矩形和菱形练习或复习用市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

特殊平行四边形

——矩形和菱形第1页

矩形：一．课内知识回顾：

1．矩形特征：边：对边平行且相等；

AB//DC,AB

DC，AD//BC，AD

BC．角：四个角相等，都等于90°；∠A

∠B

∠C

∠D

90°对角线：对角线相互平分且相等；

AO

CO，BO

DO，AC

BD．对称性：既是轴对称又是中心对称图形．ODCBAABCD第2页2．矩形识别方法：有三个角是直角四边形是矩形；对角线相等且相互平分四边形是矩形；有一个角是直角平行四边形是矩形；对角线相等平行四边形是矩形．3个条件1个条件2个条件第3页3．与矩形相关三角形：注意：当边AB等于对角线AC二分之一时，矩形中出现三角形都是特殊三角形（含30°角直角三角形、等边三角形、含120°角等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA第4页

利用矩形对角线特征，能够得到下面结论：直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一．如图：△ABC中，∠ABC

90°，点O是AC中点， 则BO

AC．OACB第5页二．矩形知识应用举例：[例1]在矩形ABCD中，直线DE是△DCE与△DFE对称轴，若矩形与四边形ECDF周长差是4，且四边形ECDF周长是8，(1)求矩形ABCD周长与面积;(2)直线FE与矩形ABCD有什么关系？分析:

要想由条件得到图形中E、F分别是BC、AD中点，先判断出△DCE与△DFE是等腰直角三角形是处理问题关键；矩形与四边形ECDF周长差实际就是AF与BE和；EF垂直平分AD可发觉直线EF是矩形一条对称轴．FEACBD213第6页解：∵矩形ABCD中，

ADC

C

90

，AB

DC，ADBC又

DCE与DFE关于直线DE对称∴1

2

3，四边形ECDF中，∵CD

CE周长为8，EC

CD

DF

FE

2

DFE

90

∴AD

FD

BC

EC即AF

BE矩形ABCD周长四边形ECDF周长AF

BE

4∴AF

BE

2∴矩形ABCD中，AD

4，AB

2∴矩形ABCD周长2(AD

AB)12矩形ABCD面积AD

AB

4

2

8FEACBD213第7页[例2]已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE度数．

分析：由矩形特征及条件不难发觉△OAD是等边三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形特征就能够使问题得以处理．ABCDEO第8页解∵矩形ABCD∴AC

BD

AD

OD

ADC

90

∵DE平分ADC

BDE

15

∵ADO

ADE

BDE

45

15

60

∴OAD为等边，

BOC

AOD

60

AD

AO

DAO

60

又DAE

90

∴ADE为等腰Rt

AE

AD∴OAE

90

60

30

AO

AE

ABCDEO第9页[例3]

已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB延长线交DF于F点．请猜测：BF与AC数量关系，并说明理由．

分析：因为矩形ABCD中，AC

BD，BF与AC数量关系实质就是BF与BD数量关系,由位置可经过角关系得到．让我们先来分析一组图形：

ABCDEFo325610Q第10页BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BF

AC由位置关系可知应经过角关系得到。与之相关Rt

ABC三角形中有斜边上高和中线，Rt

ADC中有中线和角平分线，这么不论从哪个Rt

入手，利用基本图形中提供。第11页[例4]在矩形ABCD中，AB

6，BC4，E是AB上一点，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、CF能够看作是

DEC底和高，因为可求，所以EC边上高可求。FEDCBA第12页解答：连DE∵矩形ABCD，且AB

6，BC

4∴S矩形

6

4

24又∵AB//DC∴∵DF

EC于F∴∵EC

5∴FEDCBA第13页[例5]有一块方角形钢板以下列图所表示，请你用一条直线将其分为面积相等两部分．（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）

第14页分析：因为矩形对角线交点就是它对称中心，所以经过对称中心任意一直线都会将矩形分成两部分仍是关于中心对称图形，与面积相等，所以有：只要将图形化为两个矩形和或差，作出经过两个图形对称中心直线即可。第15页[例6]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PE

PF值．当点P在AD上移动时，其它条件不变，PE

PF值会改变吗？OPFEDCBAQ第16页分析：分别求PE、PF困难。由已知得矩形面积，而可知。因为

AOD是等腰

，联想“等腰

底边上任意一点到两腰距离和等于腰上高”这一性质，因为对角线已知，即等腰

可知，由面积就可求出腰高。问题得解。解：过D点作DQ

AC于Q∵矩形ABCD中，AB

3，AD

4∴S矩

3

4

12又∵AC与BD相互平分OPFEDCBAQ第17页∵连OP∴DQ

PE

PF

∵AC

BD

5

由在其它条件不变情况下,因为不论P点在AD上怎样移动，它到等腰

AOD两腰距离之和永远等于OA上高，所以PE

PF值不会改变。OPFEDCBAQ第18页[例7]

如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN//BC．设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？为何？（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你结论？FENMOCBA第19页

分析与解答：（1）因为CE、CF分别是角平分线，所以有

ECF为直角，又因为MN//BC，所以

OEC与OFC均为等腰

，即OE

OC，OF

OC，故O是EF中点。（2）因为

ECF为90

，只要四边形AECF为平行四边形，则四边形AECF就为矩形。而（1）已知O是EF中点，只需O是AC中点即可，故点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。FENMOCBA第20页菱形一．课内知识回顾：1．菱形特征：边：对边平行且四条边相等；

AB//DC,AD//BC，AB

DC

AD

BC．角：对角相等，邻角互补；∠A

∠C，∠B

∠D∠A

∠B

180°，……对角线：对角线相互垂直平分；AO

CO，BO

DO，

AC⊥BD．每条对角线平分一组对角∠ADB

∠CDB,……对称性：既是轴对称又是中心对称图形．BDACDACOB第21页2．菱形识别方法：四条边相等四边形是菱形；对角线相互垂直平分四边形是菱形；有一组邻边相等平行四边形是菱形；对角线相互垂直平行四边形是菱形．2个条件1个条件3个条件第22页3．与菱形相关三角形：注意：当边AB等于对角线BD时，菱形中出现三角形都是特殊三角形（含30°角直角三角形、等边三角形、含120°角等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD第23页利用菱形对角线特征，能够得到菱形面积另一个求法：如图l1、l2分别是菱形两条对角线，有S菱形=l1l2l2l1第24页二．菱形知识应用举例：[例1]已知:菱形两条对角线差等于3.2cm，它们比为1:2.求:菱形面积．

第25页[例2]已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A，且边长相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD度数．分析：抓住菱形和正

都是轴对称图形且边长相等这一特征，可得

ABM为等腰

，利用底角与顶点及菱形相邻两角数量关系可将问题得以处理。ABCDMN第26页 解：∵菱形ABCD及等边

AMN关于AC对称 ∴

BAM

DAN 又∵菱形和等边

边长相等 ∴在

ABM中有AB

AM，设

BAM为x

，则

BAD

2x

60

∵AD//BC∴ 即 解得x

20

∴

BAD

2x

60

100

ABCDMN第27页[例3]

已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AB

AE，∠EAD

2∠BAE．求证：BE

AF．分析：线段BE和AF在位置上没有特殊关系，应考虑等量代换，所以应从角关系入手找到BF和AF中间量ABCDEF第28页解答：

∵菱形ABCD∴AD//BC∴

EAD

AEB ∵AB

AE∴

ABE

AEB 又∵

EAD

2

BAE又BD平分

ABC 即

ABF

EBF ∴

BAE

ABF∴AF

BF ∵

BFE

BAF

ABF

2

BAE ∴

BFE

BEF∴BF

BE∴BE

AFABCDEF第29页[例4]已知：如图，△ABC中，∠BAC

90°，AG、BD分别是高线和角平分线，且交于E，FD⊥BC于F，连EF．求证：四边形AEFD为菱形．ABCDGEF第30页

分析：若要判断四边形AEFD为菱形，可先证实四边形AEFD为 因为AG是

ABC高，DF

BC，故AE//DF，只好再寻找一个条件。ABCDGEF第31页[例5]已知：如图，分别以△ABC各边为边，在BC边同侧作等边△ABE、等边△CBD和等边△ACF，连结DE、DF．问：当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形、菱形．FEDCBA第32页

分析与解答：从图形中可分析出：

EBD与

ABC是绕B点旋转对称图形，有ED

AC

AF，同理AE

DF，所以四边形AFDE为平行四边形，

ABC形状对这个四边形有影响，当

EAF

90

时，AFDE为矩形，此时

BAC

360

90

2

60

150

，即

ABC中