安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题

桐城中学2023～2024学年度下学期高一开学检测数学试题（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.设集合,则集合中元素的个数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．2.已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（）A.1 B. C. D.与的取值有关【答案】A【解析】【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．【详解】由题意，若，，，，，综上，集合.所以集合A中所有元素的乘积为.故选：A.3.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式求出，再由两角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函数函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为，解得或，又，当时；当时；综上可得.故选：D4.设函数，则A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，则，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.5.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6.定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，由题设及单调性和奇偶性的知识易得为奇函数，且在上为增函数，不等式等价于，即，最后利用单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.【详解】设，因为对任意的，，，恒有，所以函数在上为增函数，则在上为增函数，又，而，所以，所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得.故选：B．【点睛】关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.7.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设：的解集为A，所以A={x|2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈，故选D.8.对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（）个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】对于①，即对一切恒成立，不存在满足条件的正常数、，所以，函数不是“控制增长函数”；对于②，对一切恒成立，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；对于③，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；对于④，恒成立，即，所以，函数是“控制增长函数”.【详解】对于①，可化为，即对一切恒成立，由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数、，所以，函数不是“控制增长函数”；对于②，若函数为“控制增长函数”，则可化为，∴对一切恒成立，又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；对于③，∵，∴，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；对于④，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，∵，若，即，所以，函数“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.故选：C【点睛】方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x，y，z满足，设，则，，．对于A，，故A正确；对于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B错误；对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；对于D，由，可得（），故D正确．故选：ACD10.若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由题意可知，命题“，成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，由此可得结果.【详解】由题意可知，命题“，成立”，所以，，可得，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：AB.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（）A.点P第一次达到最高点，需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米D.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；令，解得：，，当时，（s），B选项正确；，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；故答案为：ABD12.已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数的图像关于中心对称C. D.【答案】BD【解析】【分析】A：求f(x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性；B：f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心；C：根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；D：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．【详解】对于A，，上恒成立，定义域为，即的定义域关于原点对称，，为奇函数，函数的图像关于点中心对称，，，在上单调递增，函数在上单调递增，函数在上单调递增，故A错误；对于B，，，函数的图像关于点中心对称，故B正确；对于C，函数的图像关于点中心对称，，，，，相当于向右平移1个单位，和单调性相同，函数在上单调递增，，，，故C错误；对于D，令，，令，则在上单调递增，，，在上单调递减，，，，故D正确．故选:BD.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.若函数的定义域为，则函数的定义域为________【答案】【解析】【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可.【详解】当时，所以，所以，即，则，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：14.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．【详解】依题意，当时，y有最小值，即，则，所以.因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得.故答案为：15.已知实数，，满足，则的最大值为________【答案】【解析】【分析】设，则利用基本不等式计算可得.【详解】设，因为，所以，令，解得或（舍去），因此，即，当且时取等号，故的最大值为.故答案为：16.已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为__________．【答案】【解析】【详解】设，则，由于，则，所以将以上三式两边相加可得，即，应填答案．点睛：解答本题的难点在于分析函数的最大值是如何取得的，在一个就是如何构造绝对值不等式使得问题成立．求解时充分借助题设条件，先分出函数的最大值只有在中产生，如果直接求其最大值则很难奏效，这里是运用绝对值不等式的性质及不等式取等号的条件，也就是等且仅当时取等号，即取等号，这是解答本题的关键，也是解答本题的难点．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.已知全集，集合，集合.（1）若，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）={x∣x≤−3或x≥5}；=∅；（2）−1≤a≤.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A、B,利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为，所以，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出取值范围．【详解】（1）若，则集合，或，若，则集合，（2）因为，所以，①当时，，解，②当时，即时，，又由（1）可知集合，，解得，且，综上所求，实数的取值范围为：．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．18.（1）已知函数，求函数的值域.（2）已知函数，，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）将函数变形为，结合的范围及正切函数的性质计算可得.【详解】（1），令，因为，所以，所以，所以，且，令，，显然在上单调递减，又，，所以函数在的值域为.（2）由，则，，所以，因为，所以，所以函数在上的值域为.19.（1）已知，求的最大值.（2）已知且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解；（2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.【详解】解：（1）由题意，令，解得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.（2）由题意，令，可得，因为，可得，即，又由柯西不等式，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得，所以实数的最大值为.20.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数，且，求函数在区间上的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，解不等式，可得出函数的单调递增区间；（2）求得，求得、的值，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【详解】解：（1）由题意可得，所以，，，解得，所以函数的单调递增区间为；（2）由题意及（1）可知，因为，，又，且，所以，，则，则，，所以，所以，则，即在区间上的取值范围为.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.21.定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：在上是减函数；（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．【小问2详解】设，则，所以．因为，，，所以，即，所以．又，所以，所以，所以，即．所以在上是减函数．【小问3详解】由（2）知函数在上是减