四川省成都市2024届高三一模数学（文）试题（含答案解析）

四川省成都市2024届高三一模数学（文）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

x2-2,x<0

1.已知函数"%）=.初八，则〃T）+〃1）=（）

sin——,x>0

I2

A.-1B.0C.1D.2

2.普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取

系统抽样方式，为此将他们一一编号为1-2000,并对编号由小到大进行分段，假设从

第一个号码段中随机抽出的号码是2,那么从第三个号码段中抽出的号码为（）

A.52B.82C.162D.252

1-i

3.已知复数z==（i为虚数单位），则z的虚部为（）

1+1

A.-1B.1C.-iD.i

4.若数歹!]{%}满足q=3,%+i=2%—〃+1,贝11%+。3+。4=（）

A.6B.14C.22D.37

5.已知向量Q=（2,0）,则cos伯万〉=（）

A.也B.JC.--D.二

222

2x-y>0

6.若实数满足<x-2y<0,则的最小值为（）

3x+y-l>0

33

A.0B.—C.-D.1

75

7.已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可以为（）

2xex

B.

e2x+l

、）

D.小z）=41^nMi^+1

8.已知平面名尸，7，二。>/=%/。1/=6,则a¥是ab的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.若a=U,&=-ln-

c=--,则()

222233e

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

10.已知a£（0,兀）,_&sin6Z-A/3COSa=2，则tana=()

B.—亚「V3

A.-石D.

33

11.若尤£[0,+8）,召+办+1«廿恒成立，则实数。的最大值为

A.eB.2C.1D.e-2

12.已知圆匚/+；/_4也）;_4=0经过椭圆0：工+工=1（4>6>0）的两个焦点耳,月,

ab

圆C和椭圆。在第二象限的交点为N,NM•哂=16如-24,则椭圆。的离心率为（）

如「

A.BB.V2D

232-I

二、填空题

13.已知集合4=｛刈%|<2｝,3=｛尤|y=lgx｝,则AB=.

14.曲线〃司=丁+炉+1在点处的切线方程为.

15.记S“为公差不为零的等差数列也,｝的前〃项和.若S,=14,且％,%，七成等比数

列，则“2024的值为.

16.已知侧面积为8扃的圆锥内接于球0,若圆锥的母线与底面所成角的正切值为:，

则球0的表面积为.

三、解答题

17.如图，正四棱柱中，〃为A4的中点，AB^2,M=4.

B

试卷第2页，共4页

⑴求证：GM，平面BDW；

(2)求三棱锥的体积.

18.某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块

课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的

情况如下：

男生女生总计

参加篮球模块课程人数602080

参加羽毛球模块课程人数4080120

总计100100200

(1)根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性

别有关；

(2)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块

化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块

化课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.

n(ad-bc)~

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>kQ)0.0250.0100.0050.001

k。5.0246.6357.87910.828

19.已知函数/(x)=2/sinxcosx+2cos，一1.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别

是a,b,c,且满足〃A)=1.

⑴求A的值；

(2)若6=1,求a+c的取值范围.

20.在平面直角坐标系中，动点C到点尸(1,0)的距离与到直线x=T的距离相等.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)若直线/：y=x+根与动点C的轨迹交于P,。两点，当△PQF的面积为2时，求直

线/的方程.

21.已知函数/(x)=2e*—ex.

⑴求函数〃%)的单调区间；

⑵求证：/(%)>e(lnx+cosx).

\x=2+tcosa

22.在平面直角坐标系中，已知直线G的参数方程为(£为参数，

[y=tsma

7T

以坐标原点。为极点，龙轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐

标方程为P2cos26=2.

(1)当a=g时，求直线G的普通方程；

⑵已知点尸(2,0),若直线C1交曲线C,于A3两点，M|PA].|PB|=4,求a的值.

23.已知函数〃x)=[2尤-d+|x+1,aeR.

(1)当a=4时，求不等式的解集；

⑵若〃x)>2a,求a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据分段函数分段求值即可.

x2-2,x<0

【详解】由于函数<.71X、八'

sm——,x>0

I2

所以"1)=sin]=1,〃一1)=(一I)?一2=-1,

贝U〃T)+〃1)=T+1=O.

故选：B.

2.C

【分析】根据系统抽样的特点确定第三个号码段中抽出的号码即可.

【详解】采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为券=80,

第一个号码是2,那么第三个号码段中抽出的号码是2+2x80=162.

故选：C.

3.A

【分析】利用虚数单位的幕的运算及除法运算法则计算化简后，根据虚部的定义得到答案.

1-i1-i。_丁_l-2i+i?_1一21

【详解】

i+F―币—(l+i)(l-i)―1-i2-1-(-1)

Z的虚部为-1,

故选：A.

4.D

【分析】根据条件求出生，%，。4，即可得出结果.

【详解】：％=3,a“+]=2a“-〃+l,

:・%=2。1—1+1=6,?=2。2—2+1=11,。4=2%—3+1=20,

.•.%+/+。4=6+11+20=37.

故选：D.

5.C

【分析】利用向量的夹角公式即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】因为〃=卜1,行）力=（2,0）,

/\a-b（-1）X2+^X01

所以8®,z*邮=丁"而G=F

故选：C.

6.B

【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后令、+y=z,当直线y=-x+z在y轴上截距

最小时，％+y取最小，观察图象可得答案.

2x-y>0

【详解】作出不等式x-2yW0表示的平面区域如图：

3x+y-l>0

令x+y=z,

则y=r+z,即当直线丁=-1+z在y轴上截距最小时，％+y取最小，

（21、213

即y=_%+z过点｛亍,'）时，％+y取最小值亍+亍=亍

故选：B.

【分析】由图可知，函数的定义域为R,是奇函数，当x>0时/（力>0,由此判断各选项

可得出结果.

2

【详解】对于A,当x=0时，e"-l=e°-l=0,〃同=备，无意义，故A错误；

一工-2x--,

对于B,f(x)=-^-,xER,=.=_尧^=_小),则是

e+1e+1_L+]e+1

声

奇函数，

当x>0时，ex>0,e2x>0,贝!|/(x)>0；

对于C,当x>0时，%2+l>0,ln(|x|+2)>lnl=0,则/(x)<0,故C错误；

答案第2页，共13页

41n(Wx+i)41n(|-%|4ta(|x|+l)

对于D,y(x)=,xeR,贝！==/(x),

X2+1(―X)"+1尤？+1

则/(X)是偶函数，故D错误,

综上，B正确.

故选：B.

8.A

【分析】结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断.

【详解】因为a/,ac£=a，zc£=》，所以由面面平行的性质定理可得a6,则充分

性成立；

fa<Zr[b(ta

因为。匕，tzc/?=a,/c#=6可知，所以<,，则。，又•{，则bPa,当a/=/

[bay[aua

时，由线面平行的性质定理可知。lb,则必要性不成立；

综上所述，。7是。b的充分不必要条件.

故选：A.

9.C

【分析】根据。也c的特征可构造函数〃x)=xlnx,利用导数求得函数单调性即可比较它们

的大小.

【详解】易知c

eee

构造函数〃x)=xlnx,xe(O,+<»),则/[x)=lnx+l；

令((x)=0,解得x=I

当时，r(x)<0,当xeg,+[时，>0；

可得了(x)在(o,3上单调递减，在上单调递增；

又易知，<g<g,所以'=7[J<"=°J，即c<a<).

故选：C

10.B

【分析】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.

【详解】由题设(sina—Geosa)?=sin2-273sinacosa+3cos2a=4,

答案第3页，共13页

所以sin2cr-2A/3sinacosa+3cos2a_tan2a-2A/3tancr+3_且兀)

sin2a+cos2atan2a+1

故tan2a-26tana+3=4tan2二+4,即3tan2a+2下)tana+l=(Gtana+1)?=0,

所以tana=-旦

-3'

故选：B

11.D

【分析】先确定x=0时的情况，在当x>0时，参变分离可得吐』，构造函数

〃x)=e=：T,求出函数的最小值即可.

【详解】当x=0时，14e°,不等式成立；

当x>0时，〃二二恒成立,即--------,

X\X/min

令〃X)==-丁-1,则［(尤)=,

因为尤>0时，ex-x-l>0(后证)

所以当0<x<l时，r(x)<0,单调递减，当x>l时，/^x)>0,f(x)单调递减，

故

所以aWe-2,即实数。的最大值为e-2.

证明当尤>0时，e*-x-l>0，

令g(x)=e*-x-l,x>0,则g<x)=e*-l>0,

则g(x)在(0,+女)上单调递增,所以g(x)>g(O)=O,即e-x-1>0.

故选：D.

12.C

【分析】先根据圆与x轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出cos/耳蟆,

进而根据余弦定理及椭圆的定义可求出。，则离心率可得.

【详解】对于圆C:f+y2-4石>一4=0,

即尤2+卜_2用『=16,圆心为(0,2若)，半径为4

答案第4页，共13页

当y=。时，x=±2,当％=0时，x=26+4,%=2豆一4,

即如图点网0,2省+4）

22

即椭圆Q:=+]=l（a>b>0）的两个焦点为4（―2,0）,月（2,0）,即c=2,

ab

又圆C和椭圆。在第二象限的交点为N,

由圆周角的性质可得NF'NF'=N",

/\2

则cos/片NF,=cos/f；2B=2cos2/GB。一l=2x273+4^-1=好

UMM12

又由NF；,N&=凶耳||叫|cos//叫=等加用|叫|=16如一24

得|N剧叫|=32-16石，

又|NG「+|N6--2|N6||N6|COSN4NB=（|^|+|^|）2-2（32-16A/3）-2（16^-24）=16

得4/-2（32-166）一2（166-24）=16,解得〃=2近，

所以离心率”十左=¥.

故选：C.

13.{x|0<x<2}

【分析】求出集合48中元素范围，再求交集即可.

【详解】A={x|国<2}={彳|-2<尤<2},B={x|y=lgx}={x|x>0},

则AcB={x[0<x<2}.

答案第5页，共13页

故答案为：｛x|0<x<2｝.

14.y=5x-2

【分析】首先求”1)和(⑴，代入y—〃1)=-⑴(x-1).

【详解】因为/'(x)=3/+2x,所以所求切线的斜率左=/'(1)=3+2=5,

而/⑴=1+1+1=3,故所求的切线方程为，-3=5(尤-1),即y=5x-2.

故答案为：y=5x-2.

15.2022

【分析】根据等差数列的性质可得%=2,结合等比中项可得d=l,结合等差数列的定义分

析求解.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，贝！JS7=7%=14,可得g=2,

设等差数列｛%｝的公差为dHO，

因为的，%，%成等比数列，则3a6，

即4=(2—d)(2+2d),解得4=1或&=0(舍去)，

所以a2024=%+20204=2022.

故答案为：2022.

16.IOOTI

【分析】结合圆锥的几何性质求出圆锥的底面半径，作出轴截面结合勾股定理即可求解.

【详解】设底面半径为小因为圆锥的母线与底面所成角的正切值为

则圆锥的高为%=；,母线为1=5+(学泻r,

则其侧面积为匕2仃).，^(=8A/FJT,解得厂=4,

22

作出圆锥的轴截面，如下图所示：

则球的半径为£=Jr?+(R一|)2=742+(7?-2)2,解得R=5

则球0的表面积为4兀玄=4n-(5)2=lOOn.

故答案为：100兀

答案第6页，共13页

s

17.（1）证明见解析

（2）4

【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得GM，DM,

1BM,再根据线面垂直判定定理即可证得结论；

（2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可.

【详解】（1）如图，连接AG.

正四棱柱ABC。一A耳C2中，〃为AA的中点，AB=2,M=4,

,AG=JAD；+D[C；=2逝,A.M=AM=^AAi^2,

DM=yjAD2+AM2=2A/2>

又qD=《DC?+CC：=2旧,Mg==2A/3.

22

C1M+DM^DC~,

C{M1DM.

同理可得

DMBM=M,次/匚平面由加，BMu平面

•••6加工平面瓦泌.

答案第7页，共13页

（2）由（1）知，BM=DM=BD=2版,且■平面班加1.

三棱锥C「8£>M的体积为4.

18.（1）有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关;

【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论即可;

（2）由古典概型中的列举法求概率即可.

【详解】⑴由列联表数据可得，片=艰簧鬻泮…33

所以有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.

（2）设篮球模块课程的前3名为A,4,A3,羽毛球模块课程的前3名为4，B2,B3.

从这6人中随机选2人的基本事件有（A，A）,（4,A）,（4,4）,（4也）,（4，4）,（&,4）,

（4再）,（4心），（人,骂），（A，4）,（A,^2）,（AW）,（练与），（4,鸟）’（鸟‘鸟）’

共15个.

其中选出的这2人来自不同模块化课程的基本事件有（4,男），（4，用），（4，为），（4,4），

（4闯,（4,鸟），（&4）,（4,耳），（%,团共9个.

93

故所求概率为尸二百=1

7T

19.⑴A=§

,2+A/3

【分析】（1）由三角函数的诱导公式和辅助角公式计算可得；

（2）首先由正弦定理和（1）求出"+c=^~B+2,然后用锐角三角形和（1）求出B的

2tan—

取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.

答案第8页，共13页

【详解】(1)/(x)=2V3siiLxcosx+2cos2x.-l=V3sin2x+cos2x=2sin[2x+.].

由/(A)=2sinf2A+j=1,即sin(2A+S]=；.

ABC为锐角三角形,

C4兀571

2A+-=——

66

,71

..A=—

3

a_b_c

(2)由正弦定理,

sinAsinBsinC

2V3cos2-.

121j_

+—---------1—=2tan^+2

2八.BB2

4sin—cos—

222

ABC是锐角三角形,

71

/.0<B<-,>C=--B<—.

=2-6,

34

tan~e(2—^3,1).

综上,a+c的取值范围为

20.(l)y2=4x

(2)y=-^5gy=x+~1^^y=x+-1-^.

答案第9页，共13页

【分析】(1)结合抛物线的定义即可求解；(2)联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公

式和三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)由题知，动点C的轨迹是以尸为焦点，尸-1为准线的抛物线.

，动点C的轨迹方程为y2=4x.

(2)设。(和％)

fy=x+m.

由彳丁—以消去羽得y-4y+4m=0.

由△=16-16m>0,得m<1.

y+必=4，%%=4根・

由4FPQ的面积5=；忖。14=；・^/1工1・卜-y2\^，

|1+〃?曾(％+%『-4%%=4・

|1+m|J16-16m=4,即m^m2+加一1)=0.

m<l,

.门滞一

••根=0或机=--1-—---.

2

直线I的方程为y=X或y=x+T；乙或/=苫+-1丁.

21.(1)单减区间为(f』-In2),单增区间为(l-ln2,+o)).

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)构造函数/z(x)=2e=ex—e(lnx+l),利用导数判推得网力>0,进而得证.

【详解】(1)因为“x)=2e「ex,所以解(x)=2e=e,

当xe(3,l-山2)时，r(x)<0,/(x)单调递减；

当xe。-ln2,+oo)时,>0,单调递增;

所以〃x)的单减区间为(-W/-出2),单增区间为(l-ln2,+<»).

(2)设函数〃(%)=2、-ex-e(lnx+l),

答案第10页，共13页

e

则〃'(x)=2e*-e——,x>0,

易得”(x)在(0,+e)上单调递增，且“(1)=0,

所以当xe(O,l),//(x)<0,%(x)单调递减；

当xc(l,+oo),//(x)>0,〃(%)单调递增；

所以〃(x)Mn=/7⑴=0,故2e-ex—e(lnx+l)z。，当且仅当x=l时等号成立，

即J(x)Ze(lnx+l),当且仅当x=l时等号成立,

因为lNcosx,所以/(x)>e(lnj;+l)>e(lnx+cosx),

由于上述不等式取等条件不能同时成立，

所以〃x)>e(lnx+cosx),得证.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用中间函数y=e(lnx+l)作为桥梁，简化了证明过

程，从而得证.

22.⑴氐-y-2g=0

⑵a=£或g

63

【分析】(1)将a代入参数方程，然后把参数方程转化为普通方程即可；

(2)先求C?的普通方程，再把G代入C2得到一元二次方程，从而根据f的几何意义得到a

的值.

x=

【详解】(1)当时，求直线G的参数方程为<

y=

化简得直线G的普通方程V3.x-j-2V3=0.

(2)因为曲线C2的极坐标方程为02cos2。=2,所以22cos26=22(cos?。-sir?0=2.

又因为x=pcose,y=0sin。，所以曲线C?的普通方程为一一产=2.

x=2+tcosa

将直线Cj的参数方程为a为参数,0<a<—)代入X2-y2=2

y=tsma2f

答案第11页，共13页

得(2+，cosa)?_°sina)?=2,化简得4+4,cosa+t1cos1a-t1sin2a=2^即

t2cos2a+41cos。+2=0.

JT

因为直线C1交曲线CZ于A,8两点，所以cos2aH0,即aw：,又

4

A=16cos26z-8cos2cif=8(l+cos2«)-8cos2(z=8>0.

4cosn9

设A,8两点对应的参数分别为认,则t1+t2=-丝芋,柱=一.

cos2acos2a

2

因为点尸(2,0)在直线G上，所以|「斗|啊=