第4讲-数学建模思维省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第四节数学建模

上海立信会计学院邓桂丰gfdeng@1/401.引言

2.数学模型3.模型构建

4.模型构建迭代性质2/40我们想了解现实世界中一些行为或现象，希望对该行为与现象未来做出预测并分析各种处境对该行为影响。观察到行为或现象模型、数学运算以及规则、数学结论数学建模数学世界图1：现实世界与数学世界现实世界1.引言

3/40获取相关现实世界结论方法：注：创建了初略模型，应用适当数学分析导出相关结论。注意到这些结论只属于该模型，而不属于所研究真正实际系统。考虑到在构建模型时做了一些简化以及基于模型观察误差和局限总是会有，所以，在做实际行为任何推断之前，必须仔细考虑这些异常。实际行为模型数学结果现实世界结论观察、简化分析解释试验图24/40对照上述认知方式有以下粗略建模过程：给定某个实际系统，搜集足够数据来形成一个模型。其次分析该模型并得到相关该模型数学结论。然后说明该模型并做出预测或提供解释。最终，对照着新观察和数据，检验相关实际系统结论。实际问题数据模型数学结论实际预测或解释简化分析解释说明验证图3：作为封闭系统建模过程（粗略步骤）5/40系统：由一些有规律相互作用或内在依赖关系联结在一起对象集合体。数学模型：为了研究特定实际系统或现象而设计数学结构，图示、符号、模拟和试验结构都包含在内。感兴趣现象数学表示行为重复模型构建模型选择试验模拟图4：模型大致区分（按研究方法）2.数学模型6/40有些数学模型专门来构建研究一个特定现象。有些现有数学模型与某个特定实际现象是一致。从而能够用来研究该现象。有些问题过于复杂，或者问题包括原因众多，我们试图经过做各种试验性试验来直接重复该行为，在试验中搜集数据并在此基础上用统计和曲线拟合方法，可能得到一些结论。在其它情形中，我们可能试图间接地复现该行为。比如飞机设计中风洞试验、模拟种群相互作用及污染全局影响等。7/40模型三个性质：8/40模型三个性质：

保真性：模型表示现实准确性；9/40模型三个性质：

保真性：模型表示现实准确性；成本：建模过程总费用；10/40模型三个性质：

保真性：模型表示现实准确性；成本：建模过程总费用；灵活性：当搜集到了所需要数据时，改变和控制影响该模型很多条件能力。11/40模型三个性质：

保真性：模型表示现实准确性；成本：建模过程总费用；灵活性：当搜集到了所需要数据时，改变和控制影响该模型很多条件能力。实际观察试验模拟构建模型选择模型保真性12/40模型三个性质：

保真性：模型表示现实准确性；成本：建模过程总费用；灵活性：当搜集到了所需要数据时，改变和控制影响该模型很多条件能力。实际观察试验模拟实际观察试验模拟构建模型构建模型选择模型选择模型保真性成本13/40模型三个性质：

保真性：模型表示现实准确性；成本：建模过程总费用；灵活性：当搜集到了所需要数据时，改变和控制影响该模型很多条件能力。实际观察试验模拟实际观察试验模拟模拟试验构建模型构建模型构建模型选择模型选择模型选择模型现实世界保真性成本灵活性图5：各类模型之间比较14/40在上述讨论中我们把建模看作一个过程而且简明考虑了模型形式及特点。下面致力于数学模型构建介绍，结合一个简单实际问题说明建模各个步骤。3.模型构建例1：车辆停顿距离考虑经常在美国一些司机培训班上给出以下规则：要求正常驾驶条件下车与车之间跟随距离要求是车速每增加10公里每小时，与前车距离应增加一个车身长度。不过在不利天气或道路条件下要有更长跟随距离。做到这一点有一个简便“两秒法则”，即而不论车速怎样，看见你前车经过某一标志开始，默数2秒钟后你才抵达同一标志；假如2秒之前你已抵达，说明你车速太快。很轻易执行上述法则，但该法则有什么好呢？15/40第一步：识别问题(将现实问题表述成数学问题)什么是你要探究问题？通常是困难一步，在现实生活中，没有些人会只是简单地给你一个待处理数学问题。

通常你要从大量数据中搜索以及识别所研究问题一些特定方面；另外，考虑要把描述问题口头陈说“翻译”成数学符号表示，所以在说明问题时要足够准确是十分主要。16/40第二步：做出假设普通来说，不能指望在一个适用数学模型中抓住影响问题识别全部原因。经过降低所考虑原因数目进行化简，再深入假设相对简单关系，就能降低问题复杂性。主要有以下两个方面：对例1分析：我们最终目标是检验这条法则以及在它失灵时提出另一条法则。不过问题陈说------该法则有多好呢？-------是含糊不清。我们需要更多细节并清楚地说明问题，或者提出一个新问题，该问题处理和回答有利于在允许进行更为准确数学分析同时实现我们目标。考虑新问题陈说：预测含有不一样车速车辆刹车总停顿距离。17/40

a.变量分类：什么事情影响到第一步中所识别问题行为？把这些事情作为变量列出来。模型寻求解释变量是因变量，能够有几个因变量。余下是自变量。有两个理由忽略一些自变量。

（1）这个变量影响可能相对较少；（2）以几乎相同方式影响各种选择原因可能能够忽略，可能融入到另一个分开改进模型原因中。

b.确定研究中所选择变量之间相互关系：在经过上述简化后，可能问题还过于复杂。在这种情况下要研究子模型，即分别研究变量中一个或几个，最终再把子模型合在一起。18/40对例1分析：假设总停顿距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车时刻到真正刹车时刻期间车辆所走过距离。刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停顿所滑行距离。19/40对例1分析：假设总停顿距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车时刻到真正刹车时刻期间车辆所走过距离。刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停顿所滑行距离。反应距离=f(反应时间，速率)20/40对例1分析：假设总停顿距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车时刻到真正刹车时刻期间车辆所走过距离。刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停顿所滑行距离。反应距离=f(反应时间，速率)反射本能个体驾驶原因警觉程度反应时间能见度……车辆操作系统21/40对例1分析：假设总停顿距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车时刻到真正刹车时刻期间车辆所走过距离。刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停顿所滑行距离。反应距离=f(反应时间，速率)反射本能个体驾驶原因警觉程度反应时间能见度……车辆操作系统刹车距离（影响原因）：车重、车速、制动器作用力、车胎类型和状态、道路表面情况、天气条件……22/40对例1分析：假设总停顿距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车时刻到真正刹车时刻期间车辆所走过距离。刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停顿所滑行距离。反应距离=f(反应时间，速率)反射本能个体驾驶原因警觉程度反应时间能见度……车辆操作系统刹车距离（影响原因）：车重、车速、制动器作用力、车胎类型和状态、道路表面情况、天气条件……

刹车距离=h(车重，车速)23/40第三步：求解或解释模型对例1：反应距离dr=tr∙v（tr:反应时间，v：速度）再考虑刹车距离，那就要考虑刹闸基本原理。假定慌慌张张地停车在整个停车过程中作用是最大刹车力F。刹闸基本上是一个能量---耗散设备，即刹闸作用在车辆上使之损失部分动能而造成速度改变。刹闸所做功是力F与刹车距离ds乘积。这个功等于动能改变m∙v∙v/2。即ds与速度v∙v平方成正比。这就需要实际观察数据来验证与确定刹车距离子模型，这就过渡到下面第4步。24/40对第三步评述：经常会发觉为完成这一步，可能会得到一个不会求解或不会解释难于处理模型。碰到这种情形，应该回到第2步并做出另外简化假设。有时甚至要回到第1步去重新定义问题。这一点将会在下面建模迭代性质中讨论中深入说明这一点。第四步：验证模型

在能够应用该模型之前，必须检验该模型。在设计这些检验与搜集数据之前要问几个问题。第一：该模型是否回答了第一步中识别问题，或者是否偏离了我们构建该模型关键问题？

25/40第二：该模型在实用意义下有用吗？第三：该模型有普遍意义吗？

一旦经过了上述常识性检验，就要利用由经验观察得到实际数据来检验模型。更确切地来说，经过搜集到得数据来证实模型合理性。关于从任何检验中得出结论都要小心。尤其地，不能从搜集到特殊数据来推出广泛普通结论。第五步：实施模型26/40

模型做出来是来用，且要用决议者和用户能懂术语来解释模型是否对他们有用。再加上额外一步，即为推进运作模型所必须数据搜集和输入，往往决定了模型成败。对例1分析：在求解和验证模型基础上，为了真正处理这个实际问题。我们要提出另一个易于了解和使用经验法则。我们得到了关于总停顿距离d模型：d=1.1v+0.054v∙v

经过计算得到：速率（英里/小时）指示时间（秒）0−10110–40240–60360–704

27/40第六步：维修模型模型从第一步识别特定问题和第二步所做假设推导出来。原先问题会有任何改变吗？一些先前忽略原因会变得主要吗？子模型中一个需要调整吗？

上述六步构建模型过程就像任何模型那样，只是一个近似过程因而含有不足。在实际中极少将建模过程看成是由造成有用结果离散步骤组成。我们先谈谈该过程方法论优点。

下面我们就将构建数学模型步骤总结成一张表，结合表来谈优点。28/40第1步：识别问题第2步：做出假设a.识别变量并对变量进行假设b.确定变量与子模型之间相互关系第3步：求解模型第4步：验证模型a.表述了问题吗？b.在通常意义下有意义吗？c.用实际数据来检验该模型第5步:实施模型第6步:改进模型29/40上表所表示过程集中了研究问题方法，表达了创造性和建模过程中所用科学研究方法不一样寻常融合。尽管这些步骤包含了一定程度创造技巧，我们还是要学习评定特定变量主要性以及所假设关系准确性科学方法。尤其是建模头两步更具艺术和原创性质，它们包含抽象出问题本质特征，忽略被判定为不主要原因及做出有利于回答由原问题提出议题足够准确关系假设。这些关系必须简单到能够完成后面几步。30/40科学研究方法：第1步对现象做一些普通性观察第2步形成关于现象假设第3步研制检验该假设一个方法第4步搜集用于该检验数据第5步利用数据来检验假设第6步必定或拒绝该假设建模过程与科学研究方法对比：

31/40两个过程不一样之处：

科学研究方法中搜集证据目标是用来确证模型；建模过程目标是假设一个模型，而不是必定或拒绝该模型（因为所做简化假设，我们知道该模型不是准确）。搜集数据来检验它合理性。我们能够决定该模型是相当满意和有用，从而接收它，或者确定该模型需要改进或化简。在极端情形下，甚至我们能够完全拒绝该模型进而从重新定义问题。这种决定过程实际上组成了数学建模关键。两个过程相同之处：两个过程都包含假设、搜集实际数据以及用数据来检验或验证该假设。所以建模过程中即使一部分是艺术，但只要可能还是试图科学地客观地处理问题。32/40图6：模型构建迭代过程4.模型构建迭代性质考查该“系统”识别行为和做出假设你能形成一个模型吗？你能求解该模型吗？确证该模型结果够准确吗？做出预策、解释把结果用于该问题退出不能，简化不能，简化能能是不，改进33/40最终介绍几个关于模型术语：一个模型称为健壮（robust），指是其结论并不依赖于准确地满足其假设；反之，我们称这个模型为脆弱（fragile）。敏感性（sensitivity）是指当模型结论所依赖某个条件改变时模型结论改变程度；改变越大，则该模型对该条件敏感性越大。关于模型改进与简化过程对照比较：模型简化模型该进1.限制问题识别1.扩展问题2.忽略一些变量2.考虑额外变量3.若干变量合并效果3.仔细地考虑每一个变量4.令一些变量为常数4.允许一些变量改变5.假设简单（线性）关系5.考虑非线性关系6.融入更多假设6.降低假设数量34/402.4

汽车刹车距离美国一些司机培训课程中驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车距离应增一个车身长度。实现这个规则简便方法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后抵达同一标志，而不论车速怎样判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更加好驾驶规则。35/40问题分析常识：刹车距离与车速相关10英里/小时(

16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(

9米)>>车身平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不一样刹车距离反应时间司机情况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数