2023-2024学年九年级数学中考培优训练第8讲费马点最值模型（解析版）

中考数学几何模型8：费马点最值模型短

名师点睛-----------------------------------------------拨开云雾开门见山

费马尔问题思考：

如何找一点P使它到4ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

BP+AP+CP=BP+PQ+QE>BE

当B、P、Q、E四点共线时取得最小值

费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：

1.如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点；

2.如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。。

费马点最小值快速求解：

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋

转变换.

秘诀：以4ABC任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值、〜

典题探究启迪思维探究重点

例题1.已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。ZAGC=ZAGB=ZBGC=120°.

求证：GA+GB+GC的值最小.

证明：将△BGC逆时针旋转60。，连GP,DB.则ACGB^ACPD；

NCPD=NCGB=12（F,CG=CP,GB=PD,BC=DC,/GCB=/PCD.

；ZGCP=60°,

Z.ZBCD=60°,

△GCP和^BCD都是等边三角形。

NAGC=120°,ZCGP=60°.

A、G、P二点一■线。

ZCPD=120°,ZCPG=60°.

G、P、D三点一线。

AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。

GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

/.G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点

变式练习>>>

1.如图，P是边长为1的等边AASC内的任意一点，求『=B4+PB+PC的取值范围.

解：将ABPC绕点、B顺时针旋转60。得到ABP'C',

易知ABP。'为等边三角形.

从而Q4+PB+PC=上4+尸尸'+P'。2AC'

（两点之间线段最短），从而。2班.

过P作5c的平行线分别交A3、AC于点M、N,

易知MN=AN=AM.

因为在ABMP和NPNC中，

PB<MP+BM®,

PC〈PN+NC②。

又NAPM>ZANM=ZAMN,所以R4<AM③.

①+②+③可得c

t<（AM+BM）+（MP+NP）+NC=AB+MN+NC=l+（AN+NC）=2,

即/<2.综上，f=P4+PB+PC的取值范围为6三/<2.

例题2.已知正方形ABC。内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为应+拓，求正方形的边长.

解如图2,连接AC,把△AEC绕点C顺时针旋转60。，得到△GPC,连接ERBG、AG,

可知△£/（、AAGC都是等边三角形，贝IJE4CE.又FG=AE,

C.AE+BE+CE=BE+EF+FG.

:点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60。所得）.

/•线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、尸两点都在2G上.

设正方形的边长为。，那么

BO=CO=d-a,GC=,GO--——Q.

22

BG=BO+GO=­«+—«.

22

:点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为J5+JM.

a+——-a=6+底,解得a=2.

22

注本题旋转AAEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.

变式练习>>>

2.若P为锐角△ABC的费马点，且/ABC=60。，PA=3,PCM,求PB的值.

【解答】：(1)•：Z.PAB+Z.PBA=\»0°-Z.APB=60°,

Z.PBC+Z.PBA=Z.ABC=60°,

：.Z.PAB=Z_PBC,

5L：Z.APB=Z.BPC=120°,

:.AABPS4BCP,

,PA_PB

"PB~PC'

：.PB2=PA-PC=\2.

.\PB=2^；

例题3.如图，矩形ABC。是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收

费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台私设铺设公路AP、。尸以及尸反之长度和为/,求/的最小值.

【解答】600+5006，线段AiE为最短.

变式练习>>>

3.如图，某货运场为一个矩形场地A8CZ）,其中A8=500米，AD=800米，顶点A,。为两个出口，现在

想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在8c边上（含B,C两点）开一个货物入口并修建三条专用

车道用，PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M,产建在何处时，修建专用车道的费用

最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

连接AM,DM,将△AOP绕点A逆时针旋转60。，得△AP'D',

由（2）知，当P,P',。在同一条直线上时，AP+PM+DP最小值为。N,

在8C上,

当。M_L8C时，0M取最小值，

设D'M交于E,

是等边三角形，

：.EM=AB=500,

；.8河=400,PM=EM-PE^500-4°°叵

_3

:.DE=®AD=40。如,

2_

.,.£(^=40073+500,

，最少费用为10000x(40073+500)=1000000(4«+5)元;

建在3c中点（BM=400米）处，点尸在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500-立）

3

米处，最少费用为1000000（4、,巧+5）元.

例题4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A3C三个顶点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0),C(0,

4«),延长AC到点。，使CD=LC,过点。作。E〃AB交BC的延长线于点E.

2

(1)求。点的坐标；

(2)作C点关于直线。E的对称点R分别连接。F、EF,若过B点的直线>=日+8将四边形COPE分

成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

(3)在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G

点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的

位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证

【解答】解：(1)VA(-6,0),C(0,4英)

：.OA=6,OC=4“，设DE与y轴交于点M

由DE//AB可得△DMC^^AOC,又：CO=Lc

2

AMD__CM__CE^_jL)：.CM=2y/3>MD=3,同理可得EM=3

0A_C0_CA_2_

；.OM=65，二。点的坐标为(3,6«)；

(2)由(1)可得点M的坐标为(0,673)

由。EM=MD,可得y轴所在直线是线段££)的垂直平分线

.,.点C关于直线的对称点尸在y轴上，.•.££)与C尸互相垂直平分

:.CD=DF=FE=EC,二四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心

作直线设与CD、分别交于点S、点T,

可证△FTM经△CSM,：.FT=CS,

"：FE=CD,：.TE=SD,

EC=DF,：.TE+EC+CS+ST^SD+DF+FT+TS,

直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，__

由点2(6,0),点M(0,6“)在直线y=fcc+b上，可得直线的解析式为>=-如计6«.

(3)解法11.,BQ=AQ,：.MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直线MO上找点G使他

到A、8、M三点的距离和最小.至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形

的信息，考虑作旋转变换.

把△绕点8顺时针旋转60。，得到AM。方，连接。。二W(图5),可知△。。方、AMM'B

都是等边三角形，则

又M'Q'=MQ,：.MQ+AQ+BQ=M'Q'+QQ'+AQ.

:点A、的为定点，所以当。、。，两点在线段AM上时，M2+AQ+2。最小.由条件可证明0点总

在AAT上，所以AAT与的交点就是所要的G点(图6).可证OG=L〃G.

2

解法2考虑最小，过。作的垂线交于K,由。8=6,OM=643,可得/8/。=30。,

2

所以QK=1M2.要使工〃。+4。最小，只需使AQ+QK最小，根据“垂线段最短”，可推出当点A、。、

22

K在一条直线上时，AQ+0K最小，并且此时的QK垂直于此时的点。即为所求的点G(图7).

过A点作于则AH与y轴的交点为所求的G点.

由。2=6,0M=6y/3,可得/O8M=60°,ZBAH=30°

在放AO4G中，OG=AQtanZBAH=2百

；.G点的坐标为(0,2百)(G点为线段OC的中点).

例题5.如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、8两点，抛物线y=-f+6x+c过A、

8两点，且与x轴交于另一点C.

(1)求b、c的值；

(2)如图1,点。为AC的中点，点E在线段8。上，且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点求

点M的坐标；

(3)将直线绕点A按逆时针方向旋转15。后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为AACG内一点，连

接B4、PC、PG,分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR,等边△AG。，连接QR

①求证：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

【解答】解：(1):一次函数>=尤+3的图象与x轴、y轴分别交于A、8两点,

:.A(-3,0),8(0,3),

,抛物线y=-d+bx+c过A、5两点，二・c=3解得°2,:.b=-2,c=3.

一9-3b+c=0c=3

（2）,对于抛物线y=---2x+3,令y=0,则-f-2x+3=0,解得x=-3或1,

・,•点。坐标（1,0）,

VAZ）=Z）C=2,・••点。坐标（-1,0）,

,:BE=2ED,.•.点E坐标（-2，1）,

3

2k=-|

-^-k+b=l

设直线以为〉=履+6,把E、C代入得到《3解得,直线CE为y=-当+之,

55

k+b=O

12

y=x-二

由,解得x=l或.,二点M坐标(-丝，旦).

2y=051525

y=-x-2x+3行而

P,

(3)①'.•△AG。，AAPR是等边三角形,

：.AP=AR,AQ^AG,ZQAC^ZRAP^60°,

：.ZQAR=ZGAP,

'AQ=AG

在4QAR和小GAP中，，/QAR=/GAP，

AR=AP

：./\QAR^/\GAP,:.QR=PG.

②如图3中，*/PA+PG+PC^QR+PR+PC^QC,

...当Q、R、P、C共线时，B4+PG+PC最小，

作QN_L0A于N,AMLQC于M,PK±OA于K.

,：ZGAO=60°,A0=3,

；.AG=QG=AQ=6,NAGO=30。，

：/QGA=60°,.,.NQGO=90°,.,.点0坐标（-6,3M）,

在RTAQCN中，QN=3M，CN=7,/QNC=90。,

QC='QM+NC2=2任'

VsinZACM=M=NQ,„=6、57,

ACQC19

•..△APR是等边三角形，ZAPM=60°,;PM=PR,cos30°=M,

AP

：.AP=PM=RM=^m,；.MC=JA「2：.PC=CM-PM=,

1919"AC-AM1919

vPK=CP=CK；：.CK=^-,PK=12匹,：.OK=CK-CO=^~,

QNCQCN191919

.•.点尸坐标（--L,空巨）.

1919_

...以+PC+PG的最小值为2万，此时点P的坐标（--L,三返）.

1919

达标检测------------------------------------------------领悟提升强化落实

1.如图，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点、E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以4。、AM为边构造等边△ADR等边△AMG,连接FG,

易证：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

过尸作FHLBC交BC于H点、,线段FH的长即为所求的最小值4+.

2.如图，尸为正方形ABC。对角线8D上一动点，若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为（）

B.V2+V6C.4

【解答】解：如图将AABP绕点A顺时针旋转60。得到

当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC^.

理由：'：AP=AF,ZR\F=60°,

C.^PAF是等边三角形，

：.PA=PF=AF,EF=PB,

：.PA+PB+PC=EF+PF+PC,

...当E、F、P、C共线时，必+P8+PC最小，

作交D4的延长线于M,ME的延长线交CB的延长线于N,则四边形A8NM是矩形,

在中，VZAf=90°,ZMAE=30°,AE=2,

:.ME=1,AM=BN=M，MN=AB=2,EN=L

£C=7EN2+NC2=712+（V3+2）2=^8+4^3

=7（V6）2+2-V6PV2+（V2）2=V（V6+V2）2

=&+料.__

-,.E4+PB+PC的最小值为遥+加.

故选：B.

3.如图，四边形ABC。是菱形，AB=4,且/ABC=/ABE=60。，M为对角线8。(不含8点)上任意一

点，将8M绕点8逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM,CM,则AM+8M+CM的最小值为4R_.

【解答】解：如图，连接MN,：△ABE是等边三角形,

:.BA=BE,NABE=60°.

,//MBN=60°,

：.ZMBN-/ABN=ZABE-/ABN.

即乙M8A=NM3£.

又,：MB=NB,

:.丛AMB”丛ENB（SAS）,

:.AM=EN,

■:NMBN=60°,MB=NB,

...△3MN是等边三角形.

:.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短"，得EN+MN+CM^EC最短

当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长,

过E点作EFVBC交CB的延长线于F,

：.NEBF=18。。-120°=60°,

；BC=4,

；.BF=2,EF=2&,在RtAE尸C中，

\"EF-+FC2=EC2,

EC=4氐

故答案为：4M

4.将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点3、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上,

ZABC=30°,点尸为平面内一点.

(1)30度;

(2)如图，将AAPC绕点C顺时针旋转60。，画出旋转后的图形(尺规作图，保留痕迹)；

(3)AP+8P+CP的最小值为1°灼.

—3—

【解答］解(1)・・•点A在5C的垂直平分线上.

：.AB=ACf

：.ZABC=ZACB,

ZABC=30°,

・•・ZACB=30°.

故答案为30°.

(2)如图△C4P就是所求的三角形.

(3)如图当3、P、P、共线时，的值最小,

此时BC=5,AC=CA'=^fi,8A，=JBC：2+CA，2=1。F.

故答案为竺强.

3

5.如图，四个村庄坐落在矩形ABC。的四个顶点上，AB=10公里，BC=15公里，现在要设立两个车站E,

F,则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为(15+10退)公里.

【解答】解：如图1,将△A班绕A顺时针旋转60。得AAGH,连接由/、EG,将△。/C绕点。逆时针

旋转60。得到△。尸M,连接CAf、FF,

由旋转得：AB=AH,AE^AG,ZEAG=ZBAH=60°,BE=GH,

：.AAEG和4ABH是等边三角形，

：.AE=EG,

同理得：△OFF和△£>CM是等边三角形，DF=FF,FC=FM,

...当H、G、E、F、F、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD如图2,

图2

,:AH=BH,DM=CM,

HM是AB和CD的垂直平分线，

：.HM±AB,HMLCD,

VAB=10,

AABH的IWJ为

EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF+FM=HM=15+5^^+5«=15+10^3，

则EA+EB+E尸+FC+F£)的最小值是(15+10«)公理.

故答案为：(15+10V3).

6.已知，在△ABC中，ZACB=30°

(1)如图1,当AB=AC=2,求8C的值；

(2)如图2,当A8=AC,点P是AABC内一点，且B4=2,PB=^1，PC=3,求/APC的度数；

(3)如图3,当AC=4,AB=V7(CB>CA),点P是4ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为—返

AA

图1图2图3

【解答】解：(1)如图1中，作APLBC于尸.

'：AB^AC,AP±BC,A

±xc

：.BP=PC,

在R3ACP中，'：AC=2,ZC=30°,

.•.PC=AC・COS3(F=M，B

图1

：.BC=2PC=2-/j.

(2)如图2中，将^APB绕点A逆时针旋转120。得到△QAC.

'：AB=AC,NC=30。，

0

.\ZBAC=120°,乐

：.PA=AQ^2,PB=QC=J^1,/1\

ZPAQ=12Q°,

，尸。=2T，/

PQ^+PC2=℃2,B

；.NQPC=90°,图2

NAPQ=30°,

ZAPC=300+90°=120°.

(3)如图3中，将4BCP绕点C逆时针旋转60。得到△CB'P,连接尸P,AB',则NAC®=90。.

PA+PB+PC^PA+PP'+P'B',A

...当A,P,P',9共线时，B4+P8+PC的值最小,最小值=A9的长，/N

由A2=0,AC=4,/C=30。，可得BC=CQ=

Bn77(

AB，=A2/2=

-1-7CCBV43-和二7

故答案为/就.

«./

\：/

R

7.如图/,在△ABC中，NACB=90。，点P为AABC内一点.

(1)连接尸3,PC,将ABCP沿射线CA方向平移，得到△加£,点8,C,尸的对应点分别为点。、4

E,连接CE.

①依题意，请在图2中补全图形；

②如果BP_LCE,BP=3,AB=6,求CE的长

(2)如图3,以点A为旋转中心，将△AB尸顺时针旋转60。得到△AMN,连接以、PB、PC,当AC=3,

AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.

及及及尹

【解答】解：(1)①补全图形如图所示

②如图，连接30、CDNNN/

「△BCP沿射线CA方向平移，得到△ZME,\\\\\/

\'》

.•・四边形8CA。是矩形，/；\^

•3&IAAFAc

c

:・DE=BP=3,

VBP±CE,BP//DE,

：.DEA.CE,

・••在RtADCE中，CE=£j2g2—_^2=3;

(2)证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△A8P顺时针旋转60。得到△AMN,连接8N.

由旋转可得，公AMNQAABP,

:・MN=BP,B4=AM,ZPA,M=60°=ZBAN,AB=AN,B___________________“

：.APAM,△ABN都是等边三角形，R/

：.PA=PMf\\//

：.PA+PB+PC=CP+PM+MN,\\少//

当AC=3,