【数学】计数原理单元练习1-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第六章计数原理1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．120种2．甲、乙两位同学从5本不同的课外读物中各自选读1本，则这两人选读的读物不同的选法有（

）A．9种 B．10种 C．15种 D．20种3．展开式中项的系数为（

）A． B． C． D．4．在的展开式中，若项的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．5．若（）且，则展开式的各项中系数的最大值为A．15 B．20 C．56 D．706．的展开式中的系数为（

）A． B． C．28 D．567．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（

） B． C． D．8．已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（

）A． B． C． D．二、多选题9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种10．若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．下列等式正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题12．在的展开式中，x的系数为.13．在展开式中，项的系数为.14．已知，则．四、解答题15．求证：（1）；（2）.16．某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？17．某同学参加一次测试，该测试共有10道选择题，每做对1道得10分，做错1道扣10分，不做得0分，60分及格.该同学已经完成了5道题的作答，且都正确，已知剩下的每道题他做对的概率均为.记该同学做道题且及格的概率为.(1)求；(2)试求取得最大值时n的值.18．用二项式定理证明能被8整除．19．已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取.(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽去1名去甲校，有种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名去乙校，有种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有种方法；总共有种方法；故选：B.2．D【分析】利用分步乘法计数原理求解.【详解】解：由分步乘法计数原理知，不同的选法有种.故选：D3．B【分析】由，由此可求得展开式中含项的系数.【详解】，所以，展开式中含项为：，故项的系数为.故选：B.4．C【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】展开式通项为，依题意，则，当时，，所以，故选：C.5．B【分析】根据解得，且各项中系数即为二项式系数，再由二项式系数性质可得答案.【详解】由得，解得，故各项中系数的最大值为.故选：B.6．B【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成的形式,计算出结果【详解】由题知,展开式的通项公式为，将含项记为,则,故含项的系数为，故选：B7．C【分析】八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数，这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：，由此能求出这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率．【详解】解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数，这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：，这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率为．故选：C．8．A【分析】由已知条件可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为2，求出，从而可求出结果.【详解】∵展开式的各个二项式系数的和为∴，则，即.设的通项公式为.令，则.∴的展开式中的系数为.故选：A.9．ABC【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D.【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确；选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）.判断错误.故选：ABC10．ACD【分析】运用二项式定理中的通项Tr＋1＝an－rbr，以及利用赋值处理相应问题．【详解】∵令则可得：，A正确；令则可得：即，D正确；展开式第k+1项的通项，则当时，，B不正确；当k为偶数时，，当k为奇数时，∴令则可得：，C正确．故选：ACD．11．ACD【分析】对选项A，利用排列数公式计算推证；对选项B，利用组合数公式计算判断；对选项C，利用组合数性质逐次计算判断；对选项D，利用二项式系数的性质计算判断.【详解】对于选项A：，选项A正确；对于选项B：，选项B错误；对于选项C：，选项C正确；对于D选项：因二项式的展开式的所有奇数项系数和与所有偶数项系数和相等，都等于，n=2020时，选项D正确.故选：ACD【点睛】二项式的展开式的系数的性质：(1)；(2).12．【分析】根据二项式定理求出通项，即可求出x的系数为.【详解】解：的展开式中，含的项为：，故的系数为.故答案为：．13．【分析】根据组合数的运算，展开式中的系数为，结合组合数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，多项式，根据组合数的运算，展开式中的系数为，又由.故答案为：.14．8088【分析】先求导数，再利用赋值法进行求解.【详解】对两边求导，再令=可得，.故答案为：808815．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据排列数的计算公式先化简右式，然后即可证明等式成立；（2）将左式每一项都变形为阶乘的形式，然后进行化简计算并与右式比较，由此证明等式成立.【详解】（1）右式左式，故等式成立；（2）左式右式，故等式成立.16．720.【分析】第一步，从男生中选1人；第二步，从女生中选1人，然后利用分步相乘原理即可得解.【详解】第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数有.所以共有720种不同的选法.17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得，又且，分别求出，，，，，即可得到；（2）利用作差法得到、，再由作差法得到，，最后分、、三种情况讨论，分别求出取得最大值时n的值.【详解】（1）依题意该同学要及格，则他至少要做6道题，则，又且，且，，，，，综上可得.（2）因为，所以，即，，所以，又，，当时，，即，所以当时取最大值；当时，，即，所以当时取最大值；当时，，即，所以当或或时取最大值；综上可得当时，则时取最大值；当时，则时取最大值；当时，则或或时取最大值.18．见解析【分析】根据，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含有因数8可得它能被8整除.【详解】证明：能被8整除.所以能被8整除.19．(1)12个(2)16个【分析