第8章 二元一次方程组 人教版七年级下册过关测试培优卷(含答案)

第八章二元一次方程组（培优卷）考试时间:120分钟满分：120分一、单选题（每小题3分，共18分）1．下列方程属于二元一次方程的是（）A．2x-3=10 B．3＋2y=10 C．xy＋8=0 D．x＋y=22．已知是方程的一个解，那么的值是（

）A．1 B．5 C．－5 D．－13．已知是方程组的解，则的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．04．（2020·四川绵阳·统考中考真题）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（）A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱5．若与可以合并成一项，则mn的值是（

）A．2 B．0 C．－1 D．16．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是()A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）7．如果是二元一次方程，则____，_____．8．（2020·青海·统考中考真题）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________．9．（2019春·河南·七年级校联考期末）“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则此木长是_____尺.10．若关于x，y的方程组的解是，则为_______．11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．12．若m1，m2，…m2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2016=1546，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2016﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2016中，取值为2的个数为____．三、解答题（每小题6分，共30分）13．解方程组：(1)(2)14．解下列方程组：(1)(2)15．在等式中，当时，；当时，．(1)求k，b的值．(2)当时，求y的值．16．已知方程组与有相同的解，求a，b的值．17．已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．(1)求出原题中a和b的正确值是多少？(2)求这个方程组的正确解是多少？四、解答题（每小题8分，共24分）18．对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）19．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共8千克，2只A型球与1只B型球的质量共13千克．(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？(2)现有A型球、B型球的质量共21千克，则A型球，B型球各有多少只？20．如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）五、解答题（每小题9分，共18分）21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？22．当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”．(1)判断点是否为“完美点”，并说明理由．(2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由．六、解答题（本大题共12分）23．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组，则______，______；(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？

第八章二元一次方程组（培优卷）考试时间:120分钟满分：120分一、单选题（每小题3分，共18分）1．下列方程属于二元一次方程的是（）A．2x-3=10 B．3＋2y=10 C．xy＋8=0 D．x＋y=2【答案】D【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数均为1，依次判断即可．【详解】解：A．只有一个未知数，不符合题意；B．未知数x的次数为2次，不符合题意；C．含有未知数的项的次数为2次，不符合题意；D．含有两个未知数，且次数均为1，符合题意；故选：D．【点睛】题目主要考查二元一次方程的定义，理解此定义是解题关键．2．已知是方程的一个解，那么的值是（

）A．1 B．5 C．－5 D．－1【答案】B【分析】将方程的解代入方程求出a即可．【详解】解：∵是方程的一个解，∴解得a=5．故选：B．【点睛】本题考查利用二元一次方程的解求参数问题，解题关键是理解方程的解是使方程成立的未知数的值．3．已知是方程组的解，则的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案【详解】解：根据题意，把代入方程组，得，由①+②+③，得，∴；故选：A【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算4．（2020·四川绵阳·统考中考真题）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（）A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱【答案】C【分析】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，依题意，得：解得：故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．若与可以合并成一项，则mn的值是（

）A．2 B．0 C．－1 D．1【答案】B【分析】根据合并同类项法则和同类项定义得出求出m、n的值，最后求出答案即可．【详解】解：∵与可以合并成一项，∴解得：m=2，n=0，∴mn=2×0=0，故选：B．【点睛】本题考查了同类项的含义，合并同类项，二元一次方程组的解法，能根据同类项的含义得出m=n+2和2m+n=4是解此题的关键．6．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是()A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A．二、填空题（每小题3分，共18分）7．如果是二元一次方程，则____，_____．【答案】

3

0【分析】根据二元一次方程的定义可知，，据此可解出a、b.【详解】解：依题意，得：，解得：.故答案为：3，0.【点睛】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．8．（2020·青海·统考中考真题）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________．【答案】【分析】根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案．【详解】解：将，代入一元二次方程得，解得：，∵小明看错了一次项，∴c的值为6，将，代入一元二次方程得，解得：，∵小刚看错了常数项，∴b=-5，∴一元二次方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．9．（2019春·河南·七年级校联考期末）“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则此木长是_____尺.【答案】6.5【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-×绳长=1，据此列方程组即可求解．【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有解得：故答案是：6.5．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．10．若关于x，y的方程组的解是，则为_______．【答案】63【分析】首先把代入原方程组中得到关于a、b的方程组，然后把所求代数式利用平方差公式分解因式即可求解．【详解】解：把代入原方程组中得，∴4a2-9b2=（2a+3b）（2a-3b）=7×9=63．故答案为63．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，也利用了平方差公式分解因式解决问题．11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．【答案】3##三【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出，由于，且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可．【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，，解得，∵，且x，y都是正整数，∴y是4的整数倍，∴时，，时，，时，，时，，不符合题意，故有3种购买方案，故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．12．若m1，m2，…m2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2016=1546，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2016﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2016中，取值为2的个数为____．【答案】520【详解】试题分析：解决此题可以先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组求解即可．设0有a个，1有b个，2有c个，由题意得，解得，故取值为2的个数为502个考点：(1)、规律型：(2)、数字的变化类．三、解答题（每小题6分，共30分）13．解方程组：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】（1）解：原方程为①×2+②得：，解得：，把代入①得：∴方程组的解为；（2）解：原方程组整理得①+②得：，解得：，把代入①得：，∴方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程是解题的关键．14．解下列方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）将①代入②求出，然后将带入①式解得，最后得方程组的解为：；（2）得，然后将带入②式解得，最后得方程组的解为：；【详解】（1）解：（1）将①代入②得：，去括号得：，移项合并得：，解得：，将代入①得：，则方程组的解为；（2）（2）将得：，解得：，将代入②得：，解得：，则方程组的解为【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有两种：代入消元法及加减消元法；观察题目，灵活运用这两种方法是简便、快速解答此题的关键．15．在等式中，当时，；当时，．(1)求k，b的值．(2)当时，求y的值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）分别把x与对应的y值代入中，解二元一次方程组即可求出k与b的值；（2）将x的值代入（1）中所求得的关系式进行计算即可．【详解】（1）解：把，；，代入得：，解得，∴，；（2）解：由（1）得，∴当时，．【点睛】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．16．已知方程组与有相同的解，求a，b的值．【答案】a=，b=【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．【详解】解：将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立，组成新的方程组，解得：，将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程，得，-6a-45=4，-30-9b=1．解得，a=，b=．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出两方程的同解方程是解题关键．17．已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．(1)求出原题中a和b的正确值是多少？(2)求这个方程组的正确解是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；（2）根据（1）所求得到原方程组为，利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴；（2）解：由（1）得原方程组为，用得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程组的解为．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于a，b的方程是解题的关键．四、解答题（每小题8分，共24分）18．对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）【答案】（1）（2，6）；（2）；（3）【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．【详解】解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），∴当m＝2，n＝2时，2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，f（2，2）＝（2，6）．故答案为：（2，6）；（2）由题意得，解得：；（3）由题意得，解得：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．19．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共8千克，2只A型球与1只B型球的质量共13千克．(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？(2)现有A型球、B型球的质量共21千克，则A型球，B型球各有多少只？【答案】(1)5千克，3千克(2)A型球有3只，B型球有2只【分析】（1）设每只A型球的质量为x千克，每只B型球的质量为y千克，根据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可求解．（2）设A型球有m只，B型球有n只，根据等量关系列出二元一次方程，m，n为正整数，进而可求解．(1)解：设每只A型球的质量为x千克，每只B型球的质量为y千克，依题意得：，解得，答：每只A型球的质量为5千克，每只B型球的质量为3千克．(2)设A型球有m只，B型球有n只，由题意得：，∵m，n为正整数，∴，，答：A型球有3只，B型球有2只．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的解，根据等量关系列出方程或方程组及根据条件讨论二元一次方程的解得情况是解题的关键．20．如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）【答案】(1)；(2)存在；2或6；(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出BP与PA，根据BP=PA求出x的值，即可确定出点P对应的数；（2）表示出点P对应的数，进而表示出PA与PB，根据PA=2PB求出t的值即可；（3）设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案．【详解】（1）点A、B对应的数分别是-5和1，设点P对应的数为x，则，，∵，∴，解得：，∴点P对应的数为-2；（2）P对应的数为，∴，，∵，∴，当时，，当时，，答：当或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；（3）设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意得，，解得：，答：P点的运动速度2单位长度/秒，Q点的运动速度1单位长度/秒．【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．五、解答题（每小题9分，共18分）21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？【答案】(1)两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元(2)最大利润为万元【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据购进3辆A型新能源汽车总价辆B型新能源汽车总价万元；购进4辆A型新能源汽车总价辆B型新能源汽车的总价万元，列出方程组，解方程组即可；（2）设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意得出，根据m、n为正整数，求出方程的解，再分别算出各种方案获得的利润，进行比较即可得出最大利润．【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，由题意可得:，解得:，答：两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元（2）解：设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得且的正整数，解得：或或或，该公司共有四种购买方案，当时,获得的利润为:(万元)，当时,获得的利润为:(万元)，当时,获得的利润为:(万元)，当时,获得的利润为:(万元)，由上可得,最大利润为万元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．22．当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”．(1)判断点是否为“完美点”，并说明理由．(