锐角三角函数（第一课时）课件人教版数学九年级下册

28.1锐角三角函数（第一课时）

——第二十八章锐角三角函数教学目标01.

掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念

重点02.能根据直角三角形的已知条件求一个锐角的三角函数值

重难点意大利比萨斜塔意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中点偏离垂直中心线2.1m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．【提问】根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角Ө”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数，对于直角三角形，我们已经知道三边之间的关系和两个锐角之间的关系，但我们不知道边角之间的关系，接下来我们将通过本章的学习认识到直角三角形边与角之间的关系，解决该问题.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？【思考】能否运用以前所学的知识解决该问题？这个问题可以归结为:在Rt△ABC，∠C=90°∠A=30°,BC=35m,求AB的长.（如图所示）在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB的长.根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70(m).因此，需要准备70m长的水管.【思考】如果出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?出水口高度为50m，即BC长由35m变为50m，其余条件不变，根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC

=100(m).因此，需要准备100m长的水管.【提问】根据上面求AB（所求水管的长度）的过程中，你能得到什么结论？【结论】在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管直角三角形的大小如何改变,这个角的对边与斜边的比值都等于【思考】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比

，由此你能得出什么结论？因此ABC在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:

AB2=AC2+BC2=2BC2

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于综上所述，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于

，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于

，也是一个固定值．【思考】当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么

与

有什么关系．你能解释一下吗？因为

所以

Rt△ABC∽Rt△

因此

即这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.【结论】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即

例如，当∠A=30°时，我们有

sinA=sin30°=当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=ABC邻边b对边a斜边c【注意】（1）对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.（2）∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化【例题练习】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．【分析】求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.解：如图（1），在Rt△ABC中【例题练习】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．【分析】求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.解：如图（2），在Rt△ABC中【思考】如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定了呢？为什么？

如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'由于∠C=∠C'=90°∠A=∠A'所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，因此，当∠A确定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也都是确定的.因此，当∠A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．【注意】对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样地，cosA，tanA也是A的函数（1）正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.【注意】【例题练习】如图，