2023-2024学年辽宁省高一年级上册期末考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合4=k|-3<》<5},B={x|x4a},若则实数”的取值范围为（）

A.{a\a<2^B.{a|a<2}

C.{《a>-3}D.{a|a<-3}

【正确答案】C

【分析】利用交集定义直接求解.

【详解】由集合4={况-3<犬<5},B={x\x<a},

又,：AcBw。,：.a>-3

•••实数a的取值范围为：国。>-3}.

故选：C

2.对任意实数。，h,c,下列命题中真命题是（）

A.“a=b”是“双=历”的充要条件

3

B.］是无理数”是“。是无理数”的充要条件

C.“储>从”是“3>产，的充分条件

D.“"5”是"a<3”的充分条件

【正确答案】B

【分析】通过反例可知ACD错误；根据充要条件和必要条件的定义可知B正确.

【详解】对于A,当c=（）时，ac-bc,此时可以a，b,必要性不成立，A错误；

33

对于B,当〃+；为无理数时，根据；为有理数，可知。为无理数，充分性成立；

22

当“为无理数时，根据3;为有理数可得;3为无理数，必要性成立；

22

3

；是无理数''是是无理数”的充要条件，B正确；

对于C,当a=-2,6=-l时，a2>h2,但是a?〈凡

故"/>户’不是的充分条件，C错误；

对于D,当a=4时，a<5,但是a>3,

所以“a<5”不是“a<3”的充分条件，D错误.

故选：B.

3.若a=10。'，6=ln0.2,c=log31.5,则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【正确答案】D

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，确定a,b,c的范围，即可比较大小，可得答案.

【详解】由函数y=10'为增函数可知a=10ol>10°=l,

由y=lnx为增函数可得8=ln0.2<lnl=0,

由由y=logsX为增函数可得0=log31<c=log31.5<bga3=l,

所以a>c>b,

故选：D

4.某数学竞赛有5名参赛者，需要解答五道综合题，这五个人答对的题数如下：3,5,4,

2,1,则这组数据的60%分位数为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【正确答案】B

【分析】首先将数据从小到大排列，求得5x60%=3,则第60%分位数为第3个数与第4个

数的平均数，即可得解.

【详解】解：这五人答对的题数从小到大排列为：1、2、3、4、5,

又5x60%=3,所以第60%分位数为三^=3.5.

2

故选：B

5.函数〃x）=log3（3*+9）的反函数卜=尸3的定义域为（）

A.（1,+℃）B.（3,+oo）C.（0,+a?）D.（2,+co）

【正确答案】D

【分析】根据反函数的定义域为原函数的值域，先求出原函数的值域，即可得出答案.

【详解】3，>0,

..3+9>9，

v

log3（3+9）>log39=2,

则〃x）的值域为（2+8）,

反函数的定义域为原函数的值域，

・・・反函数丁=尸（力的定义域为（2,+8）,

故选：D.

6.在同一坐标系内，函数y=x"（a*O）和y=的图象可能是（）

【正确答案】B

【分析】根据黑函数的图象与性质，分。>0和〃<0讨论，利用排除法，即可求解，得到答

案.

【详解】由题意，若”>0时，函数），=x"在（0,+8）递增，此时y=ax+」递增，排除D；纵

a

轴上截距为正数，排除C,即4>0时，不合题意；

若。<0时，函数y=x”在（0,+8）递减，又由y=ov+，递减可排除A,故选B.

a

本题主要考查了幕函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幕函数的图象与性质是解答的

关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7.已知log?a=0.5。=0.2",则（）

A.a<\<bB.\<a<b

C.b<l<aD.\<b<a

【正确答案】C

【分析】由log2a=。5"确定出再由0.5"=0.2’转化可得力的取值情况而得解.

【详解】因1。82。=0,5">。则，此时log2a=0.5"vl,则有〃<2,即1<〃<2,

又0.5"=0.2〃0/="05”=2"，而2<2"<4，即5〃<4<5,XI，

所以。<1<4.

故选：c

8.已知函数f(x)=x+g,g(x)=2'+a,若石e1,1,川e[2,3],使得/⑺必优)，

则实数。的取值范围是()

A.；收)B./+8)

C.[-3,+8)D.[l,+oo)

【正确答案】C

【分析】根据题意得到了(力.4g(力1mx，根据函数单调性得到=5,g(x)3=8+a，

得到不等式，求出实数。的取值范围是[-3,+8).

【详解】若叫eg，l,叫目2,3],使得/&)Vg(xJ,

故只需〃％,"㈤皿，

其中〃x)=x+&在上单调递减，故/(1)=1+4=5,

g(x)=2*+a在xw[2,3]上单调递增,故g.=g(3)=8+a,

所以5V8+a,解得：a>-3,

实数。的取值范围是[-3,+8).

故选：C

二、多选题

9.设“，〃是两个非零向量，则下列描述错误的有()

A.若卜+0=忖一忖，则存在实数2>0,使得”

B.若a_L6，则k+司=卜叫.

C.若卜+陷=忖+忖，则”，反向.

D.若a〃b，则a，b一定同向

【正确答案】ACD

【分析】根据向量加法的意义判断选项A,C：根据平面向量加法的平行四边形法则可判断

选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D.

【详解】对于选项A：当卜+。|=忖-忖，由向量加法的意义知a,〃方向相反且卜上忖，

则存在实数2<0,使得a=2b，故选项A错误；

对于选项B：当则以°,人为邻边的平行四边形为矩形，且卜+0和卜-闿是这个矩形

的两条对角线长，

则卜+4=卜-0,故选项B正确；

对于选项C：当|a+4=M+W，由向量加法的意义知°,b方向相同，故选项C错误；

对于选项D：当时，则a，h同向或反向，故选项D错误；

综上所述：选项ACD错误，

故选：ACD.

10.某校组织全体高一学生参加了主题为“青春心向党，奋斗正当时”的知识竞赛，随机抽取

了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分

组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）

（小数点后保留一位）

A.在被抽取的学生中，成绩在区间［80,90）内的学生有20人

B.这100名学生的平均成绩为84分

C.估计全校学生成绩的中位数为86.7

D.估计全校学生成绩的样本数据的70%分位数为91.5

【正确答案】BC

【分析】由频率和为1可求解x,再由频率分布直方图的频率计算人数和中位数、平均成绩,

根据百分数定义计算70%分位数，对选项逐个判断.

【详解】对于A,由(0.005+0.010+0.015+犬+0.0«))、10=1,得x=O.O3O,

所以成绩在区间[80,90)内的学生人数为100x0.030x10=30,故A不正确；

对于B,平均成绩为55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故B正确；

对于C,设中位数为〃，则(0.005+0.010+0.015)x10+0.030(4—80)=0.5,

得a=86.7,故C正确；

对于D,设样本数据的70%分位数约为“分，

则(0.005+0.010+0.015+O.O3)x10+0.040(〃一90)=0.7,解得〃=92.5.

故D不正确.

故选：BC.

11.在边长为4的正方形月BCD中，尸在正方形(含边)内，满足=+则下

列结论正确的是()

A.若点P在80上时，贝I」x+y=l

B.x+y的取值范围为[1,4]

C.若点尸在BE)上时，AP+AC=2xAB+2yAD

221

D.当户在线段8。上时，的最小值为:

36

【正确答案】AD

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则40,0),8(4,0),C(4,4),£>(0,4),设P(m,〃)(九〃w[0,4]),

因为=+

[m=4x

所以(九〃)=x(4,0)+y(0,4),所以,

对于A,由题意可得线段80的方程为x'+y'=4,ye[0,4],

因为点尸在8。上，所以，〃+〃=4,

in=4x

因为<f“，所以m+〃=4(x+y)=4,

[n=4y

所以x+y=l,所以A正确,

\m=4x

对于B,因为｛，所以机+〃=4(x+y),

n=4y

所以x+y=--—,

4

因为也九£[0,4],所以加+〃w[0,8],

所以x+y£[0,2],所以B错误，

对于C,因为AP=(m/),AC=(4,4),所以AP+AC=(m+47+4),

因为2xA8+2yA力=2x(4,0)+2y(0,4)=(8x,8y),｛/,

[n=4y

所以2xAB+2yAD=(2m,2n),

/〃?+4=2m[fn=4

^AP^AC=2xAB+2yAD,则｛,个，得〈一

[〃+4=2〃[n=4

["7=4

因为根+〃=4,所以《不满足，

[n=4

所以AP+AC=2xA3+2)MZ)不成立，所以C错误，

对尸D炉+/=(x+y)2-2孙=1-2孙

，333

i_7Xf£12?1

>J1,当且仅当x=y=5时取等号，

~"6

2,21

所以当户在线段8。上时，上r二一v的最小值为;，所以D正确,

36

故选：AD

A.的定义域是(-1,1)

B./(x)是偶函数

C./(x)是单调增函数

D.若则x<0,或X>1

【正确答案】AC

【分析】根据对数函数确定函数定义域即可判断选项A,利用函数奇偶性定义判断选项B,

结合复合函数的单调性、函数单调性性质即可判断选项C,由单调性解不等式即可判断选项

D.

【详解】解：函数/(x)=j+lnL史的定义域满足手>0,解得-则f(x)的

'/e+11-x1-x

定义域是(-覃)，故A正确；

所以〃-x)==-+ln上三=，--In—/(%),且/(—x)H-/(x),故〃x)是非奇非

e+1l+xe+11-x

偶函数，故B不正确；

由于函数y=J=2二二=1-4,由复合函数单调性可得y=l-1在(-1,1)上为

单调增函数，

又函数y=ln1^=ln-0，*)工=+=一一,由复合函数单调性可得

l-X1-xI1-X)[X-1)

产111,1-2)在(-1,1)上为单调增函数，

所以/(X)是单调增函数，故C正确；

由〃x)是(一1,1)上的单调增函数，且〃0)=W+lnl=L所以可得：

e+122

/(x2-x)>/(0),所以解得上手<犬<0或故D不正确.

故选：AC.

三、双空题

13.已知X的范围为{5,7,9},且每个随机变量对应概率相等，(1)P(4<X<6)=；(2)

若y=5X+l,则尸(丫<46)=.

【正确答案】;|I2

【分析】分析符合题意的x,y取值情况再计算概率.

【详解】Xw{5,7,9}且4Vx<6即X=5,故尸（4<X<6）=g；

,2

Y=5X+1,则y取值为16,36,46,故尸（丫<46）=§.

,,12

故葭5-

四、填空题

14.已知函数/"卜［'：?；'。，，”是定义在（0,+s）上的增函数，则°的取值范围是

【正确答案】［2,3）

【分析】由已知，要想保证函数/（x）是定义在（0,+8）上的增函数，需满足分段函数两部分

在各自区间上单调递增，然后再满足连续单增，即比较当x=l时，左边函数的最大值小于

等于右边函数的最小值，列式即可完成求解.

【详解】由已知，函数八:一"）：'0<"”是定义为在（0,+句上的增函数，

［X,%>1

则y=（3-a）x在（0,1）上为单调递增函数，y=V在口,”）上为单调递增函数，且

（3-«）xl<l\

3-a>0

所以<a>0,解得2Wa<3,

3-a<\

所以。的取值范围是［2,3）.

故［2,3）

1IX

15.在ABC中，AN=—NC,BM=-MN,AM=xAB+yAC（x,>均大于0）,则一

43y

的值为.

【正确答案】15

【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法则，可表示AM，进而求出X,y的值，即

可求出结果.

【详解】如图所示，在中，AM=AB+BM>

因为8M所以BM=、BN,所以AM=AB+，BN,①

344

在.A3N中，BN=BA+AN，

因为AN=」NC,所以AN=^AC,所以BN=BA+1AC,代入①,

455

得AM=AB+UBA+-AC\=AB--AB+—AC=-AB+—AC9

415J420420

31

因为AM=x48+yAC,所以x=：,y=—,

420

r3

所以二=白20=15,

y4

故答案为.15

五、双空题

⑹已知函数》｛*襄之,

（1）当方程〃x）=f有三个不同的实根，♦=…

（2）当方程/（£）=/有四个不同的实根，且X1,x‘2,X3,匕，满足为<々<*3<*4,则年三

的值是.

【正确答案】0或2##2或012

【分析】（1）画出函数图像直接得到答案；

（2）从图像观察出为,当分别是函数〃x）=log，（0<x<l/1"（x）=log2X（lVx<4）自变

量，%,匕是函数〃%）=/-12工+34（贮4）的两个自变量，代入化简求解.

c1,/dflogx,l<x<4

【详解】当0<x44时，/（力=|1幅乂=[°氏"9"1

[-logox,0<x<llog0—,0<x<l

、x

画图为

观察图像发现当，e(O,2)时，有4个不同的实根，区,々，*3，匕，并且不

百多分别是函数/(x)=log2g(0<x<l)和/(x)=log2x(lVx<4)自变量，

所以/&)=1。82,=陛2々=f(3)

x\

11

所以一;

为

匕，匕是函数/(X)=X2—12X+34(X")的两个自变量，

又因为〃三)=〃％)

所以三+X&=2x6=12

故土土土=12

不当

故0或2；12

六、解答题

17.(1)当“<0时，求2时+府+3"的值.

(2)化简求值.笔等葭经+6log,2-log片

1g4+1g25-9

【正确答案】(1)0；(2)11.

【分析】(1)根据指数的运算，代入计算即可得到结果；

(2)根据对数的运算，代入计算即可得到结果.

【详解】(1)因为。<0,所以2同++=-2a-a+3a=Q

(2)原式=义置笞殳皂竺+61og32-61og32+2=ll

18.为了更好了解新高一男同学的身高情况，某校高一年级从男同学中随机抽取100名新生,

分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：[160,165),[165,170),

[170,175),[175,180),[180,185]进行整理，如下表所示:

组号分组频数

第1组[160,165)5

第2组[165,170)35

第3组[170,175)30

第4组[175,180)20

第5组[180,185]10

合计100

(1)在答题纸中，画出频率分布直方图：

“频率

组距

0.08----；----；----j-----1----；----；----:

0.07——二——二——二・二——\

0.06-------------[——]--------------]

।।।।।।।

0.05---H--!——；-——•!——I——{——\

IIIIIII

0.04——I——I————!——\

।।।।।।।

0.03-----।1---4।---।1-----1।----r।----!।---；।

0.02-----1----!---!-----»----r----1---；

।।।।।।।

0.01——!——[-]——j——!——\

।।।।।।।

LA-_1________!_____!_________I________!_______!________________!_>

o160165170175180185身高(cm)

(2)若在第3,4两组中，用分层抽样的方法抽取5名新生，再从这5名新生中随机抽取2名

新生进行体能测试，求这2名新生来自不同组的概率.

【正确答案】(1)作图见解析

(2)i

【分析】(1)根据表中数据补全频率分布直方图即可求解；

(2)根据分层抽样先求出两组抽取的人员数并对这5名人员进行标记，然后列出所有的基本

事件个数，根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】(1)频率分布直方图如下图所示：

(2)因为第3,4组共有50名新生，所以利用分层抽样从中抽取5名，每组应抽取的人数

分别为：第3组：30x5=3名，第4组：20x卷=2名，

设第3组抽取的3名新生分别为A,4,第4组抽取的2名新生分别为0，B2.

从这5名新生中随机抽取2名新生，有以下10种情况：{&&},{4,4}，{4，团，{A，修,

{4闯,{&，4}，{4，&},伏,4},{&4},酒,用}

这2名新生来自不同组的情况有以下6种:{A，4}，{A，层}，{4闯,{&,且},{4,4},

{A，为},故所求的概率P=[.

19.已知向量a=(1,1),6=(2,-3),当A:为何值时，

(1)求,一2目和卜+目

(2乂“-26与〃+〃平行？平行时它们是同向还是反向？

【正确答案】⑴卜-沙卜痴，|a+.=>/13

(2)平行,反向.

【分析】(1)直接由向量的数乘，坐标加减法运算，以及向量模的计算公式求解：

(2)利用向量平行的条件即可求出女的值，再判断结论即可.

【详解】⑴向量。=(1,1),6=(2,-3),

/.a—2h=（—3,7）,。+/?=（3,-2）,

1-2'=,9+49=屈,

|«+Z?|=^/9+4=^A3.

（2）若（版-26）与@+力）平行，

则存在实数2,使得（版-劫）=2（4+人），因此仁二:，解之得左=一2,

这时/a-2b=（-6,4）=-2（3,-2）=-2（a+b）,

所以它们平行，且反向.

20.设函数/（力="+（2左+1）武（〃>0且awl）是定义域为R的奇函数.

⑴求实数人的值；

⑵若川）《，8（力=/+/、+（加+1）./（力，且g（x）在（3,7］上的最小值为9求实数

m的值.

【正确答案】（1）-1

⑵I

【分析】（1）根据奇函数"0）=0求解即可；

（2）根据〃1）=［求出a的值，再求出8（力=22、+2小+（加+1乂2*-2-）利用换元法得到

g（f）=/+（m+1"+2,再分为帆<2时，和加22时两种情况求解即可.

【详解】（1）“力是定义域为R的奇函数，

.•■/（o）=o,

:.2+2k=0,即％=-1,

当我=—1时，/（x）=aA—a',

即〃-x）=d*一优=一（优—/"）=一〃刈,符合条件.

故k二-1；

3

(2).f^=a-a-'=-9

.'.a=2,。=一;(舍)，

故g(x)=2"+22,+(加+1乂2,一2T),

令f=2-2-3

/=2、-2一'是单调递增函数，

..43

.%W-1,故f«——,

:.g(?)=/+(+1)1+2,

函数图象的对称轴为/=-等，

o31a

①当，w<2时，g(-r)mi„=--1(w+l)+2=-,解得相=］.

②当，让20寸，g(x)mjn=(-怨)+W+1)［怨)+2=g,

解得加=±庭-1,不符合〃后2,

3

综上，ni=~.

21.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊

兹・布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数/(x),存在一个点方,使得

/($)=%,那么我们称该函数为“不动点”函数，而称而为该函数的一个不动点.现新定义:

若与满足/'(%)=-%，则称/为/(x)的次不动点.

(1)判断函数/(x)=f-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理

由

⑵已知函数g(x)=；x+l,若“是g(x)的次不动点，求实数〃的值：

(3)若函数〃(x)=bg|(4'-"2')在［()内上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数。的取值

2

范围.

【正确答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和T；

2

(2)a=--；

(3)[0,1].

【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.

(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.

(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.

【详解】(1)依题意，设与为“X)的不动点，即/伍)=与，于是得其-2=%,解得x0=2

或％=T,

所以/(x)=/-2是“不动点”函数，不动点是2和T.

(2)因g(x)=；x+l是“次不动点”函数，依题意有g(a)=—%即;显然a<0,

2

解得。=-丁

所以实数。的值是

(3)设办"分别是函数a(x)T°g：(4V-62')在［0,1］上的不动点和次不动点，且〃M唯一,

由/?(加)=%得：logj4'"-6-2'")=5,即”一儿2'"=(；)"',整理得：h=2m-^,

令9⑺=2，”-3，显然函数0的)在［0,1］上单调递增,则8(咻而=奴0)=0,

77

。(⑺2=奴1)="则

由/?(〃)=-〃得：1叫(4"2")=-"，即4"-62"=2",整理得：b=2"-l,

2

令〃(〃)=2"-1,显然函数〃㈤在［0,1］上单调递增，〃(，7)向„=〃(0)=0,=

则0W6W1,

综上得：04641,

所以实数b的取值范围［0,1］.

思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识

和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.

22.已知函数〃x)=ln(d-“(其中。，beR且。*0)的图象关于原点对称.

⑴求。,h的值;

(2)当〃〉0时，

①判断y=/（e'）在区间（0,+?）上的单调性（只写出结论即可）；

②关于X的方