指数函数与对数函数的关系课件高一上学期数学人教B版

4.3指数函数与对数函数的关系问题1阅读课本本节内容，回答下列问题：整体概览按照课标的要求，教材利用本小节探讨了指数函数与对数函数的关系，并通过这一内容解释了反函数的概念．值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？问题导入问题2（1）请根据之前学习的知识填写指数函数与对数函数的性质：函数指数函数y＝ax

对数函数y＝logax定义域值域单调性0＜a＜1时，为________；a＞1时，为_________（2）填完表格后请同学们总结归纳指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的定义域和值域有什么特点？为什么会有这种特点？R（0，＋∞）减函数增函数（0，＋∞）R问题导入（2）可以看出，指数函数y＝ax与对数函数y＝logax中，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．这是因为在上述两个函数中，通过对调其中一个函数的自变量和因变量，可得到另一个函数．新知探究一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数．此时，称y＝f（x）存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f（x）的反函数的表达式，可以通过对调y＝f（x）中的x与y，然后从x＝f（y）中求出y得到．新知探究新知探究问题3你能求出y＝2x的反函数吗？y＝2x是增函数，因此任意给定一个y值，只有唯一的x与之对应，所以y＝2x存在反函数，对调y＝2x中的x和y得x＝2y，解得y＝log2x因此y＝log2x是y＝2x的反函数．追问之前我们学过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数．请问这些函数都有反函数吗？为什么？新知探究一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数都有反函数，因为它们都是单调函数，满足反函数定义中的一一对应；二次函数没有反函数，因为二次函数在定义域内不是单调函数，不满足一一对应，而且一般的偶函数都没有反函数新知探究问题4你能否写出求解反函数的步骤吗？（1）对调y＝f（x）中的x和y，得到x＝f（y）；（2）从x＝f（y）中解出y，得到y＝f－1（x）；（3）检查是否需要补充f－1（x）的定义域等．新知探究问题5请同学们在同一坐标系中画出y＝2x和y＝log2x的图象，并观察两个函数图象的对称关系？你能得到什么结论？不难看出，它们的图象关于直线y＝x对称．一般地，函数y＝f（x）的反函数记作y＝f－1（x）．值得注意的是，y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的值域相同，y＝的值域与y＝f－1（x）的定义域相同，y＝f（x）与y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称．新知探究例1分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理由；如果存在，写出反函数．（1）x12345f（x）00135（2）x12345g（x）－101－25问题导入解：（1）因为f（x）＝0时，x＝1或x＝2，即对应的x不唯一，因此y＝f（x）的反函数不存在．（2）因为对g（x）的值域{－1，0，1，－2.5}中的任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g（x）的反函数g－1（x）存在，表示如下：x－101－25g－1（x）12345新知探究例2判断f（x）＝2x＋2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f－1（x）的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f（x）与f－1（x）的函数图象．解：因为f（x）＝2x＋2是增函数，因此对值域中的任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f（x）存在反函数．令y＝2x＋2，对调其中的x和y，得到x＝2y＋2．解得y＝

x－1，新知探究例2判断f（x）＝2x＋2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f－1（x）的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f（x）与f－1（x）的函数图象．因此f（x）＝2x＋2的反函数f－1（x）＝

x－1．f（x）与f－1（x）的函数图象如图所示．新知探究练习：求函数

的值域．可得f（x）的反函数为

，由于反函数的定义域为{x|x≠2}，因此可得f（x）的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）．归纳小结问题（1）反函数的概念是什么？（2）互为反函数的两个函数之间有什么联系？（1）一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数；归纳小结问题（1）反函数的概念是什么？（2）互为反函数的两个函数之间有什么联系？（2）①y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的值域相同；②y＝f（x）的值域与y＝f－1（x）的定义域相同；③y＝f（x）是增（减）函数，则y＝f－1（x）也是增（减）函数；④y＝f（x）与y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称．作业：教科书习题B5－6题．作业布置教科书习题C2题．目标检测设

，则f－1（2）＝_________；1解：f－1（2）即为f（x）＝2时x的值，令

，解得

，所以f－1（2）＝

．目标检测已知函数y＝f（x）的反函数f－1（x）＝

－1（x≥0），那么函数y＝f（x）的定义域是___________．2解：函数y＝f（x）的定义域就是反函数的值域，所以函数y＝f（x）的定义域是[－1，＋∞）．由y＝

－1（x≥0），可得y≥－1，目标检测若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（

）3A．log