第03讲实际问题与二元一次方程组（知识解读达标检测）（原卷版）

第03讲实际问题与二元一次方程组【题型1二元一次方程应用】【题型2二元一次方程组应用鸡兔同笼问题】【题型3二元一次方程组应用几何问题】【题型4二元一次方程组应用球赛积分问题】【题型5二元一次方程组应用配套问题】【题型6二元一次方程组应用经济问题】【题型7二元一次方程组应用方案问题】考点1：二元一次方程（组）应用的解题步骤步骤1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；4．解方程组；5．检验：检验方程的根是否符合题意；6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．二、基本公式单价×数量=总价利润=实际售价成本实际售价=标价（原价）×折扣利润率=×100【题型1二元一次方程应用】【典例1】（2023秋•河西区期末）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；③；④；⑤43m＝n+2．其中正确的是（）A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④【变式11】（2023春•靖江市期末）《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是y＝3（x﹣2），则符合题意的另一个方程是（）A．y＝2x+9 B．y＝2x﹣9 C．x＝ D．x＝【变式12】（2023春•宾阳县期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍y间，小圈舍x间，则x与y的方程可列为（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C． D．【变式13】（2023春•海淀区期末）将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，则下列方程中正确的是（）A．x+5＝2y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2【题型2二元一次方程组应用鸡兔同笼问题】【典例2】（2023•绿园区开学）饲养场有黑兔和白兔共150只，白兔比黑兔多30只，黑兔和白兔各有多少只？【变式21】（2023春•宜阳县期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答．【变式22】（2022秋•牡丹区期末）七年级某班现有班费45元，计划购买甲、乙两种小礼品共10件作为班级主题班会学生活动的奖品，它们的单价分别为4元、5元．若45元班费正好用完，求甲、乙两种小礼品各购买多少件．【题型3二元一次方程组应用几何问题】【典例3】（2023春•秦州区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积．【变式31】（2023秋•东莞市期末）如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD，CD＝7，求长方形ABCD的周长．【变式32】（2022秋•薛城区期末）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？【变式33】（2022春•连山区期中）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形．（1）求小长方形的长和宽；（2）求阴影部分的面积．【题型4二元一次方程组应用球赛积分问题】【典例4】（2022春•思明区校级期中）某次篮球联赛积分榜如表所示：队名比赛场次胜场负场积分前进1410424东方149523远大147721恒大1441018蓝天1401414（1）通过观察积分表，填空：胜一场得分，负一场得分．（2）雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．（3）联赛中还有一个队伍，队长向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．【变式41】（2020春•下陆区期末）有40支队520名运动员参加篮球、足球比赛，其中每支篮球队10人，每支足球队18人，每名运动员只能参加一项比赛．篮球队、足球队各有多少支参赛？【变式42】（2023•皇姑区开学）甲、乙两人进行射击比赛，他们约定：每射中一发记20分，脱靶一发扣12分．两个人各打10发，共得208分，其中甲比乙多得64分．（1）求甲、乙两人各得多少分（2）求甲、乙两人各射中多少发．【变式43】（2023秋•兰州期末）在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？【题型5二元一次方程组应用配套问题】【典例5】（2022春•沐川县期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．（1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．（2）纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？【变式51】（2023秋•南岗区校级月考）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？、【变式52】（2022秋•会宁县期末）红星服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？【变式53】（2022秋•全椒县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）求这个班男生、女生各有多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？【题型6二元一次方程组应用经济问题】【典例6】（2023秋•敦煌市期末）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米•吨），铁路运费为1元/（千米•吨）．（1）求该食品厂到A地，B地的铁路距离分别是多少千米？（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润＝总售价﹣总成本﹣总运费）【变式61】（2023秋•光明区期末）足球是世界第一运动，2022年世界杯足球赛再一次点燃了人们对足球运动的热情．世界杯期间光明区某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表：类别甲款足球乙款足球进价/（元/个）8060标价/（元/个）12090（1）求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？（2）该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？【变式62】（2023秋•罗湖区期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．（2）学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．【变式63】（2022秋•阜新县校级期末）某中学用1000元资金为全校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共350个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价（元/个）销售价（元/个）普通医用口罩0.82N95口罩48（1）该校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？（2）销售完这350个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？【题型7二元一次方程组应用方案问题】【典例7】（2022秋•郓城县期末）2020年2月，“新冠“疫情日趋严重，“雷神山“医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元？（2）若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案？【变式71】（2022秋•新城区校级期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费．【变式72】（2023春•集美区校级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；（3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【变式73】（2023秋•彰武县期末）2023上海国际车展于2023年4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元．（1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元；（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案．一．选择题（共9小题）1．（2023春•迁安市期中）小明用20元钱去买笔，一支钢笔5元钱，一支铅笔1元钱，如果将这20元恰好花完，则购买方案共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种2．（2023春•承德期末）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格，小明用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（）A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C． D．3．（2023秋•梅县区期末）“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．4．（2023秋•禅城区期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（）A． B． C． D．5．（2023秋•马关县期末）《增删算法统宗》是清代数学家梅珏成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意是：有一根竿子和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组为（）A． B． C． D．6．（2023秋•槐荫区期末）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，下列方程组正确的是（）A． B． C． D．7．（2023•海州区校级开学）已知□＝△+△+△+△，□﹣Δ＝4.8，则Δ＝（）A．7.2 B．6.4 C．5.4 D．1.68．（2023秋•香坊区校级期中）某车间35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．一个螺栓要配两个螺母，问应该分配（）名工人生产螺栓，才能使当天的螺栓和螺母刚好配套？A．13 B．14 C．15 D．169．（2023春•黔东南州期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（）A．200元 B．300元 C．400元 D．500元二．填空题（共4小题）10．（2023春•宿迁期末）若x的2倍与y的差是10，那么可用二元一次方程表示为．11．（2022春•硚口区期末）现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚，共值7元．则5角硬币取出了枚．12．（2023•九龙坡区校级开学）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时骑行走30km，平路每小时骑40km，下坡每小时骑行走50km，那么从甲地到乙地53min，从乙地到甲地需41min．若设坡路长xkm，平路长ykm，根据题意，可列方程组为．13．（2023秋•前郭县期末）一艘轮船在A、B两地之间航行，顺水航行需要3小时，逆水航行需要5小时．已知该轮船在静水中的速度是12千米/时，A、B两地之间的距离为千米．三．解答