上海市杨浦区2023-2024学年上学期期末质量调研九年级数学模拟试卷

杨浦区2023-2024学年度第一学期期末质量调研

初三数学模拟试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y=6zx2+bx+cB.y=（%—I）2—%2;C.y=5x2;D.y=*

2.在RtAABC中，ZC=90。,BC=4,4C=3,那么乙4的三角比值为|的是

A.sinAB.cosTlC.tanA;Dcot/.

ADa

3.如图，已知a//M/c,器=£，下列选项中错误的是（）

AD3BC3AB2八BC3

AA.——=一；B.——=-；C.——=-；D.——二一.

AF5CE2EF3BE5

4.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3,它把物体从地面点Z处送到离地面3米高

的B处,那么物体从点A到点8所经过的路程为

A.3JIF米；B.2丽米；C.屈米；D.9米.

5.已知非零向量6、c,下列条件中，能判定向量。与向量〃方向相同的是（）

A.a//c>b//cB.卜|=2愀C.a+b=0D.a=3c>b=2c

6.如图，在.ABC中，。是边BC上的点（不与点3,C重合）.过点。作QE/AB交

AC于点E；过点。作。尸〃AC交AB于点尸.N是线段正上的点，BN=2NF；

M是线段OE上的点，DM=2ME.若已知CMN的面积，则一定能求出（）

C.石苗的面积D.△£）色的面积

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

r-.八14x-y

7.已知一=一，nrl则——-=______.

y3y

8.计算：2（a—q―；（3a—»=.

Ap_Rp

9.已知尸是线段AS的黄金分割点，且”>即,那么外,的值为.

BP

10.两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5,则这两个三角形面积之比为.

11.如果二次函数y=-I）/+%+血2-1的图像经过原点，那么m=.

12.已知抛物线丁=加一2/数+2（0>0）经过点（-1,弘），（2,%），试比较％和力的大

小：％乃•（填“>”，或“="）

11」自cos60°-sin60°

13.计算：------------=___________.

cot30°-tan45°

14.已知在△ABC中，AB=10,BC=16/B=60°,那么AC=.

15.小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是

抛物线.点A距离地面1.6m,当球到。4的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m.那么

16.如图，已知G是.ABC重心，过点G作GO〃AC交边A3于点。，作GE|A3交

边AC于点E,如果四边形AZ5GE的面积为2,那么,A3C的面积是.

BC

第16题图

17.如果一个三角形的两个内角a与尸满足2a+，=90。，那么我们称这样的三角形为“倍

角互余三角形”.已知在Rtz^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5,点。在边3c上，

且是"倍角互余三角形"，那么8。的长等于.

18.如图，在Rt/VLBC中，ZABC=90°,平分/ACB交AB于点£>,过。作

DE〃BC交AC于点、E，将」）EC沿OE折叠得到J死尸，。/交AC于点G.若

第18题图

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

在平面直角坐标系x。/中，点Z（1,m）、B（3,〃）在抛物线,=改2+笈+2上.

（1）如果6=〃，那么抛物线的对称轴为直线；

（2）如果点2、8在直线y=x-1上，求抛物线的表达式和顶点坐标.

20.（10分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,且BC=3AD,过点A作

分别交3C、BD于点、E、F,若AB=a,BC=Z?.

（2）求作8尸在小6方向上的分向量.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图

中表示结论的分向量）

21.(10分)如图，已知在4ABe中，CD1AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tanzB=|,

点E是边BC的中点.

第21题图

⑴求边AC的长；

(2)求4EAB的正弦值.

22.(10分)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱Q4垂直地面OB,支架。与Q4交

于点A,支架CGLCD交Q4于点G,支架OE平行地面。8,篮筐所与支架DE在同一

⑴求/G4c的度数.

⑵某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在髡子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处,

那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由.

(参考数据：sin32°x0.53,cos32°®0.85,tan32°®0.62)

23.（12分）如图，已知△AOE的顶点E在△ABC的边8C上，OE与相交于点RZ

FEA=/B,ZDAF=ZEAC.

(1)求证：AE2=AF'AB-,

（2）求证:DF=CE

DECB

24.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x+3与无轴交于A,3两点（点

8在点A的右边），点A坐标为（1,0）,抛物线与y轴交于点C,SAABC=3.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点尸（%,y）是抛物线上一动点，且无＞3.作PNL2C于N,设PN=d,求d与x

的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点凡连接在直线A尸上

取点E,连接PE,使PE=2BF,且NPEF+NBFE=180°,请直接写出尸点坐标.

25.(14分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AZ)=1,点E在边48上(点E与端点A、

8不重合)，联结。E,过点。作。ELDE,交BC的延长线于点R联结ER与对角线

AC、边CD分别交于点G、H.设AE=x,DH=y.

(1)求证：AADEsACDF,并求/£阳的正切值；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域;

(3)联结8G,当△BGE与△。即相似时，求尤的值.

备用图

参考答案

一、选择题

l.C2.B3.C4.A5.D6.【答案】D

FBFD

【分析】如图所示，连接ND,证明得出一=——，由已知得出

EDEC

NFBFFDNF

——=—,则一=——，又/NFD=/MEC,则NFD^MEC,进而得出

MEDEECME

ZMCD=/NDB‘可得MC〃ND’由题意得出S已吹=京曲=京_即可求

解.

【详解】解：如图所示，连接N。,

•：DE〃AB，DF//AC,

：.ZECD=ZFDB,ZFBD=ZEDC,ZBFD=NA,NA=DEC.

.FB”EDC,ZNFD=ZMEC.

.FBFD

"EDEC'

•：DM=2ME，BN=2NF,

：.NF=-BF,ME=-DE,

33

.NF_BF

"ME~DE'

.FDNF

"EC~ME'

又,：/NFD=/MEC,

：xNFI4MEC.

ZECM^ZFDN.

•/ZFDB=ZECD

：.ZMCD=/NDB.

:.MC〃ND.

・q=q

•,uMNC-°MDC•

・：DM=2ME,

•C_J_Q_J_V

,,°EMC_2UDMC_2”.MNC.

二、填空题

1f5f—1

7.8.a--b.9.10.16：25.11.-412„>

732

13.--.14.1415.416.917.2或曳二生旦18.【答案】之互

2557

【解析】

【分析】过点G作GMLDE于证明-OGES.CGD,得出。G?=GExGC，根据

AD//GM,得挺=工=丝，设GE=3,AG=7,EM=3n,则DM=7〃，则

GE3ME

EC=DE=10n,在RtZkOGM中，GM2=DG2-DM2在RtZ\GME中,

39

GM-=GE2-EM2，则DG--DM~=GE2-EM2，解方程求得〃=：，则EN=—

44

GE=3,勾股定理求得GM,根据正切的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点G作GMLOE于

：。平分/71。8交45于点。，DE//BC

/.Z1=Z2,N2=N3

Z1=Z3

ED=EC

•••折叠，

/3=/4,

AZ1=Z4,

又,:ZDGE=ZCGD

：.一DGEs_CGD

DGGE

~CG~~DG

:.DG2=GExGC

VZABC=90°,DE//BC,则ADLDE,

：.AD//GM

.AGDM

=——,/MGE=ZA4,

"~GEME

..AGI_DM

・GE~3~ME

设GE=3,AG=7,EM=3n,则DM=7〃，则£。=。£=10〃,

DG2=GExGC

DG2=3x(3+10/7)=9+30n

在RtADGM中，GM2=DG2-DM2

在RtZ\GME中，GM2=GE2-EM2

•••DG2-DM2=GE2-EM2

即9+30〃-(762=32-(3〃)2

3

解得：n=-

4

9

:・EM=—,GE=3

MF4_3^

tanA=tanZEGM=-----

MG3A/7-7

三、解答题

19.解（1）直线x=2；

(2)•・•点Z(l,m)、B(3,〃)在y=x—i轴上，：.m=0,n=2.

ftz+Z?+2—0,aLy=x2-3x+2.顶点(？,--).

[9a+3/?+2=2.b=-3.24

…17-2-1-

20.【答案】(1)BD=—b—a,AF=—br—a

393

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)利用向量的表示方法，由5。=氏4+4。即可求出80,利用平行线分线段

成比例，求出=即可求出AF；

(2)过点尸作6尸〃5。交AB于点G,EH〃人3交于点"，则BG、28即为所

求.

【小问1详解】

解：AB=-BA

:.BD=BA+AD=-AB+AD

AB=a,BC=b,BC=3AD

:.BD=-AB+AD=-AB+-BC=-a+-b=-b-a

333

AD//BC,AE//DC

，四边形ADCE是平行四边形，AD=EC,AE=DC

BC=3AD,

BC=3EC,

:.BE=2EC,

AD=EC,

：.BE=2AD,

AD//BC,

ADF00,EBF

.AF-1

,BE~FEF'

AF=-AE,

3

AE^DC,

:.AF=-AE=-DC=-(DA+AB+BC)=-(-AD+AB+BC],

333、'3V)

AB=BC=b,BC=3AD,

AF--BC+AB+BC\^-\-BC+AB\^-\-b+a\^-b+-a,

3(3J3UJ3UJ93

【小问2详解】

解：如图所示，过点口作G/〃BC交AB于点G,FH〃AB交BC于点、H,

BF在a、〃方向上的分向量如图所示，BG、28即为所求；

【答案】(1)275；(2)汉耍

21.

29

22.【答案】(1)58°

(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析

【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；

(2)延长0AM交于点"，根据题意得出乙位加=32°,解RtAADM,求得AM,根据

OM=OA+AMt^3比较即可求解.

【详解】(1)：CG±CD,

-ZACG=9Q°,

・NAGC=32。，

-NG4c=90°—32°=58°

(2)该运动员能挂上篮网，理由如下.

如图，延长°4，区》交于点M,

-OA±OB,DE//OBf

・ZDMA=9Q\

又「ZDAM=ZGAC=58°,

-ZADM=32°,

在RtZkADM中，AM=ADsin32°«0.8x0.53=0.424,

•OM=04+AM=2.5+0.424=2.924<3,

该运动员能挂上篮网.

23.【分析】(1)利用两个角相等证明凡得处里，即可证明结论；

AFAE

(2)首先证明△ZMEs/ic48,得堡1薯I,/D=/C,再证明4Ps△CAE,得

BCAC

此等量代换即可.

ECAC

【解答】证明：(1);NFEA=NB,ZBAE=ZEAF,

.'.△BAESAEAF,

•.•-A-E--A-B-,

AFAE

C.A^^AF'AB,

(2)；NDAF=/CAE,ZFAE^ZFAE,

：.ZDAE^ZCAF,

,：ZFEA=ZB,

:ADAEsACAB,

.DEAD

ND=NC,

'"BC"AC

■:NDAF=/EAC,

:.△D^FsXCAE,

•.•-D-F--A-D-,

ECAC

•.•-D-E--D-F-,

BCEC

•.•-C-E-~-D--F.

BCDE

24.【解答】解：(1):抛物线尸小+匕龙+3与y轴交于点c,

当x=0时，y=3,

：.C(0,3),

即OC=3,

VSAABC=3,

.•，XA8XOC=3,

2

即LBX3=3,

2

：.AB=2,

又(1,0)且点B在点A的右边，

：.B(3,0),

把A点和B点坐标代入抛物线y=aj?+bx+?>,

得［a+b+3=0,

19a+3b+3=0

解得卜=1,

lb=-4

抛物线的解析式为-4尤+3；

(2)由(1)知，C(0,3),B(3,0),

设直线BC的解析式为y^kx+t,

代入B点和C点的坐标得］3k+t=0,

11=3

解得，k=［

It=3

，直线BC的解析式为y=-x+3,

过点P作PD±x轴交BC延长线于点E,交.x轴于点D,

OC=OB,

.\ZCBO=45O,

又・：NCOB=/PDO=92°,且NC8O=ND3E=45°,

.•.ZPEC=45°,且PNJ_C5,

：.ZNPE=45°,

cosZNPE^=COS45°=",

PE2

:.PN=y~^-PE,

2

设尸(m,m2-4m+3),贝ljE(m,-m+3),

:.PE=n？-4m+3-(-m+3)=m2-3m,

:.PN=d=^~PE=^~(m2-3m)="2m2~3、2-m,

2222

."=亚/一班尤；

22

(3)如下图，过点P作PHLFE于点H,过点C作CILFE于点I,过点B作BJ±FE

于点J,设FE交BC于点K,

NBFE=ZPEH,

■:/PHE=NCIJ=/BJH=9Q)°,

又,：PE=2BF,

:.BJ=LPH,

2

y.'：CP//AH,且C〃/PH,

四边形是矩形，

：.CJ=PH,

又,：/CJI=/BKJ,

：.BJ=^CI,

2

:.BK=LCK,

2

：.K（2,1）,

设直线AF的解析式为y=sx+n,

代入K点和A点的坐标得（2sf=l,

Is+n=O

解得卜=1,

ln=-l

...直线AF的解析式为y=x-1,

设直线PC的解析式为y=x+g,

代入C点坐标得g