福建省莆田某中学2023-2024学年九年级上册数学期末预测试题含解析

福建省莆田某中学2023-2024学年九上数学期末预测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.若点(玉,乂)、(々,当)都是反比例函数图像上的点，并且则下列结论中正确的是()

A.>X2B.x、<x2

c.y随x的增大而减小D.两点有可能在同一象限

2.为了美化校园环境，加大校园绿化投资.某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设

这两年用于绿化投资的年平均增长率为x,则()

A.18(l+2x)=33B.18(1+x2)=33

C.18(1+x)2=33D.18(1+x)+18(1+x)2=33

3.已知关于x的方程,a2+—+0=0,若a+b+c=0,则该方程一定有一个根为()

A.-1B.0C.1D.1或-1

4.在平面直角坐标系中，把抛物线尸2/绕原点旋转180。，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线

的函数表达式为()

A.y=2(x-I)2-2B.y=2(x+l)2-2

C.j=-2(x-I)2-2D.j=-2(x+l)2-2

5.已知地球上海洋面积约为361000000km2,361000000这个数用科学记数法可表示为()

A.3.61X106B.3.61X107C.3.61X108D.3.61X109

6.如图，。。的半径为5,△ABC是。O的内接三角形，连接OB、OC.若NBAC与NBOC互补，则弦BC的长为

A.3gB.4百C.573D.6G

7.3的倒数是()

A.3B.-3C.-D.--

33

8.如图，在。O中，弦BC=L点A是圆上一点，且NBAC=30。，则的长是（）

11

—JID.—71

26

9.下列四对图形中，是相似图形的是（

A.任意两个三角形B.任意两个等腰三角形

C.任意两个直角三角形D.任意两个等边三角形

10.在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）:

46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（）

A.42B.45C.46D.48

二、填空题（每小题3分，共24分）

__a+b7a

11.已知---=—»则一=_________.

a-h3b

12.如图，已知二次函数y=a/+必+c（存0）的图象与x轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点8在（0,-2）和（0,

-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=l.下列结论：其中正确结论有

①a方c>0；②16a+4b+c<0；(3)4ac-b2<8a；④-Va<一

13.二次函数y=依2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+">,N=a-则A/、N的大小关系为〃N.(填

“〉”、“二”或“<

14.白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有

个飞机场.

15.某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品数见表：

次品数012345

箱数5014201042

该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%,则判定该箱为质量不合格的产品箱.若在这10()箱中随机抽取一箱,

抽到质量不合格的产品箱概率为

16.方程组|》一]的解是_____.

2x—y=4

17.已知圆锥的底面圆半径是1,母线是3,则圆锥的侧面积是.

18.一元二次方程Y=4的解是

三、解答题(共66分)

19.(10分)已知关于x的方程*2-6*+*=0的两根分别是xi、X2.

(1)求A的取值范围；

11

(2)当一+—=3时，求A的值.

王X]

20.(6分)如图，。的直径垂直于弦A8,垂足为£,尸为。。延长线上一点，且NCBF=NCDB.

(1)求证：FB为。的切线；

(2)若AB=8,CE=2,求。0的半径.

21.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知AA3C三个顶点的坐标分别是4(2,2),8(4,0),C(4,T).

(1)以点。为位似中心，将AABC缩小为原来的!得到M4G，请在了轴右侧画出A4MG；

(2)幺64的正弦值为.

22.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，ABAC=90°,AB^AC,点〃为边AB的中点，点E在CH的

延长线上，且AE_L3£.点尸在线段上，且8E_LCE,垂足为G.

⑴若BE=AF,且防=3,BE=4,求的长;

(2)求证：BF+2EH=CE.

23.(8分)为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会.某公司研发生产一种新型智能环保

节能灯，成本为每件40元.市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y(元)与每天的销售量为x(件)的关系如

图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元.

(1)求每件销售单价y(元)与每天的销售量为x(件)的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

(2)设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？

(3)在试销售过程中，受国家政策扶持，每销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m(mW40)元.在获得国

家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是(直接写出结果).

24.（8分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回，再随机摸

出一个小球.

（I）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；

（D）求两次取出的小球标号相同的概率；

（HI）求两次取出的小球标号的和大于6的概率.

25.（10分）某网点尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的

商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量n（件）n=50-x

销售单价m（元/件）zn=20+—x

2

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件?

（2）求网店第几天销售额为792元？

（3）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；这30天中第几天获得的利润最大？最

大利润是多少？

12

26.（10分）如图，一次函数^=丘+〃他，b为常数，存0）的图象与反比例函数丫=--的图象交于A、B两点,且与x

x

轴交于点C,与y轴交于点。A点的横坐标与〃点的纵坐标都是3.

⑴求一次函数的表达式；

（2）求△A08的面积；

⑶写出不等式kx+b>-—的解集.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C,然后根据/<0<%即可判断两点所在的象

限，从而判断D,然后判断出两点所在的象限即可判断B和A.

【详解】解:•••y=-9中,-6<0,

X

...反比例函数丫=-9的图象在二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，故C错误；

X

•••X<0<%

...点（%,另）在第四象限，点（%,先）在第二象限，故D错误；

%>*2，故B错误，A正确.

故选A.

【点睛】

此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键.

2、C

【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决.

【详解】由题意可得，

18（1+x）2=33,

故选：C.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的

增长率问题.

3、C

【分析】由题意将a+b+c=0变形为c=-a-b并代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可.

【详解】解：依题意得。=—a—'

原方程化为ar?+bx-a-b=O>

即Q（X+1）（X—1）+优X—1）=0,

，（x-l）（⑪+〃+人）=°,

・・・x=l为原方程的一个根.

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程解的定义.注意掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值.

4、C

【分析】抛物线绕原点旋转180。，即抛物线上的点(x,y)变为(-x,-y),代入可得抛物线方程，然后根据左

加右减的规律即可得出结论.

【详解】解：•••把抛物线绕原点旋转180。，

•••新抛物线解析式为：y=-lxl,

•.•再向右平移1个单位，向下平移1个单位，

・••平移后抛物线的解析式为尸-l(x

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键.

5^C

【解析】分析：科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成

a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对

值小于1时，n是负数.

解答：解：将361000000用科学记数法表示为3.61x1.

故选C.

6、C

【分析】首先过点O作OD_LBC于D,由垂径定理可得BC=2BD,又由圆周角定理，可求得NBOC的度数，然后根

据等腰三角形的性质，求得NOBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案.

【详解】过点O作OD_LBC于D,贝IJBC=2BD,

•:△ABC内接于OO,NBAC与NBOC互补，

/.ZBOC=2ZA,ZBOC+ZA=18()°,

.•.ZBOC=120°,

VOB=OC,

.,.ZOBC=ZOCB=(180°-ZBOC)=30°,

•••(DO的半径为5,

:.BD=OB«cosZOBC=5x—=,

22

.♦.BC=5百,

故选c.

A

【点睛】

本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.

7、C

【解析】根据倒数的定义可知.

解：3的倒数是1.

3

主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，o没有倒数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

8、B

【解析】连接OB,OC.首先证明AOBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可.

【详解】解：连接OB,0C.

VZBOC=2ZBAC=60°,

VOB=OC,

/.△OBC是等边三角形，

.•.OB=OC=BC=L

故选B.

【点睛】

考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

9、D

【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案.

【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；

B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；

C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；

D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出.

10、C

【解析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4,第5位两数的平均数即为本组数据的

中位数.

【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48

.•.中位数为竺士竺=46.

2

故答案为：46.

【点睛】

找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即

为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

5

11、-

2

【分析】根据比例的性质，化简求值即可.

3（a+/?）=7（a—

:.3a+3b=7a—7b

:.4a=10b

a5

"~b~2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题主要考察比例的性质，解题关键是根据比例的性质化简求值.

12、①

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与X轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可.

【详解】抛物线开口向上，因此。>0,对称轴为x=l>0,a、b异号,故bVO,与y轴的交点8在（0,-2）和（0,

-1）之间，即-2Vc<-1,所以abc>0,故①正确；

抛物线x轴交于点A（-1,0）,对称轴为户1,因此与x轴的另一个交点为（3,0）,当x=4时，y=16a+46+c>0,所

以②不正确；

一h~

由对称轴为X=l,与y轴交点在（0,-2）和（0,-1）之间，因此顶点的纵坐标小于-1,即“C。V-L也就

4a

是4ac-b2V-4a,又a>0,所以4ac-"V8a是正确的，故③是正确的；

由题意可得，方程o^+Bx+cR的两个根为xi=-1,M=3,又xi・X2=9,即c=-3a,而-2<cV-l,也就是-2V-3a

a

12

V-1,因此—VaV—,故④正确；

33

抛物线过（T,0）点，所以a-b+c=0,即。=方-c,又。>0,即b-c>0,得力〉c,所以⑤不正确，

综上所述，正确的结论有三个：①③④，

故答案为：①③④.

【点评】

本题考查了二次函数的图象和性质，掌握。、从c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正

确判断的前提.

13、<

【解析】由图像可知，当％=-1时，y^a-b+c>0,当x=2时，y=4a+2b+c<0,然后用作差法比较即可.

【详解】当》=—1时，y^a-h+c>0,

当x=2时，y=4a+2b+c<0,

M-N=4a+2b—（^a-b）

-4a+2b+c-[a-b+c）<0,

即M<N,

故答案为：<

【点睛】

本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函

数解析式是解答本题的关键.

14、1

【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线.等

量关系为：x(x-l)=10x2,把相关数值代入求正数解即可.

【详解】设共有x个飞机场.

x(x-l)=10x2,

解得玉=5,X2=~4(不合题意，舍去),

故答案为：L

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

4

15、一

25

【分析】由表格中的数据可知算出抽到质量不合格的产品箱频率后，利用频率估计概率即可求得答案.

【详解】解：•••一箱产品的次品数达到或超过6%,则判定该箱为质量不合格的产品箱.

二质量不合格的产品应满足次品数量达到：50x6%=3

抽到质量不合格的产品箱频率为：10^+2=-

10010025

4

所以100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率：—

25

_,4

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率的近似值，随着

实验次数的增多，值越来越精确.

x=3

16、

y=2

【分析】根据二元一次方程组的解法解出即可.

x+y=5①

【详解】解:

2x-y=4②

①+②得:

x=3,

把x=3代入①得：y=2,

x=3

故答案为：\|x=3c.

【点睛】

本题考查解二元一次方程组，关键在于熟练掌握解法步骤.

17、3九.

【解析】••,圆锥的底面圆半径是1,...圆锥的底面圆的周长=2n，则圆锥的侧面积=工*2"X3=3n,

2

故答案为3n.

18、±1.

【解析】试题分析：•••xL4=0

:.x=±l.

考点：解一元二次方程-直接开平方法.

三、解答题(共66分)

19、(1)狂9；(2)2

【分析】(1)根据判别式的意义得到,=G6)2—4A=36-4后0,然后解不等式即可；

x.+x,6

(2)根据根与系数的关系得到X1+X2=6,xiX2=k,再利用」~~-=3得至lj：=3,得到满足条件的k的值.

王々k

【详解】(1)•••方程有两根

:.A=(-6)2—4A=36—4A>0

:,心、

(2)由已知可得，Xl+X2=6,XlX2=k

X+X

•-1J__12_3

x}x2x{x2

6

一二3

k

：.k=2<9

11

.•.当一+—=3时，"的值为2.

玉x2

【点睛】

_b_c

本题考查了根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两根时，%|+%2="«，%,%2=«.也

考查了根的判别式.

20、(1)见解析；(2)r=5

【分析】(1)连接OB,根据圆周角定理证得NCBD=90。，然后根据等边对等角以及等量代换，证得/OBF=90。即可

证得；

(2)首先利用垂径定理求得BE的长，根据勾股定理求得圆的半径.

【详解】(1)连接OB.

「CD是直径，

.,.ZCBD=90°,

又,.，OB=OD,

.*.ZOBD=ZD,

又NCBF=ND,

二ZCBF=ZOBD,

二ZCBF+ZOBC=ZOBD+ZOBC,

/.ZOBF=ZCBD=90o,即OB_LBF,

...FB是圆的切线；

(2)VCD是圆的直径，CD±AB,

ABE-AB^4,

2

设圆的半径是R,

在直角AOEB中，根据勾股定理得：r2=(r-2)2+42,

解得：r=5

【点睛】

本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)叵

10

【分析】(1)连接。4、OC,分别取04、OB、OC的中点即可画出

An

(2)利用正弦函数的定义可知.由sinNAG4=sinNAC8=——,即可解决问题.

AC

【详解】解：（1）连接OA、oc,分别取OA、OB、oc的中点A、4、G，顺次连接A、⑸、G，△△用弓即

为所求，如图所示，

(2)42,2),C(4,-4),3(4,0),

AC=y]CD2+AD2=2V10

ZADC=90°,

AD2Vio

sinZACB

就一2而一记

ZAQi=ZACB,

r.sinZ41G4=sinZACB=噜.

【点睛】

本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出

变换后的对应点.注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型.

22、（1）AD=4y/10;（2）证明见解析

【分析】（1）由勾股定理求出8尸，进而得出AE的长，再次利用勾股定理得出A8的长，最后根据平行四边形的性质

与勾股定理求出AO的长；

（2）设AH=BH=a,根据勾股定理求出C4的长，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出E4的长，进而

得出CE的长，根据ABG”AC4”得出BG=2G”，利用勾股定理求出8G,GH的长，根据ABE/ASGE求

出进而得证.

【详解】（1）解：•••A£_LB£：,BF=AF,且防=3,BE=4,

二由勾股定理知，BF=AF=732+42=5»

:.AE=EF+AF=8,

...由勾股定理知，AB2=BE2+AE2=80,

•..四边形ABC。是平行四边形，4B4C=90°,AB^AC,

二由勾股定理知,A。=3C=7AB2+AC2=V160=45/10；

(2)证明：•.•点，为边AB的中点，ABAC^90°,设47=8〃=。,

A8=AC-2.a)由勾股定理知，CH=Ja?+4a?=#)a，

•；AE1BE,

二E”是AABE斜边AB上的中线，

:.EH=AH=BH=a,

:.CE=CH+EH=a+旧a，

VBF±CE,即ZBGH=ABAC=90°,

,:/BHG=ZAHC,

:.gGH\CAH,

GHBGGHBG

：.——=——,即an——=——,

AHACa2a

二BG=2GH,

:.在RtABGH中，GB2+GH2=BH2=a2>

二解得，GH=—a，GB=-^—a，

55

•.•易证ABE产ABGE,

*BFBE

I•即BF*=GB〜GE、GB+笆

BEGBGBGBGB

•；GE2=(EH-GH)2=a—^a

**.BF=#>a-a，

BF+2EH=非a-a+2a=a+亚a»

:.BF+2EH=CE.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握相似三

角形的判定与勾股定理是解题的关键.

23、（l）y=-^x+70,自变量x的取值范围l（）00WxW2500；见解析；（2）每天的最大销售利润是22500元；见解

析；（3）20WmWL

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

【详解】解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为丫=1«+11,

把（1500,55）与（2000,50）代入y=kx+b得,

‘1500攵+8=55

'2000%+。=50’

k=_____

解得：］100,

8=70

,每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y=~*x+70,

当y245时，-」一x+70\45,解得：xW2500,

■100

...自变量X的取值范围100（）WxW2500；

（2）根据题意得,

1

P=（_y-40）x=—x+70-40x=———x2+30x（尤-1500『+22500,

100100100

,••一-<0,P有最大值，

100

当xV1500时，P随x的增大而增大,

.•.当x=1500时，P的最大值为22500元,

答：每天的最大销售利润是22500元；

（3）由题意得，P=x+70-40+m|x=———x2+（30+m）x,

）100

•・•对称轴为x=50（30+m）,

V1000:^x^2500,

Ax的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大,

50（30+m）22500,

解得：m220,

...m的取值范围是：20WmWL

故答案为：204mWl.

【点睛】

本题主要考查的是一次函数与二次函数的综合应用，关键是根据题意得到一次函数表达式，然后根据条件得到关于利

润与销量的二次函数表达式，进而利用二次函数的性质求最值.

24、（I）画树状图见解析；（II）两次取出的小球标号相同的概率为（皿）两次取出的小球标号的和大于6的概

4

率总

【分析】（I）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果.

（II）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

（m）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：（I）画树状图得：

开始

1234

/Ax/7K

1234123412341234

（ID•.•共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，

41

,两次取出的小球标号相同的概率为7=一；

164

（III）•••共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，

...两次取出的小球标号的和大于6的概率为3弓.

【点睛】

此题考查列表法与树状图法求概率的知识.此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况

数与总情况数之比.

25、（1）第10天时该商品的销售单价为25元/件；（2）网店第26天销售额为792元；（3）J=+15x+500；