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5.5三角恒等变换第五章

三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

（1）两角差的余弦公式一二三学习目标体会推导两角差的余弦公式过程掌握两角差的余弦公式能利用两角差的余弦公式解决相关的问题学习目标

在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α+β、α–β或2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角差的余弦公式研究起.在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),|P1Q|=|x1–x2|，|QP2|=|y1–y2|，由勾股定理，可得|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2=(x1–x2)2+(y1–y2)2,所以平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：xyOP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)∟..复习旧知新课导入问题1

如何用任意角α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？猜想:cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗?cos(α－β)≠cosα－cosβ新知探究下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系.

不妨令α≠2kπ+β,k∈Z.xyOα终边A(1,0)A1P1Pβ终边α-βα-β

如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，P(cos(α-β),sin(α-β)).

连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以AP=A1P1.根据两点间的距离公式，得化简得当α=2kπ+β,k∈Z时，容易证明上式仍然成立.所以，对于任意角α，β有，此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.|AP|=|A1P1|A(1,0)，P(cos(α-β),sin(α-β))，P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ(C(α–β))新知探究由以上研究可得

此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β).所以，对任意角α，β有(3)公式两边符号相反.(1)公式中的α，β是任意角;(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；公式特征概念生成观察

公式有何特征？如何记忆？谐音记忆为:烤烤晒晒符号反典例解析例1

利用公式C(α–β)证明：证明：巩固练习【练习】利用两角差的余弦公式求：分析

把15°表示成哪两个角的差？解法1：解法2：【变式1】求

的值。【变式2】【变式3】公式不光可以正用也可以逆用！B典例解析例2已知，β是第三象限角，求的值.分析

由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？

解：反思

如果去掉条件

，对结果和求解过程

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