学数学化并不排斥、拒绝或替换必要定性研究,而是与之有机结合起来”[1].72数学文化与数学教育第72页数学文化教育价值这里仅举一例:美国教授道恩斯教授从浩瀚书海中,选择了从文艺复兴到20世纪中期出版16本自然科学和社会科学方面专著,并被定名为“改变世界书”,其中就有10本直接应用了数学,它们是《:天体运行》(哥白尼)《、血液循环》(哈维)《、自然哲学数学原理》(牛顿)《、物种起源》(达尔文)、《相对论原理》(爱因斯坦)、《常识》(潘恩)、《国富论》(亚当、斯密)、《人口论》(马尔萨斯)、《资本论》(马克思)、《论制海船》(马汉);假如从间接应用数学来讲,这16本书无一例外.73数学文化与数学教育第73页数学文化教育价值能够教会育种学家怎样最有效地进行试验”,还“能够因地