圆的有关位置关系：2021-2023中考数学真题分项汇编（解析版）

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

专题28圆的有关位置关系（优选真题60道）

选择题（共20小题）

1.（2023•威海）在AABC中，BC=3,AC=4,下列说法错误的是（）

A.1<AB<7

B.S^ABCW6

C.△ABC内切圆的半径r<l

D.当43=旧时，△ABC是直角三角形

【分析】根据三角形的性质逐个判断即可.

【解答】解：A、由三角形三边关系得，4-3<AB<4+3,即故A正确，不符题意；

1

B、当时，SAABC最大，此时ax3X4=6,故3正确，不符题意；

9c12A

C、三角形内切圆半径r=令，由7<C<14,得弓•V「V，故C错误，符合题意；

D、当AB=立时，BC2=AC2-AB2,所以△ABC时直角三角形，故。正确，不符题意.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形相关知识点的应用，三角形面积、勾股定理、内切圆半径的求法是解题关键.

2.（2023•内蒙古）如图，O。是锐角三角形ABC的外接圆，OE±BC,OF±AC.垂足分别为D,

E,F,连接。E,EF,FD.DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为（）

C.3.5

1

【分析】根据垂径定理得到AF=CF,BE=CE,根据三角形的中位线定理得到。E+。/+所=/

1

（AB+BC+AC）=/21=10.5,于是得到结论.

【解答】解：VOD±AB,OELBC,OF1.AC,

：.AD=BD,AF=CF,BE=CE,

：.DE,DF,E尸是△ABC的中位线,

Ill

:・DE*AC,DF=^BCfEF=*AB,

ii

:・DE+DF+EF=5(AB+BC+AC)=]X21=10.5,

VDE+DF=6.5,

・•・£尸=10.5-6.5=4,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理

是解题的关键.

3.(2023•聊城)如图，点。是△A3C外接圆的圆心，点/是△ABC的内心，连接05,IA.若NC4/=35°,

【分析】连接/C,力，OC,根据点/是AABC的内心，得到4/平分N84C,根据角平分线的定义得到

ZBAC=2ZCAI=70°,根据圆周角定理得到N30C=2N3AC=140。，根据等腰三角形的性质即可得

到结论.

【解答】解：连接OC,

丁点/是AABC的内心，

・・・A/平分NBAC,

VZCAZ=35°,

：.ZBAC=2ZCAI=70°,

・・,点。^AABC外接圆的圆心，

AZBOC=2ZBAC=140°,

•：OB=OC,

11

：.Z-OBC=(OCB='X(180°-乙BOC)=.X(180°-140°)=20°,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的

性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

4.（2023•十堰）如图，O。是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE,过点。作

于点尸，延长尸。交8E于点G,若DE=3,EG=2,则A8的长为（）

【分析】首先得出进而得出△E8C为等边三角形，由已知得出EE8C的长，进而得

出CM,2M的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出的长.

【解答】解：在班和△£>£（中，

（/.A=/.D

\AE=ED,

V^AEB=乙DEC

：.AAEB^ADEC（ASA）,

：.EB=EC,

,:BC=CE,

；.BE=CE=BC,

：.AEBC为等边三角形，

AZACB=60°,

如图，作于点M,

OFLAC,

J.AF^CF,

•「△EBC为等边三角形,

：.ZGEF=60°,

：.ZEGF=30°,

■:EG=2,

；・EF=1,

*：AE=ED=3f

：.CF=AF=4f

AAC=8,EC=5,

:.BC=5,

V60°,

AZMBC=30°,

rr/0

CM=J,3M=gCM=詈，

11

：.AM=AC-CM=芸，

：.AB=y/AM2+BM2J(~)2+(婴尸=7.

故选：B.

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股

定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识，得出CM,5M的长是解题关键.

5.（2023•江西）如图，点A,B,C,。均在直线/上，点尸在直线/外，则经过其中任意三个点，最多可

画出圆的个数为（）

ABCD

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论.

【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个

数为6个，

故选：D.

【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键.

6.(2023•乐山)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、8两点，C、

。是半径为1的O。上两动点，且CD=鱼，尸为弦的中点.当C、。两点在圆上运动时，△力2面

积的最大值是()

【分析】判断三角形PCO和三角形都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、。共线时，最

大，求出AB、PQ,根据面积公式计算即可.

【解答】解：OQLAB,连接0尸、OD、0C,

VCD=V2,OC=OD=1,

：.OC2+OD2=CD2,

...△OCD为等腰直角三角形，

由y=-x-2得，点A(-2,0)、8(0,-2),

：.OA=OB=2,

；.△042为等腰直角三角形，

:.AB=2心OQ=V2,

由题得，当P、。、。共线时，S"BP最大，

：尸为中点，

OP=^,

：.PQ=OP+OQ=^

1

SAABP=2A小PQ=3.

故选：D

【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键.

7.(2023•巴中)如图，。。是△ABC的外接圆，若/C=25°,则/R4。=()

----\

A.25°B.50°C.60°D.65°

【分析】由圆周角定理求得NA08的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可

得结论.

【解答】解：连接

VZC=25°,

AZAOB=2ZC=50°,

"：OA=OB,

./n4cz,180°—50°,,O

•.ABAO=AA4BDOr=------------=65.

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半.解题时，借用了等腰三角

形的两个底角相等和三角形的内角和定理.

8.（2023•眉山）如图，AB切。。于点8,连结。4交。。于点C,BD〃OA交于点、D,连结CD,若

ZOCD=25°,则NA的度数为（）

A.25°B.35°C.40°D.45°

【分析】连接。2，由切线的性质得到/A8O=90°,由平行线的性质得到/。=/。8=25°,由圆周

角定理得出/0=2/。=50°,因此NA=90°-ZO=40°.

【解答】解：连接

「AB切OO于3,

半径OBLAB,

：.ZABO=90°,

"：BD//OA,

:.ND=4OCD=25°,

/.ZO=2ZD=50°,

：.ZA=90°-ZO=40°.

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到/。=2/。，由切线的性质定理

得到NABO=90°,由直角三角形的性质即可求出/A的度数.

9.（2023•泸州）如图，在Rt^ABC中，/C=90°,点。在斜边上，以A。为直径的半圆。与相

切于点E,与AC相交于点R连接。E.若AC=8,BC=6,则。E的长是（）

【分析】首先求出A8=10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE,BE的长，进

而可求出CE的长和AE的长，然后再证比和相似,最后利用相似三角形的性质即可求出DE.

【解答】解：在RtZXABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=10,

连接AE,OE,

/.OB=AB-OA=10-r,

・・・BC与半圆相切，

：.OE.LBC,

VZC=90°,BPACLBC,

：.OE//AC,

:•△BOEsgAC,

BEBOOE

BC~AB~AC

BE10-rr

即：—

610-8’

,10-r

由----=；得：「=等，

10

由丝=10—r10

----得：BE=

6r丁'

8

-6-130--

，CE=BC-BE3

在RtZ\ACE中，AC=8,CE=

由勾股定理得：AE=<AC2+CF2=

；BE为半圆的切线，

ZBED=ZBAE,

又NDBE=NEBA,

MBDEs^BEA,

.BEDE

••=,

ABAE

：・DE・AB=BE・AE,

CL“108710

n即n：DEX10=X——，

・“8/10

..DE=­g-.

故选：B.

【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解

答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算.

10.（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1,A、。两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格

线的交点上另外找两点3、C,使得△ABC的外心为O,求的长度为何（）

1___1__L_.__1____1__1____1

।।।7।।।।

11111111

1---111111---1

11111111

1___1___1___1___1___1___1___1

1।।।।•।।।

】।।।।।।।।

A.4B.5C.V10D.V20

【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到O8=OC=OA,从而

确定B、C的位置.

【解答】解：••.△ABC的外心为O,

，02=0C=0A,

OA=Vl2+32=V10,

：.OB=OC=V10,

♦；B、C是方格纸格线的交点，

...8、C的位置如图所示，

：.BC=V22+42=V20.

故选：D.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质.

11.（2022•吉林）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当

点C在内且点8在OA外时，r的值可能是（）

【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在内且点8在OA外求解.

【解答】解：在RtZXABC中，由勾股定理得AC=y/AB2-BC2=3,

•点C在OA内且点B在OA外，

,\3<r<5,

故选：C.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理.

12.（2022•无锡）如图，A8是圆。的直径，弦平分NBAC,过点。的切线交AC于点E,ZEAD=25°,

则下列结论错误的是（）

A.AE±DEB.AE//ODC.DE=ODD.ZBOD=5Q°

【分析】根据切线的性质得到ODLDE,证明ODH由此判断A、8选项；过点。作OFLAC^F,

利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项；利用三角形外角性质求得的度数，从而判断。

选项.

【解答】解：：弦A£）平分NR4C,ZEAD=25°,

：.ZOAD=ZODA=25a.

：.ZBOD=2ZOAD=50°.

故选项。不符合题意；

'：ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD^ZODA,

J.OD//AC,即AE〃OD,故选项B不符合题意；

是。。的切线，

：.ODLDE.

：.DE±AE.故选项A不符合题意；

如图，过点。作。尸，AC于凡则四边形OFEO是矩形,

：.OF=DE.

在直角△AFO中，。4>0尸.

'：OD=OA,

：.DE<OD.

故选项C符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理.切线的性质：如果一条直线符合下列三个条件中的

任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的

切线垂直.

13.（2022•哈尔滨）如图，AD,BC是。。的直径，点P在8c的延长线上，出与。。相切于点A,连接

BD,若/P=40°,则的度数为（）

A

B\

D

A.65°B.60°C.50°D.25°

【分析】根据切线的性质得出尸=90°,进而得出NBOD的度数，再利用等腰三角形的性质得出/

ADB的度数即可.

【解答】解：与。。相切于点A,ZP=40°,

：.ZOAP=9Q°,

.,.ZBOD^ZAOP=90°-NP=50°,

♦：OB=OD,

:./ADB=/OBD=(180°-ZBOD)+2=(180°-50°)4-2=65°,

故选：A.

【点评】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键.

14.（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，ZABE=90°,OE为圆的直径，8c为圆O切线，C为

切点，CA=CD,则△ABC和面积之比为（）

2C.V2：2D.(V2-1)：1

【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可以先证明AABC和△C。。，再

：.S^COD=SACOE=^SADCE,进而得出SZVIBCMIS^DCE,即△ABC和面积之比为1：2.

【解答】解：解法一：如图，连接OC,

是OO的切线，OC为半径,

OCLBC,

即NOCB=90°,

：・NCOD+NOBC=90°,

又・.・/45石=90°,gpZABC+ZOBC=90°,

JZABC=ZCODf

•「DE是。。的直径，

：.ZDCE=90°,即NOCE+NOC7)=90°,

又/4+/石=90°,而NE^NOCE,

・•・ZA=ZOCD,

在△ABC和△COZ)中，

‘乙4="CD

Z.ABC=(COD,

AC=CD

：.AABC^ACOD(AAS),

又・；EO=DO,

.1

••S/\COD~S/\COE=2s△OCE,

1

SAABC=2s"CE,

即△ABC和△CDE面积之比为1：2；

解法二：如图，连接OC,过点5作5AC,

•••5。是OO的切线，OC为半径，

JOCLBC,

即NOC5=90°,

；・/COD+/BCD=9U°,

又・・・/48后=90°,BPZABC+ZBCD=9Q°,

・•・ZACB=ZCOD.

;OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

又・・・NA+NE=90°=/ODC+/E,

：.ZA=ZACB,

：.AB=BC,

：.AF=%C=1CD,

△ABFs^DEC,

.BFAF1

"EC~CD~2

,11

.♦.△ABC和△COE面积之比(-AC«BF)：(~CD・EC)

22

=BF：EC

=1：2.

故选：B.

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全

等三角形的判定和性质是解决问题的前提.

15.（2022•梧州）如图，是△ABC的外接圆，且AB=AC,ZBAC=36°,在山上取点。（不与点A,

8重合），连接8。，AD,则/BAD+NA8。的度数是（）

【分析】利用等腰三角形的性质可得/ABC=NC=72°,从而利用圆内接四边形的性质可求出NO=

108°,然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答.

【解答】解：,：AB=AC,ZBAC=36°,

ZABC=ZC=72°，

,/四边形ADBC是圆内接四边形，

AZZ）+ZC=180°,

；./。=180°-ZC=108°,

：.ZBAD+ZABD=1SO°-ZD=72°,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰

三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键.

16.（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，与BC相交于

点G,则下列结论：®ZBAD=ZCAD；②若NBAC=60°,贝i]N8EC=120°；③若点G为BC的中点，

则NBG£）=90°；④BD=DE.其中一定正确的个数是（）

【分析】利用三角形内心的性质得到则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质

对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明/。班得到。则可对④进

行判断.

【解答】解：是△ABC的内心,

.,.4D平分NA4C,

：.ZBAD=ZCAD,故①正确；

是△ABC的内心,

11

；.NEBC=今/ABC,NECB=^^ACB,

VZBAC=60°,

ZABC+ZACB=120°,

i

AZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°一±CZABC+ZACB)=120°,故②正确;

D

ZBAD=ZCAD,

：.BD=DC,

：.OD±BC,

•.•点G为BC的中点，

；.G一定在。。上，

：.ZBGD^90°,故③正确；

如图，连接BE,

...BE平分NABC,

NABE=NCBE,

"：ZDBC=ZDAC=ABAD,

：.ZDBC+ZEBC=ZEBA+ZEAB,

；./DBE=NDEB,

：.DB=DE,故④正确.

...一定正确的①②③④，共4个.

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是

掌握三角形的内心与外心.

17.（2022•十堰）如图，。。是等边△ABC的外接圆，点。是弧AC上一动点（不与A,C重合），下列结

论：①/ADB=/BDC；②ZM=OC；③当。B最长时，DB=2DC；®DA+DC^DB,其中一定正确的结

论有（）

A

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得即可判断①正确；由点

。是弧AC上一动点，可判断②错误；根据。8最长时，为。。直径，可判定③正确；在上取一

点、E,DE=AD,可得△AZ)E是等边三角形，从而△ABE之△AC。(SAS),有BE=CD,可判断④正

确.

【解答】解：•••△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=ZACB=60°,

'：AB=福BC^BC,

：.ZADB^ZACB^60°,/B£)C=/2AC=60°,

ZADB=ZBDC,故①正确；

♦.,点。是弧AC上一动点，

而与前不一定相等，

；.D4与。C不一定相等，故②错误；

当£>2最长时，£)2为。。直径，

ZBCD=90°,

VZBDC=60°,

ZDBC=30°,

：.DB=2DC,故③正确；

在£)2上取一点E,使。£=&£),如图：

A

D

B

VZADB=60°,

・•・AWE是等边三角形,

：.AD=AE,ZDAE=60°,

VZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCADf

9：AB=AC,

：.AABE^AACD(SAS),

:,BE=CD,

；・BD=BE+DE=CD+AD,故④正确;

・・・正确的有①③④，共3个,

故选：C.

【点评】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造

三角形全等解决问题.

18.（2022•镇江）如图，在等腰△A3C中，ZBAC=120°,BC=6®。。同时与边朋的延长线、射线

AC相切，的半径为3.将△A3C绕点A按顺时针方向旋转a（0。＜a^360°）,B、。的对应点分

别为夕、C,在旋转的过程中边夕C所在直线与OO相切的次数为（）

C.3D.4

【分析】设。。与边R4的延长线、射线AC分别相切于点八点G,连接04交于点L,连接OT,

作AEL8C于点E,8c于点H,先求得BE=C£=3W,ZB=ZACB=30°，则A£=8E・tan30°

=3,再证明04〃3C,则08=AE=0T=0Z,=3,可证明直线BC与。。相切，再求得。4=2OT=6,

则AL=3,作AALL8'C于点K,由旋转得AK=AE=3,ZAKB'=ZAEB=9Q°,直线8'C与。。

相切存在三种情况，一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，二是△ABC绕点A旋转到8'C//OA,

三是△ABC绕点A旋转到B'C与BC重合，即旋转角a=360°,分别加以说明即可.

【解答】解：如图1,由题意可知O。同时与边8A的延长线、射线AC相切，。。的半径为3,

设O。与边8A的延长线、射线AC分别相切于点7、点G,连接OA交。。于点L连接OT,

J.ATLOT,07=3,

作A£J_8C于点E,OHLBC于点、H,则/AE8=90°,

\'AB=AC,ZBAC=120°,BC=6®

11

：.BE=CE=^BC=3V3,NB=/ACB=,(/180-NBAC)=30°,

：.AE=BE-tan30°=3bx*=3,

VZ7^C=180°-ZBAC=60°,

1

AZOAG=ZOAT=7XC=30°,

：.ZOAG=ZACB,

J.OA//BC,

：.OH=AE=OT=OL=3,

・・・直线8C与。。相切，

VZATO=90°,

：.OA=2OT=6,

.\AL=3,

作AK_L4C于点K,由旋转得AK=AE=3,ZAKBf=ZAEB=90°,

如图2,△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，

*：ZOLB'=180°-ZALBf=180°-ZAKB'=90°,

：.B'CLOL,

TOL为。。的半径，

：.B'C与。。相切；

如图3,△ABC绕点A旋转到5,C//OA,作0RL5'C交C，B'的延长线于点R,

"：OR=AK=3,

：.B'C与O。相切；

当aABC绕点A旋转到8'C与BC重合，即旋转角a=360°,则4C与0O相切,

综上所述，在旋转的过程中边8'C所在直线与。。相切3次，

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、锐角三角函数以及数形结合与分类讨论数

学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

19.（2021•青岛）如图，是。。的直径，点E,C在。。上，点A是我的中点，过点A画。。的切线,

交BC的延长线于点。，连接EC.若NA£）B=58.5°,则/ACE的度数为（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

【分析】根据切线的性质得到根据直角三角形的性质求出根据圆周角定理得到

90°,进而求出/8AC,根据垂径定理得到BA,EC,进而得出答案.

【解答】解：是。。的切线，

：.BA±AD,

"403=58.5°,

.\ZB=90°-ZADB=31.5°,

「AB是。。的直径，

/.ZACB=90°,

/ft4c=90°-ZB=58.5°,

•.•点A是比的中点，

：.BA±EC,

：.ZACE=900-ZBAC=31.5°,

故选：B.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解

题的关键.

20.（2021•孝感）如图，是RtZXABC的外接圆，OE_LAB交。。于点E,垂足为点。，AE,CB的延长

线交于点?若。。=3,AB=8,则PC的长是（）

【分析】由题知，AC为直径，得OD〃BC,且。。是△ABC的中位线，。£是三角形APC的中位线，根

据勾股定理求出圆的半径即可.

【解答】解：由题知，AC为直径，

ZABC=90°,

'：OE±AB,

J.OD//BC,

"：OA=OC,

...0。为三角形ABC的中位线，

.*.AD=1AB=1x8=4,

又：0£）=3,

OA=\]AD2+OD2=A/42+32=5,

：.OE=OA=5,

'J0E//CF,点。是AC中点，

OE是三角形ACF的中位线，

：.CF=2OE=2X5=10,

故选：A.

【点评】本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是

解题的关键.

二.填空题（共15小题）

21.（2023•徐州）如图，在。。中，直径与弦C。交于点E.就=2皿，连接AD过点B的切线与AD

的延长线交于点?若NAFB=68°,则/£＞班=66°.

;A

BF

【分析】先根据切线的性质得出°,结合NAEB=68°可求出NBAP的度数，再根据弧之间

的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出NQEB的度数.

【解答】解：如图，连接。C,OD,

A

e

BF

•・,8/是。。的切线，AB是。。的直径，

：.OB±BF,

：.ZABF=90°,

VZAFB=68°,

：.ZBAF=90°-ZAFB=22°,

AZBOZ）=2ZBAF=44°,

U：AC=2RD,

：.ZCOA=2ZBOD=8S°,

1

：.ZCDA=^ACOA=44°,

：ZDEB是△AED的一个外角，

/DEB=ZBAF+ZCDA^66°,

故答案为：66.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半

径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

22.（2023•湖北）如图，在△ABC中，ZACB=70°,△ABC的内切圆O。与AB，BC分别相切于点D,E,

连接。E,AO的延长线交DE于点R则乙4即=35°.

【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出NA08的度数和NOGP的度数，然后即可计算出

ZAFD的度数.

【解答】解：连接OD,OE,OB,OB交ED于点、G,

VZACB=10°,

：.ZCAB+ZCBA=nO°,

:点。为△ABC的内切圆的圆心，

：.ZOAB+ZOBA=55a,

，408=125

\'0E=0D,BD=BE,

：.OB垂直平分DE,

：.ZOGE=9Q°,

：.ZAFD=ZAOB-ZOGF=125°-90°=35°,

【点评】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

23.（2023•河南）如图，抬与。。相切于点A,尸。交于点点C在上，且CB=CA.若OA=5,

10

PA=n,则CA的长为—.

-3-

【分析】连接OC,根据切线的性质可得/。4尸=90°,然后利用SSS证明△0ACg/\02C,从而可得/

OAP=ZOBC=90°再在RtZ\OAP中，利用勾股定理求出OP=13,最后根据△OAC的面积+ZXOCP的

面积=2\。4尸的面积，进行计算即可解答.

丁卓与OO相切于点4

：.ZOAP=90°，

\'OA=OB,OC=OC,CA=CB,

.,.△OAC^AOBC(SSS),

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在RtZkOA尸中，OA=5,PA=12,

：.OP=Vox2+XP2=V52+122=13,

VAOAC的面积+4OCP的面积=△(14P的面积,

111

AOAACOPBC

-2-+42-=2

，OA・AC+O尸・3C=0A・AP,

A5AC+13BC=5X12,

：.AC=BC=号10，

10

故答案为：—.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

24.（2023•广元）如图，ZACB=45°,半径为2的。。与角的两边相切，点尸是。。上任意一点，过点尸

向角的两边作垂线，垂足分别为E,F,^t=PE+&PF,则t的取值范围是2二金为4+2a.

A

【分析】设半径为2的OO与角的两边相切于M,N,连接。M,ON,延长NO交CB于。，求得NCND

=NOMD=90°,根据等腰直角三角形的性质得到/CDN=45°,求得OD=2近,得至ljCN=DN=2+2a,

如图1,延长EP交8c于。，推出AEC。与△PPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得

到CE=EQ,FQ=V2PF,求得t=PE+<2PF=PE+FQ=EQ,当EQ与。。相切且点尸在圆心的右侧时，

f有最大值，连接。尸，则四边形ENO尸是正方形，根据正方形的性质得到EN=OP=2,求得-4+2e；

如图2,当E。与。。相切且点P在圆心的，左侧时，f有最小值，同理可得f=2位,于是得到结论.

【解答】解：设半径为2的。。与角的两边相切于M,N,连接OM,ON,延长NO交CB于。，

A

TOC

MFD'、

图1

:.NCND=/OMD=90°,

VZACB=45°,

△C/VD是等腰直角三角形，

：.ZCDN=45°,

,：0N=0M=2,

：.OD=2近,

:.CN=DN=2+2位,

如图1,延长EP交BC于。，

"：EQ±AC,PFLBC,

：.ZCEQ^ZPFQ^9Q°,

VZACB=45°,

：.ZEQC=45°,

：./\ECQ与△尸尸。是等腰直角三角形，

:.CE=EQ,FQ="PF,

：.t=PE+<2PF=PE+FQ=EQ,

当与。。相切且点P在圆心的右侧时，f有最大值，

连接OP,

则四边形ENOP是正方形，

:.EN=OP=2,

：.t=PE+V2PF=PE+FQ=EQ=CE=CN+EN=2+2V2+2=4+2V2；

如图2,当£。与。。相切且点P在圆心的，左侧时，f有最小值，

A.

图2

同理可得t=PE+V2PF=PE+FQ=EQ=CE=CN-EN=2>/2,

故t的取值范围是2位qW4+2企，

故答案为：2&qW4+2夜.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅

助线是解题的关键.

25.(2023•衡阳)如图，在中，ZACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心，/■为半径作圆，

24

当所作的圆与斜边A8所在的直线相切时，厂的值为—.

—5—

【分析】设0c与A8所在的直线相切，切点为点D,连接。，根据切线的性质得ABLCZ),再由勾股

定理求得AB=y/AC2+BC2=10,WJ|AB«CD=%C・BC=5M)B,所以［xlOCD=1X8X6,则r=CD=曾,

于是得到问题的答案.

【解答】解：设OC与48所在的直线相切，切点为点。，连接C£),

是OC的半径，A2与OC相切于点，

J.ABLCD,

VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB^VXC2+BC2=V82+62=10,

"."-AB*CD=^AC*BC=S/^AOB>

11

X1OC£>=4x8X6,

22

解得CD=昌

24

:.r=CD=管,

24

故答案为：-

【点评】此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出

所需要的辅助线是解题的关键.

26.（2023•上海）在△ABC中，AB=7,BC=3,NC=90°，点。在边AC上，点E在CA延长线上，且

CD=DE,如果过点A,QE过点D,若OB与有公共点，那么OE半径r的取值范围是<r<

2V10_.

【分析】先画出图形，连接BE,利用勾股定理可得BE=V9+4r2,AC=2V10,从而可得VlUVrW

2V10,再根据与OE有公共点列不等式，用二次函数与一元二次方程，一元二次不等式的关系解答.

【解答】解：连接BE,如图：

过点A,且A2=7,

03的半径为7,

过点。，它的半径为厂，且CQ=£>£,

:.CE=CD+DE=2r,

"：BC=3,ZC=90°,

：.BE=>JBC2+CE2=V9+4r2,AC=<AB2-BC2=2V10,

在边AC上，点E在C4延长线上,

Jr<2V10

■■(2r>2V10，

.,.V10<r^2V10,

。8与OE有公共点，

r.AB-DEWBEWAB+DE,

,CV9+4r2<7+r①

(7—r<V9+4r2@

由①得：3J-14-40W0,

解方程3,-14r-40=0得：r=-2或「=号

由函数图象可知，当yWO时，—2WrW詈，即不等式①的解集为一2WrW詈，

同理可得：不等式②的解集为r22或-孕

不等式组的解集为2WrW至，

XvVTo<r<2V10,

OE半径厂的取值范围是VTU<?w2VIU.

故答案为：V10<r<2V10.

【点评】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建

立不等式组是解题关键.

27.（2022•泰安）如图，在△ABC中，ZB=90°,。。过点4、C,与AB交于点。，与相切于点C,

若NA=32°,则64°.

A

\O\

DfC\/

c

【分析】连接OC,根据圆周角定理求出NDOC,根据切线的性质得到0CL5C,证明A8〃0C,根据平

行线的性质解答即可.

【解答】解：连接。C,

VZA=32°,

：.ZDOC=2ZA=64°,

・・・BC与。。相切于点C,

・・・OC.LBC,

VZB=90°,

AZB+ZOCB=180°,

C.AB//OC,

：.ZADO=ZDOC=64°,

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

28.（2022•黑龙江）如图，在。0中，A3是。0的弦，的半径为30n.。为。。上一点，ZACB=60°,

则AB的长为3V3cm.

B

c

【分析】连接AO并延长交。。于点D根据直径所对的圆周角是直角可得/AB£>=90°,再利用同弧

所对的圆周角相等可求出/ADB=60°,然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解

答.

【解答】解：连接A。并延长交O。于点。，

•.,AD是OO的直径,

ZABD=9Q°,

VZACB=60°,

ZADB=ZACB=60°,

在RtZXABD中，AD=6cm,

F5

.*.AjB=AD«sin60°=6xg=3遮(cm),

故答案为：3V3.

C

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

29.（2022•泸州）如图，在RtZXABC中，NC=90°,AC=6,BC=2百，半径为1的。。在RtaABC内

平移（。0可以与该三角形的边相切），则点A到。。上的点的距离的最大值为2b+1.

【分析】连接。£、OF,根据正切的定义求出/ABC,根据切线长定理得到/。2尸=30°,根据含30°

角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：当O。与2C、都相切时，连接A。并延长交。。于点。，则AD为点A到。。上的点

的距离的最大值，

设。。与BC、BA的切点分别为E、F,连接OE、OF,

贝l|OEVBC,OF±AB,

"：AC=6,BC=2同

：.tanZABC=益=亚AB=y/AC2+BC2=4同

/.ZABC=60°,

：.ZOBF=30°,

：，BF=tanloBF=

：.AF^AB-BF=3小,

：.OA=>JOF2+AF2=2s/7,

：.AD=2y/7+l,

故答案为：2b+1.

【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出4。为点A到。O

上的点的距离的最大值是解题的关键.

30.（2022•泰州）如图，△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为内心，过点。的直线分别与AC、

1

A3边相交于点。、E,若DE=CD+BE,则线段CD的长为2或一.

---------2-

B

O

CA

【分析】连接BO,CO,结合内心的概念及平行线的判定分析可得当OE=CD+BE时，DE//BC,从而利

用相似三角形的判定和性质分析计算.

【解答】解：如图，过点。的直线分别与AC、A2边相交于点E,连接2。，CO,

:0为△ABC的内心,

；.CO平分/AC8,80平分/ABC,

：.ZBCO^ZA