北师大集对分析与不确定性市公开课一等奖省赛课获奖课件

向北京师范大学师生学习致敬

晚上好第1页赵克勤

浙江大学非传统安全与和平发展中心集对分析研究所，310058

诸暨市联络数学研究所311811

集对分析与不确定性

UncertaintyandSetpairanalysis

第2页内容提要1，三次数学危机引出不确定性问题2，联络数与集对分析两个理论3，一个新起点第3页数学从危机中走来

先后经历了3次危机

横跨多年时空第4页第一部份三次数学危机与不确定性第5页第1次数学危机公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他一个学生考虑了以下问题：边长为1正方形其对角线长度是多少？结果发觉这一长度既不能用整数也不能用分数表示，而只能用√2表示，诞生了第一个无理数,也造成了人们认识上危机，史称“第1次数学危机”。第6页第1次数学危机告诉我们：

确定中有不确定1“有理”中有“无理”.111√2第7页第1次数学危机告诉我们：

确定中有不确定请回答：问题1，无理数能够称不确定数吗？2，为何确定中有不确定？第8页第2次数学危机十七世纪初，微积分诞生，当初微积分理论建立在无穷小分析之上，但什么是无穷小，无穷小量是不是零？无穷小分析是否合理？谁也说不清，由此引发数学界长达100多年争论，直到19世纪初，一些数学家才致力于微积分严格基础建立，这一争论，史称“第2次数学危机”。第9页第2次数学危机告诉我们：无穷小含有不确定性第10页请回答：问题3，无穷小不确定来自哪里？4，ε－δ语言无懈可击？第11页第3次数学危机十九世纪下半叶，德国数学家康托尔（GeorgCantor,1845-1918）创建了集合论，开始时遭到许多人攻击，但最终为大家所接收。数学家们发觉，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，集合论因而成为当代数学基石。

第12页罗素悖论但在1903年，英国数学家罗素（bertrandrussell,1872-1970）结构了一个集合S：S由一切不是本身元素所组成集合。然后罗素问：S是否属于S？依据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于这个集合。所以，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义。就如我们问：我们自己是否属于自己？。第13页两难境地对罗素问题回答会陷入两难境地：假如S属于S，依据S定义，S就不属于S；反之，假如S不属于S，一样依据定义，S属于S，不论怎样都自相矛盾。第14页罗素举了一个例子：剪发师悖论

村上一个剪发师贴出服务公告，宣称他为全部不为自己剪发人剪发（设这些人组成集合A），那么，剪发师自己头该由谁剪发？假如他不为自己剪发，那么，剪发师属于A；但这么一来，剪发师就不能给自己剪发了，也就不能属于A，那么，剪发师自己头究竞该由谁剪发？第15页“羊群中也可能围进了狼”

罗素悖论发觉，说明了作为数学基础集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此显而易见，在结构一个集合时就存在于这个集合中，震动了当初数学界，正如著名法国数学家庞加莱（HenriPoincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼”，史称“第3次数学危机”。第16页100多年来

数学家们围绕集合论中罗素悖论，开展了广泛，长时期激烈争论，纷纷提出自己处理方案，希望能够经过对康托尔集合论改造来排除悖论，形成了逻辑主义、直觉主义、形式主义三大数学流派，促进了当代数学发展。第17页哥德尔不完全性定理美国数学家哥德尔(KurtGödel，1906—1978)于1931年给出证实：任何一个无矛盾公理体系，只要包含初等算术陈说，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说，在同一个包含初等算术形式系统中，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足。第18页哥德尔不完全性定理与集对分析

哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论一个主要思想起源，也是在联络数中设置i理论依据之一。第19页第3次数学危机告诉我们事物确实定性与不确定性对立统一第20页请回答：问题5，罗素悖论给我们哪些启示？6，剪发师悖论中不确定性怎样处置？第21页请回答：问题7，三次数学危机引出共性问题是什么？8，三次数学危机给我们启示又有哪些？第22页怎样客观地认识和处置

确定性与不确定性关系是三次数学危机引出共性问题第23页第1次数学危机启示是

确定（关系）与不确定（关系）是一个确定－不确定系统，单位正方形就是这么一个确定－不确定系统。因为单位正方形边长1是确定，但这个正方形对角线长√2是一个无限不循环小数：一个不能确定数，这一点让人不可思议。第24页第2次数学危机启示是

当一个无穷小趋于零时候，它起始位置与极限位置组成一个集对，无穷小在趋于零过程中，要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶段，其中有量变，也有质变，在什么位置发生质变含有不确定性，需要详细分析。起始→终极同同同同异反→→△x→0第25页第3次数学危机启示是

描述同一个客观事物需要2个集合就如我们需要2只眼睛看东西、2个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只手干活、2条腿走路，而这是大自然设计，也是罗素悖论给我们启示。第26页假如有些人问：集对分析从哪里来？

能够回答：集对分析从3次数学危机中来，是多年来人类探索不确定性一个新思绪。因为第1次数学危机意外地发觉了确定中有不确定，多年后第3次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼”，充分表明不确定性与确定性是天生一对，历经多年风和雨，形影相随不分离.第27页第二部份联络数与集对分析两个理论第28页由罗素悖论导出“集对””（Setpair），在罗素悖论中，假如用一个确定集合A描述不能为自己剪发人，用另一个不确定集合B描述剪发师自己，再用A＋Bi描述剪发师全部服务对象（i表示不确定），即使没有处理剪发师由谁剪发问题，但避开了悖论，也客观地描述了剪发师全体服务对象，从而给罗素悖论和第3次数学危机一个全新解读。这里集A和集B是描述剪发师全部服务对象O（object）所需两个集合，我们称之为“集对”（Setpair,SP），记为O＝（A，B）。第29页集正确定义：集对就是描述同一个事物所需要2个集合。这2个集合能够都是确定集，也能够都是不确定集，也能够1个是确定集，另1个是不确定集。（由两个不确定集组成集对可解读说谎者悖论：“我在说这句话是谎话”。）第30页什么是集对分析？就是分析2个集合确实定性关系与不确定性关系及其这两类关系联络与转化。第31页每个人都是“集对人”，

我们2只眼睛是一个集对、2个鼻孔是一个集对、2只耳朵是一个集对、2只手是一个集对、2条腿是一个集对，从这个意义上说，集对是一个天然概念，我们每个人都是一个“集对人”.第32页每个人都在“集对分析”集对分析是一个自然分析，我们每个人都在“集对分析”.比如我们看到眼前，又看到久远；眼前是确定，久远含有不确定性；我们需要物质，也需要精神；物质是确定，精神含有不确定性；如此等等。第33页由罗素悖论导出二元联络数A+Bi

在集对O=(A,B)中，假如用A表示确定集A基数，用B表示不确定集B基数，用i表示不确定，且在［－1，1］取值，就得到联络数u＝A+Bi，显然，联络数u＝A+Bi是关于对象集O两个映射集合联合函数，是罗素悖论一个数学模型。同时也是集对O＝（A，B）特征函数。又因为u＝A+Bi恰好含有2项，所以也称为二元联络数，简称联络数。第34页数值例子设村上包含剪发师在内共有100人，其中不能为自己剪发有99人，确定属于剪发师服务范围（A=99）；加上剪发师1人不能确定是否属于剪发师服务范围（B=1），于是得联络数A+Bi=99+1i，这个联络数集对意义显然是关于“全部不为自己剪发人”这个对象集O两个映射集合A（确定集）与B（不确定集）基数之联络和。第35页二元联络数在罗素悖论中应用假设在罗素悖论中，一个人剪发价是1元钱，那么当剪发师自己头由自己理时，共收入99+1i（i＝1）＝100元；当剪发师自己头由他人理时，他净收入是99+1i（i＝－1）＝98元；由此看出，引进集正确概念和二元联络数u＝A＋Bi，使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、合理、简明和流利。第36页三元联络数三元联络数U=A+Bi+Cj是集对分析惯用数学工具：其中A是同关系个数（相对确定测度），B是异关系个数（相对不确定测度）、C是反关系个数（相对确定测度），i表示不确定，在［－1，1］取值。第37页三元联络数能够由罗素悖论导出假定村子中原来只有剪发师L1基础上又来了一位新剪发师L2，这么就有L1，L2共2位剪发师，而村子中确定需要剪发师们剪发总人数A不变，则因为2位剪发师在业务上相互竞争，势必把A分成A1(A1>0)与A2(A2>0)2个部份，设A1是由L1剪发人数，A2是由L2剪发人数，站在剪发师L1角度，这时有联络数A1＋Bi＋A2j,j在这里代表A2与A1对立之意。一眼看出：联络数A1＋Bi＋A2j就是站在L1角度同异反三元联络数.第38页多元联络数与罗素悖论依这类推，能够把集对分析中四元联络数、五元联络数……n元联络数分别看作是村子中有3位剪发师、4位剪发师……n－1位剪发师时站在L1角度建立起来用户服务模型。从而说明集对分析中联络数（包含所谓多元联络数）都能够从罗素悖论及其扩展形态导出。第39页

联络数是一个大家族从联络数U=A+Bi+Cj能够导出U=A+Bi(同异型联络数)，U=A+Cj（同反型联络数），U＝Bi+Cj（异反型联络数），U=A+Bi+Cj＋Dk（四元联络数），U=A+Bi+Cj＋Dk＋El(五元联络数)……等多元联络数，以及联络数各种伴随函数，如偏联络数，邻联络数，态势函数，势函数，复联络数，2次联络数，屡次联络数，多阶联络数等等。所以，联络数是一个大家族。第40页集对分析理论之一：

不确定性系统理论（UST）联络数用数学语言给出了一个基于集对分析主要理论：不确定性系统理论（Uncertaintysystemtheorybasedonsetpairanalysis）。关键点（mainpoints）有：第41页UST－1：同一对象确实定性关系与不确定性关系是一个不确定性系统

同一个研究对象相对于给定参考集确实定性测度a与不确定性测度b是一个不确定性系统,联络数a+bi既是这个系统数学模型，本身也是一个系统。在这个系统中，确定性测度与不确定性测度相互联络、相互影响、相互制约（a+b＝1，i∈［－1，1］）而且在一定条件下相互转化。第42页UST－2：不确定性系统含有层次性.不确定性系统中确实定性与不确定性含有层次性.在a+bi中，首先把a看作处于宏观层，bi处于微观层；当把a、b都看作处于宏观层时，i处于微观层；当对bi作分解时，bi处于宏观层，b1i1，b2i2，…bnin处于微观层；因为i∈［－1，1］，所以也能够把i看作处于宏观层，i2，i3…处于微观层；不但如此，而且a也能够由不一样层次a1等a2，…an组成。第43页UST-3：确定性与不确定性在一定条件下相互转化不确定性系统中确实定性与不确定性能够在一定条件下相互转化.比如在二元联络数a+bi中，经过对a分解，分解出在屡次观察分析中相对稳定a1、a2；和相对不太稳定an-1、

an，并计入b1i1，而把b1i1，b2i2，…bnin中bnin标为cj(j=-1).第44页UST-4:确定性与不确定性相互作用不确定性系统中确实定性测度a与不确定性测度b存在相互作用（物理原理）.相互作用值r计算公式：r=(a2+b2)1/2不确定性测度b

a

r

确定性测度X第45页UST-5：不确定性系统省略性描述只有在忽略不计不确定性情况下,才能用一个确定实数a描述不确定性系统，如在μ=a+bi中,只有不计bi这个不确定部份,才能依据a大小、a改变、a实际内涵作出分析和得到结果.轻易看出,因为这种分析是在忽略不计不确定性情况下进行,所得到结果仍将含有一定程度不确定性、不完整性与不可靠性.第46页UST-6：n次不确定性;把a+bi自乘n次,将得到关于bin次幂,这说明存在着一次不确定性、二次不确定性⋯n次不确定性;同时也说明稍微复杂一点不确定性系统是非线性系统。但因为它们相对于确定性而言都能够看作是一次不确定性,有时也能够在不计不确定性次幂条件下有i=i2=i3=⋯=in第47页UST-7：概率不完全性经典概率统计理论中概率仅仅与联络数a+bi中同一度a等价，因而是一个不完全概率.经典概率统计理论能够在集对分析基础上进行扩充,当前这方面工作还处于研究之中。第48页UST-8：含糊隶属度不完全性含糊集理论中隶属度也仅与联络数中同一度a等价.它仅指明所研究对象属于给定参考集程度能够确定一面,而忽略了所研究对象属于给定参考集程度不确定一面.因而是一个不完全隶属度;含糊集理论能够在集对分析基础上进行扩充和发展.第49页UST-9：区间数能够转换为联络数区间数X=［x-,x+］能够转换成联络数X’=a+bi，只要令a＝（x-＋x+）/2，b＝x+－ai∈[-1,1]利用i在[-1,1]遍历性和不确定性，能够还原出区间数遍历性和不确定性，并依据前面确实定性与不确定性相互作用原理（ust-4）,在区间数中找出相互作用点，研究表明，这个相互作用点对于区间数有相当代表性。第50页UST－10：联络熵对n个联络数a+bi求熵,得到同熵anLnan、异熵ibnLnbn、由此说明熵能够度量不确定性系统中相对明确不确定性,如异熵ibnLnbn;也能够度量不确定性系统中相对确定性所含有不确定性，如同熵anLnan、同熵和异熵也组成一个熵系统,称之为联络熵。第51页

UST-11：D—U空间（determinate

uncertaintyspace）.

以确定性测度为横坐标X，以不确定性测度为纵坐标Y所组成直角坐标系XOY所展示空间，集对分析把这个二维空间称为D—U空间UD二维D－U空间第52页UST-11：D—U空间中点、线、面D—U空间中点是一条线段.见图示。由此推知D—U空间中线段将是一个平面。UD(a1,b1)(a2,b2)D－U空间中点第53页UST-12：不确定量数学是研究量科学。联络数刻划是什么性质量？集对分析认为是一个不一样于常量和变量“不确定量”。这三种量区分如表所表示。宏观微观例子常量确定确定圆周率变量不确定确定速度不确定量确定不确定概率第54页不确定性系统理论主要参考文件赵克勤，集对分析不确定性系统理论在AI中应用，智能系统学报，，1（2）：16－23（能够在《智能系统学报》网站（）无偿下载），以及这篇文章之后3篇论文（分别在智能系统学报年第5期，年第6期，年第1期）及其它相关文件。第55页同异反系统理论(IDCT)关键点1同异反系统是原象系统一个抽象系统。在罗素悖论中，L1，A，L2组成一个原象系统，含有同异反特征（L1与L2是竞争对手，A处于L1与L2之间）；A1，B＝2，A2组成一个抽象系统。第56页同异反系统理论(IDCT)关键点2同异反系统含有层次性,层内可展开，层间可转化同异反系统同异反同中之同同中之异同中之反异中之同异中之异异中之反反中之同反中之异反中之反同异反同异反系统第57页同异反系统理论(IDCT)关键点3存在5种类型“反”，正负型：(1,-1)，有没有型：（1，0）倒数型：（K，1/K）例：电阻与电导互为倒数虚实型（i1/2，

k）互补型（a,1-a）因而存在5种类型同异反系统.第58页同异反系统理论(IDCT)关键点4

无限可分性从理论上说,同异反系统含有没有限可分性,如关键点3中同异反系统图能够无限制地不停展开。但实际同异反系统可能是有限,原因是实际同异反系统存在“同、异、反”“最小颗粒。第59页同异反系统理论(IDCT)关键点5

叠加性.对N个同异反系统作叠加、交叉、嵌套、加权等变换,所得系统仍是同异反系统.第60页分形性.同异反系统每个子系统各自都能够分出“同、异、反”。同异反系统理论(IDCT)关键点6第61页同异反系统理论(IDCT)关键点7同异反系统状态及其态势,由联络数中同异反联络分量大小关系刻划.也称为同异反态势函数。对于展开后同异反系统,其同异反系统态势排序规模庞大。第62页同异反系统理论(IDCT)关键点8同异反系统是含有潜在发展趋势系统,其发展趋势用一阶或多阶偏联络数刻划。以u=a+bi+cj为例，其一阶偏联络数为∂a=a/(a+b)，∂b=b/(b+c)，∂u=∂a+(∂b)i=a/(a+b)+i

b/(b+c)第63页同异反系统理论(IDCT)关键点9利用同异反系统理论解不确定数i.原理是：把同异反联络数从u(t0)到u(t1)改变看作是i改变所至。第64页同异反系统理论(IDCT)关键点10设定目标，并采取适当调控办法，使同异反系统得到优化，其特点是同时从确定和不确定方面优化。比如给定产品质量目标是合格品率（a）越大越好，则有两条路径，一是降低报废率（c）,二是分解不良品率（b）。第65页同异反系统理论(IDCT)关键点10同异反预测：正常条件下预测异常条件下预测反常条件下预测或不一样预测方法同异反优化加权组合。第66页集对分析二大理论关键思想

把系统不确定关系与确定关系作为一个同异反不确定性系统来进行数学处理。

第67页集对分析处理不确定性16字诀客观认可（设置i）系统描述（用系统描述系统）定量刻划（联络数）详细分析（类型，主次，层次）第68页第三部份：一个新起点

第69页数学一个新起点这是因为：集合论是当代数学基础，集对分析把集合论提升为集对论，意味着数学有了一个新起点。比如前面提到“不确定量”就是一个与常量、变量不一样一个新量：联络数是描述这种“不确定量”，（“不确定变量”）一个有效数学工具。第70页不确定量与常量、变量关系层次宏观微观例子常量(K)确定确定1变量（X）不确定确定自由落体速度不确定量（i)确定不确定粒子动量超不确定量不确定不确定随机不确定量第71页为概率论、含糊理论、区间数理论、复变函数、实变函数等提供了共同表示形式。第72页系统科学一个新起点因为集对恰好是由两个要素组成一个元系统。集对理论客观上是系统科学一个基础理论。第73页哲学一个新起点集对分析第一篇论文是发表在1988年第10期自然辩证法报上，赵克勤《自然辩证法有数学模型吗》一文。表明集对分析为哲学研究，尤其是自然辩证法提供了一个新数学语言。第74页管理科学一个新起点管理科学是研究人与人之间关系一门学科，而人与人之间关系除了一些可确定关系（如母子关系、师生关系、同学关系）外，还有不确定关系（如利益关系、往来关系等），以致于团体效应有和尚效应（三个和尚没水喝，“（1＋1＋1）<3”）与皮匠效应（三个皮匠抵个诸葛亮，“（1＋1＋1）>3”）之分，利用联络数A＋Bi能够为不一样团体效应建立统一数学模型3＋6i.第75页集对分析与物理学关系亲密不确定量是基于测不准原理一个量。集对分析中成对原理（“一个巴掌拍不响”）与玻尔互补原理异曲同工。UST中确实定性与不确定性相互作用原理与力相互作用原理如出一辙。三原色与同异反。联络数与量子。集对论中相对论。场论与集对分析中联络场，等等。第76页假如说宇宙起源于某个奇点大爆炸那么，集对这个新起点给我们展示出一个新辽阔天地。第77页集对分析已广泛应用据在中国知网学术文件库中用关键词：集对分析，准确检索，已经有1300多篇论文，其中博士硕士学位论文300多篇，被SCI、EI、MR检索论文100多篇。这当中，也有我们北师大师生所作贡献，尤其是杨晓华教授所作贡献，在此向北师大师生，尤其是杨晓华教授致以我敬意。

第78页发表集对分析论文学术期刊有《中国科学》、《中国工程科学》、《气象学报》、《电子学报》、《地理学报》、《中国电机工程学报》、《自动化学报》、《兵工学报》、《水利学报》《工程设计学报》、《工程数学学报》、《生物数学学报》、《智能系统学报》、《作物学报》、《中西医结合学报》、《系统工程学报》、《铁道工程学报》、《飞机设计》、《系统工程与电子技术》等300多家。第79页发表集对分析论文大学学报有《浙江大学学报》《上海交通大学学报》《四川大学学报》《北京航空航天大学学报》《北京体育大学学报》《北京工业大学学报》《西安交通大学学报》、《哈尔滨工业大学学报》、《海军工程大学学报》、《空军工程大学学报》、《中山大学学报》等160多家高校学报。第80页论文作者有中科院院士，中国工程院院士，更多是年轻科技人员和大专院校师生，包含浙大、清华、北大、复旦博士和硕士硕士和他们导师。第81页先哲有言：地上本没有路，走人多了，也就有了路。第82页已出版集对分析专著5本

赵克勤《集对分析及其初步对应用》浙江科技出版社，，沈定珠《体育用联络数学》中国教学文化出版社，王文圣等《水文水资源集对分析》科学出版社，刘保相《粗糙集对分析理论与决议》科学出版社，郭瑞林《同异育种理论与方法》农业科学技术出版社，第83页赵克勤《集对分析及其初步对应用》浙江科技出版社，，集对分析第一本专著，需要此书同学请到杨老师这里登记第84页

王文圣等《水文水资源集对分析》，科学出版社，

第85页第86页出版集对分析论文集2本赵克勤、曹鸿兴《集对分析与界壳论研究与应用》气象出版社，赵克勤、米虹《非传统安全与集对分析》知识产权出版社，

第87页召开集对分析学术会议10＋6单独召开10次：1995苏州（第1次全国集对分析学术会议）1996吉林，1997赣州1998江西龙虎山，1999舟山，杭州，大连，年起与中国人工智能学会学术会同开；安阳，浙大，上海.第88页年在浙江大学召开第9届集对分析年会，纪念集对分析提出20年，同时成立了浙江大学非传统安全与和平发展中心集对分析研究所第89页集对分析→联络数学→联络科学

联络数学是以联络数为运算单位数学，联络科学侧重于学科间同异反研究。

集对分析

联络数学

联络科学第90页恰同年少，风华正茂

集对分析提出到现在20多年，恰似在座各位，在学习、在成长、在发展，风华正茂。

第91页让我们共同努力，携手创新

为21世纪科学宝库增添我们中华民族光芒，增添我们在座各位光芒。第92页

谢谢杨晓华教授

谢谢各位第93页问题简答1无理数不确定性表示2无穷小与无穷大不确定性第94页小概率后面大补数存在不确定性假如用0≤P（A）minmin≤1表示随机事件A发生概率非常非常小，那么1－P（A）minmin就非常非常大，不妨记为[1－P（A）minmin]maxmax，于是，按集对分析，事件A发生全概率应该用联络数Pcn（A）表示，Pcn（A）＝P（A）minmin＋[1－P（A）minmin]i，当i取1时，Pcn（A）＝1，表明事件A发生；所以集对分析强调要高度关注小概率后面大补数存在不确定性，它随时都有可能把前面小概率转化为1.第95页联络数化概率是确定不确定统一依据概率论，随机事件A发生概率P（A）表达出频率稳定性，是对随机事件A不确定性确实定性描述；依据集对分析，[1－P（A）minmin]i是对随机事件A不确定性不确定性描述，所以Pcn（A）＝P（A）minmin＋[1－P（A）minmin]i是对随机事件A发生是否确实定－不确定双重描述，也就是用2个集合描述了同1个事件。联络数化后概率客观地、全方面地反应出随机不确定本质。它提醒人们，对于随机事件，千万不要被“小概率原理”所迷惑，唯如此，我们驾驶员才能坚持安全第1，我们政府决议者才会对地震预防高度重视。第96页借此机会请允许我代表中国人工智能学会集对分析联络数学专业筹备委员会和到会全体集对分析学人，向多年来深入系统研究和应用集对分析理论并取得卓著成绩学者们致敬，向多年来一如暨往大力支持集对分析联络数学事业不停克服困难、不停推向前进志士同仁和相关部门致敬；尤其是要向全力资助此次会议浙江大学非传统安全与和平发展中心，向中心主任、博士生导师余潇枫教授致以高尚敬意和衷心感激，向辛劳于这次会务陈立影老师和中心其