河南省金科·新未来2023-2024学年高二年级上册期中考试数学含解析

金科-新未来2023年秋季学期高二年级10月质量检测

数学试卷

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案+的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡

上作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

—7

1.已知复数Z满足2z—z=l+3i,则一二（）

i

A.-1+iB.1—iC.1+iD.-1—i

2.经过点倾斜角为12（）。的直线方程为（）

A."\/3x+y-2>/3—0B.\/3x-y=0

C.x+y/3y-4-0D.x-+2-0

3.己知A（l,2,l）,B（0,l,2）,C（3,l,l）,若平面ABC的一个法向量为“=（x,y,l）,则"=（）

4.若直线4:x+ay—2=0与/2：2x+（/+l）y—2=0平行，则两直线之间的距离为（）

A.>/2B.1C.D.2

2

5.已知向量。=（一2,1,4）1=（T,2"）,设甲：“f>一|”；乙：“向量a力的夹角为锐角”，则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

6.已知圆锥PO（P为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，A3,C为底面圆周

上的三点，且为底面圆的直径，。为PC的中点.若三棱锥O—A5C的外接球的表面积为4），则

圆锥PO的外接球的表面积为（）

7.设△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,。,c,若c=2,且Z?+acosC=（）,则△ABC的面积的最

大值为（）

I

A.4B.2C.1D.一

2

8.如图，在四面体ABC。中，AC=2AB=2CD=2,BC=AD=6若BD=叵,则二面角

2

A.30°B.45°C.120°D.150°

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知正三棱柱ABC-A与G的所有棱长均为2,则（）

A.正三棱柱ABC—4与G的体积为孚

B.正三棱柱ABC-A4G的侧面积为12+26

C.直线AC；与平面A8C所成的角为45。

D.直线AA,到平面BCC}B}的距离为百

10.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机

抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，B表示事件“两次

取出的球上标有的数字之和为5,则（）

21J3

A.P（A）=-B.P（B）=—C.P（A+B）=—D.事件A与8相互独立

31818

11.已知圆M:（x-2）2+（y-2）2=4与直线/:2入+>-攵-2=0相交于C,O两点，O为坐标原点,

则下列说法正确的是（）

(1、3厉

A.直线/过定点T2B.若CD_LQM,则,MC。的面积为、一

8

C.|CD的最小值为20D.AMCD的面积的最大值为2

12.在平行六面体ABC。一AqGO中，AB=AD=AA.==ZA]AD=60°,ZZMB=90°,

若AQumAB+ziAP+pAA,,其中桃,〃,〃£(0,1],则下列结论正确的有()

A.若p=；，则三棱锥。一ABO的体积为定值

B.若〃2=力，则QC_LBD

C.若m=n,则与平面Q4C所成的角的正弦值为日

D.当“+〃=1时，线段QC的长度的最小值为凶

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知4（0,2）,3（3,0）,。（，41—帆）三点共线，则帆=.

14.一组样本数据为l,a,4,5,。,8,若a力是方程|尤一3|=1的两根，则这个样本的方差是.

77r

15.已知圆台。。的体积为才，且其上、下底面半径分别为1,2,若AB为下底面圆周的一条直径，P

为上底面圆周上的一个动点，则PA2+PB2=.

（Q\2

16.设0为坐标原点，4（3,4）,若+丁+―=/（r>（））上存在点p,使得|/科=2俨。|，则

r的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系宜万中，己知A（1,1）,B（3,-1）,C（—1,7）.

（1）求AB边上的高所在的直线方程；

（2）若点尸在直线5c上，且|24|=归身，求点P到直线4B的距离.

18.（本小题满分12分）如图，在正方体A3C£>—4BCQI中，AA=2,七,尸分别为AA”C。的中点.

DFC

(1)求异面直线所与耳力的夹角的余弦值；

(2)求点A到平面的距离.

19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-A5CD中，平面•平面ABCD,AA8P为等边三角形,

底面A3CO为等腰梯形，AB//CD,且AB=2CD=2AO=4.

P

(1)在棱尸B上是否存在点尸，使得b〃平面B4£)?若存在，请确定点尸的位置；若不存在，请说明

理由；

(2)求PC与平面PAD所成角的正弦值.

20.(本小题满分12分)已知O为坐标原点，圆E:(x—&)2+(y—限)2=3公，直线/:x+^[3y=k,

其中%>0.

(1)当k=1时，过点。作圆E的两条切线，切点分别为A8,求直线48的方程；

(2)若直线/与圆£相交于C,。两点，求NCED.

21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-A3CD中，底面A8CD是正方形，平面J_底面ABCD,

侧棱PC与底面所成的角为60°.

(1)证明：平面尸AB_L平面尸AD；

(2)若平面PBOJ_平面P4C,求二面角PC—。的正弦值.

1

22.(本小题满分12分)设。为坐标原点，已知：-M:(X—If+y=4与直线ll:y=kx(k>0)相交于A,B

两点.

(1)若04=230,求人的值；

(2)过点。的直线4与乙相互垂直，直线4与圆河相交于两点，求四边形ABCQ的面积的最大值.

金科-新未来2023年秋季学期高二年级10月质量检测-数学

参考答案、提示及评分细则

题号123456789101112

答案BACCBADCCDACABDAB

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】B

【解析】设z=Q+>i(Q£R,b£R)，则z=a-bi,所以2z-z=a+3历=l+3i,所以

z1+i

a=b=l,—==1—i,故选B.

ii

2.【答案】A

【解析】直线斜率为tanl20°=—JL所以该直线方程为y—G=—即Gx+y-2G=0,

故选A.

3.【答案】C

【解析AB=(—L—1』),AC=(2,—1,0),所以〃•A8=0,〃-AC=0,即—x—y+l=(),2x—y=0,解

1?<12>

得x=—,y=—,所以〃=不不1,故选C.

33U3J

4.【答案】C

【解析】依题意，2。=/+1,解得。=1,所以两直线分别为x+y—2=0,x+y—1=0,所以两直线

之间的距离为咛［=也，故选C.

V22

5.【答案】B

【解析】由向量a力夹角为锐角，则-。=8+2+41>0,解得/>一*,当。〃人时，=='=3,得。=8,

2-42t

所以r的取值范围为(-|,8)U(8,+8)，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.

6.【答案】A

【解析】因为圆锥PO的轴截面是等边三角形，设底面半径为R,则圆锥的高为、6/?,且

0D=OA=QB=OC=A,从而4万7?2=4万，所以火=1,且圆锥的外接球的半径为-------=*R,

2sin6003

u._,,IU..(2丫_16万

其表面积为47rx[J=———.故选A.

7.【答案】D

〃22_22,/2_2

【解析】由余弦定理，cosC=^~~^b+ax-~~-=0,整理可得/+3Z?2=C2=4,

2ab2ab

li…2「_L/_>/6一层一J4—4从一2^/i^F右。_1,

又由sine=v1-cosC=J1y=--------=--------=--------，有S/MBC=-abx-------=

NcTaaa2a

bh)=.(-2)=g(当且仅当。=#时取"=”)，故选D.

8.【答案】C

【解析】作垂直AC于垂直AC于N,则BM=DN=：,MN=1,所以

BD=BM+MN+ND,设二面角B-AC-D的大小为6,则

2.22・

|BD|2=(BM+MN+ND)2=BM+MN、ND+2BM-ND+2BM-MN+2ND-MN=

—IF1+2x—x—COS(TT-3\,有cos。=—,解得6=120°,故选C.

4422'，2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】CD

【解析】正三棱柱ABC—A的体积为2X手X22=26，A选项错误；

正三棱柱ABC-AB©的侧面积为3x2x2=12,B选项错误;

AG与平面A3C所成角即为NGAC=45°,C选项正确；

过A作AO垂直BC于。，则AD为AA1与平面8CC内之间的距离，AD=^,D选项正确，故选

CD.

10.【答案】AC

49

【解析】第二次取出球为3,4,5,6,所以P(A)=k=§,A选项正确;

、41

8=（（4,1）,（3,2）,（2,3）,（1,4）},所以P（6）=1=x，B选项错误;

oxo9

A8=｛（2,3）,（1,4）｝,所以P（AB）=-^-=—,所以P（A+B）=P（A）+P（3）—P（AB）=

6x618

21113

—+———=—C选项正确;

391818

因为75(146)*「(4)><。(8),口选项错误，故选AC.

11.【答案】ABD

【解析】直线/:A(2x—l)+y—2=0,所以直线/过定点21A选项正确;

易知道Z°M=1,若直线CD_LOM,则一2%=-1,此时直线/:x+y—|=0,M到/的距离

3

d=-^==迫,4MCD的面积为-x"=主匡,B选项正确；

VT+T428

由A知直线/过定点2),所以OWdvg,所以当"二^时，|8|取得最小值为S，C选项错误;

AMCD面积为」x2j4_d2xd="-d2:+(=2,当且仅当d=&时，等号成立，D

22

选项正确.故选ABD.

12.【答案】AB

【解析】若〃=；,则点。到平面A3。的距离为定值，所以三棱锥。-A8D的体积为定值，A选项正

确；

若m=n,则CQ^AQ-AC^AQ-(AB+AD}^(m-l)AB+(n-l)AD+pAAt,且

DB=AB-AD,CQDB=(m-1)-(n-^=O,所以QC_LBO,B选项正确；

若m=〃，由B可知QC_La),且ACL3Z),所以8。为平面Q4C的一个法向量，且

\BD\=y[2,BDi=ADi-AB=AAi+AD-AB,(BD^=^AAl+AD-AB^=3,\BD]\=y/3,又因为

-------/——\/—\BD-BD2J6

BDBD}=^AD-AB].(裕+AO—A3)=2,所以口=与平面QAC

\BD\,\BD}V2xV33

所成角的正弦值为理，C选项错误；

3

|CQ|2=|(/n-1)AB+(n-1)/40+pAAj=(m—I)2+(n—I)24-p2+p(m-1)+p(〃-1)=z/i2+/i2+/2

一生+(p—=当且仅当〃2=〃=p=；时等号成立，所以QC长度的最小

值为L,D选项错误.故选AB.

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】-3

【解析】直线AB的方程为'+上=1,代人'+上%=1,解得加=一3.

3232

14.【答案】5

【解析】|x—3|=1，解得x=2或4,不妨设。=2力=4,则样本平均数是4,根据方差公式得

2(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(8-4)2=

s=-------------------------------------------------=5.

6

15.【答案】12

【解析】设圆台。。的高为〃，则g(%X12+%X22+;TXJi74)=g,解得〃=1,

不妨设A(-2,0,0),8(2,0,0),则P(cosasinai),

所以PT+PB?=(cos6+2)2+sin26»+1+(cos。—2f+sir?。+1=12.

16.【答案】—,5

【解析】设点P(x,y),由|PA|=2|PO|,可知J(x—3)2+(y_4)2=2旧+y?,整理可得点P的轨迹

方程为ON:(x+l)2+(y+g)=(号)，即存在交点，易知圆心距为：，因此

10

<-解得re|,5

一33

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.【答案】（1）x-y+8=0（2）—

【解析】（1）直线——即x+y-2=0,直线AB的斜率为-12

以边AB上的高所在直线的斜率为1,

所以边AB上的高所在的直线方程为y-7=x+l,整理得x—y+8=0；

（2）直线3C:y+l=―^（x-3）,即2x+y—5=0,

-1—3

AB的中点为（2,0）,所以的垂直平分线所在的直线方程为%—y-2=0,

2x+y-5=0,

因为P为A3垂直平分线与直线3c的交点，所以1,

x-y-2=0,

解得p1，3

74-25

所以P到直线AB的距离为33=±_.

VI+13

18.【答案】（1）—（2）拽①

329

【解析】由。两两垂直，以正交基底｛AA，2G，A。｝建系如图，。（0,0,o），A（2,0,0）,

B,（2,2,0）,C,（0,2,0）,A（2,0,2）,B（2,2,2）,C（0,2,2）,E（2,0,l）,F（0,l,2）,

D,£=（2,0,l）,D,F=（0,l,2）,所以EF=RF-RE=,

又40=(-2,-2,2),

设异面直线EF与BQ的夹角为6,

BXDEF46

则cos（9=

^D[\EF~273x76-3，

即异面直线所与与。夹角的余弦值为

(2)设平面的法向量为〃=(x,y,z,

由旦£=（0,-2,1）,££=（-2,1,1）,

B,En=0,—2y+z=0,、

得即〈,取〃=z（3,2,4）,

7

EF-71=0,[-2x+y+z=0,1

4_4729

又AE=(0,0,-1)，则点A到平面EFB］的距离d=

HV29-29

19.【答案】(1)存在，当产为依中点时，CF〃平面尸4)

【解析】(1)如图，分别取中点E,尸，连接则E/〃AB,E/=gAB,

因为CD〃AB,O)=LAB,

2

所以CD〃EF,CD=EF,四边形COEE为平行四边形，

所以CF〃DE,又因为DEu平面平面PAD,

所以CE〃平面PAO,即当尸为依中点时，C户〃平面PAO；

(2)取AB的中点0,8的中点M,连接0M,0P,

因为Q4=PB,所以QPJ.A5,

因为平面PAB，平面ABCD,平面PABQ平面ABCD=AB,OP1.AB,OPu平面PAB,

所以OPJ■平面ABCD,

又因为QWu平面ABCD,

所以OPLOM,

如图，以。为原点，OP,Q3,QM方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。一孙z,

可求得梯形AB8的高为

可得P（26,0,0）,4（0,-2,0）,£＞（0,-1,6）,以0,2,0）,。（0,1,百）,正=卜26,1,@,

所以AD=（0,l,V3）,AP=（273,2,0）,

设律=（x,y,z）为平面P4O的法向量,

n-AD=0,,{y+6z=0,

则由〈得〈L

n-AP=0,[2j3x+2y=0,

令y=Y,则x=l,z=l,即〃=

设PC与平面24。所成角为6,有尸。〃=一26,,4=4,何=6,

/.\PCn\2J3J\5

则sin。=cos(PC,/?)=U=^4=="，

'/小料4x7510

所以PC与平面PAD所成角的正弦值为*.

20.【答案】(1)x+道y—l=0(2)60°

【解析】(1)当％=1时，圆E:(x-l)2+(y—6)2=3,

以OE为直径的圆的方程为x(x—l)+y(y—6)=0,

两圆方程相减，则直线AB:x+6y—1=0；

(2)点E到直线/的距离为4=-^=二，

V1+32

3k

3k盟:+=争可得"吁30。,

设M为CO中点，即|财/|=万，所以COS/CEM

所以NCEZ)=60°.

4J3

21.【答案】（1）略（2）」一

7

【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，AD1AB.

因为平面PAB，底面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,,A£>u平面ABCD

所以AO_L平面而AOu平面Q4O,所以平面218,平面A4O；

(2)设AC与8。交于点O,则平面24。、平面P8D=PO,

作A”垂直PO于”，则47_1平面/归。，所以A”,班)，又AC_L3O,

且A”AC=A,