2024高中数学教学论文-排列组合的解题策略

2024高中数学教学论文-排列组合的解题策略高中数学教学论文：排列组合的解题策略

让学生成为"演员"——也谈排列组合的解题策略

排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为"教"与"学"难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得"云里雾里".针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。

笔者认为之所以学生"怕"学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为"演员"，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：1、

占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

①

仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已"编号"着手，清楚这是一个"排列问题"，然后对题目进行等价转换。

②

转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③

解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地"出谋划策"，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件"两个学生与其所坐的凳子编号相同"的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20（种）。这样原题也就得到了解决。

④

学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤

老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2、分组问题例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P）

①

仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个"分组排列问题"，然后对题目进行等价转换。

②

转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③

解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P.（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就"浮现"出来C×C×P（种）。

④

老师总结：针对这样的"分组排列"题，我们多采用"先选后排"的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。盘点二项式定理中的“系数”题型高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现，涉及的题型主要有：求二项展开式中某一项（或常数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展开式的项数，以及二项式定理在求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有关二项式定理中的系数问题。一．直接利用二项展开式通项公式求某项系数。例1．（2009浙江卷理）在二项式的展开式中，含的项的系数是().A．B．C．D．解析：本题属于二项式定理中最为基本的题目，直接考查考生对于二项展开式的通项公式的掌握。其通项，对于，则的项的系数是，答案选B。二．正确区分“两个系数”即二项式系数和项的系数例2的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项。思路导析：二项式系数是指，而项的系数由二项式系数和数的乘积构成解析：二项展开式的通项，由第6项与第7项的系数相等得，，所以，展开式中二项式系数最大的项为，设第项系数最大，则解之得即所以，系数最大的项为或点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，统一为，而项的系数应是与数的幂的乘积组成，这一不同要仔细区分。三．求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数例3（1）展开式中，项的系数为_______（2）设则（3）展开式中系数为_______思路导析：对于（1）中所求项的系数，应先研究清楚项的构成，中均没有，从开始出现，故应分别计算其后五项中的系数之和即得；对于（2）（3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。解析：（1）项系数为（2）即系数，即从中取两元的所有组合的和，即，同理.（3）由知4个括号取x，余下5括号取2y，再从余下3个括号取z，于是得系数为.点评：二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时，要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。四．通过通项研究展开式系数特征例4（2010湖北理数11）在（x+）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。思路导析：通过求二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项列出即可。解析：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.答案为6五．求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和例5已知，求的值。思路导析：由平方差公式，所求其中为展开式各项系数之和，赋值法令x=1即得；为奇数项和与偶数项和之差，赋值法令x=-1即得。解析：令x=1,得，令x=-1,得,。点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式，有以下结论：（1）g(x)的二项式系数和为；（2）g(x)的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=；（3）g(x)的各项系数和为g(1)；（4）g(x)的奇数项的系数和为；（5）g(x)的偶数项系数和为。这里常用到一种重要方法：赋值法。六．赋值法在解决系数问题中的综合应用例6（2009陕西卷）若,则的值为（A）2 （B）0 （C） (D)思路导析：如果从二项展开式中各系数表达式入手，将其写出为，可以发现，同理可以得出,………亦即前2008项和为0,故只需求即可，此为思路一；思路二：如果整体研究，可将分母中2的指数与的下标统一起来，采用赋值法只需令即可使问题迎刃而解。解法一:由题意,则,同理可以得出,………亦即前2008项和为0,则原式==故选C.解法二：（赋值法）令得，，又令得，所以得，故选C.附变式训练1：已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)－1(B)1(C)－45(D)452．设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，若，则（）45683．若，则的值为（）1-1024（2009北京卷文）若为有理数），则（）.A．33 B． 29 C．23 D．195求展开式的各项系数之和为__________。6（2010江西理数）展开式中不含项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.2答案1。D；2。；3；4B；5解：令x=y=z=1，得，即展开式系数之和为0。6B【提示】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.培养学生的数学创新意识之我见随着新一轮课程改革的深入，提高学生的创新意识和创新能力是我们数学教师面临的重要课题.纵观当今国际社会发展的大趋势，不难断言，21世纪将是知识经济的时代，而知识经济的实质和核心是创新，谁抢占创新的制高点，谁就拿到了21世纪的通行证，谁就成为21世纪的主人.江泽民同志指出创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力.我记得杨振宁教授曾说过：“中外学生的主要差距在于，中国学生缺乏创新意识，创新能力有待加强.”而具有创新能力的人才将是21世纪最具有竞争力的人才，《数学教学大纲》中也明确指出培养学生的创新意识是数学教学的一个重要目标，因此，作为数学教师在教学时应对创新意识的培养加以足够的重视，下面我就结合本人的教学实践谈谈我个人的看法.一、真正理解创新的含义《新大纲》中指出：创新意识是对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和指出问题，进行探索和研究.因此，对于高中生来说，能够解决他自己尚未解决的问题，使自己的知识水平和能力有所提高，就属于创新，教师只有真正理解了这一点，才能够目标明确，懂得在教学中怎样培养学生的创新能力.二、教学上要勇于创新随着时代的发展，我国教育的弊端显而易见，过分强调了共性，整齐划一的人才培养指导思想，强调按计划执行，盲目服从偏重概念与结论的学习模式，在专业、课程、学习方式等方面受教育者没有实质性的选择权利.因此，这样的教育观念和教育方法无法发挥受教育者的主观能动性，在知识的长河里，他们能够继承，但难以创新.要培养学生的创新意识，教师的教学观念必须转变，教学上要勇于创新，只有我们教师教学能力和教学水平提高了，学生的创新意识才能激发出了.所以我们在课堂上尽量给学生营造一个宽松的，有利于发挥学生创造的环境，给予他们创造性尝试的机会，对于学生富有创意，别出心裁的解题方法及解题思路给予充分的肯定，让学生意识到自己内在的无穷力量，也从老师的肯定中体验到创造和成功的乐趣，同时也使学生的主观能动性得到更大的发挥，从而自觉地不断地去创新，去完善自己.因此，我们在教学上要摒弃“教师讲学生听”的观念，树立“师生共同探索”的观念，把课堂还给学生.正如我国著名的教育家陶行知先生所疾呼的那样“砸碎儿童的地狱，创造儿童的乐园”、“解放儿童的创造力”、“解放小孩的头脑”、“解放小孩的眼睛”、“解放小孩的双手”、“解放小孩的嘴”、“解放小孩的空间”、“解放小孩的时间”，真正实现在教师的参与、指导和建议下，学生积极主动、创造性地获取知识和应用知识，在活动中发展创新精神和创新能力.三．创设问题情境，培养问题意识我们知道，创新能力总是在问题解决中发展起来的，问题解决是创新的土壤，并不一定所有的问题解决都包含有创新，但创新无疑都包含着问题解决.“问题”是数学的心脏，“问题解决”的能力是数学能力的集中体现，传统的做法往往是淡化“问题意识”，教者奉献给学生的是一些经过处理的规则问题和现成的漂亮解法，舍去了对问题的加工处理过程，也舍去了制定解决方案的艰苦历程，学生听起来似乎显得轻松，但数学的能力却未能得到应有的提高.所以要强化“问题意识”，充分展现对问题加工处理过程和解决方案的制定过程，既磨练了学生的意志品质，又培养了学生解决问题的能力.正是从这一认识出发，我讲课注意挖掘教材中具有某种创新价值的问题，引导学生思维发展.如在进行“分期付款中的有关计算”教学时，我作了如下设计：第一步，提供问题：想买一件较贵的物品，但现在又没那么多钱该怎么办？第二步，设计解决方案：第一向银行贷款，第二变相向商家贷款也就是分期付款，比较之下当然第二种方案更方便快捷.第三步，问题的发展：教师在肯定方案正确性和可行性基础上，再进一步提出，如何还贷款，分几次付，怎样付款才能最合算？第四步，问题的深化：得出付款方案：一般情况下商家提供以下三种方案，一年当中分3次、6次或12次付清.第五步，设计新问题的解决方案：可让学生根据自己的设计分别计算加以比较得出方法的优劣.水到渠成的得出下表方案类别分几次付清付款方法每期所付金额付款总额与一次性付款差额13次购买后4个月第一次付款，再过4个月第二次付款，再过4个月第三次付款.26次购买后2个月第一次付款，再过2个月第二次付款购买后12个月第6次付款312次购买后1个月第1次付款，次1个月第2次付款购买后12个月第12次付款注第六步，教师小结，给出合理的解答，得出一般的计算方法与公式.在这几个问题的引导下，学生的展开了激烈的讨论，并且由于这个问题与生活联系比较紧密，学生的积极性也很高.在整个计算过程当中一直是学生亲自动手来比较几种方案的优劣，我只是适时提出一些建议，给以点拨.四．鼓励参与，培养主体意识由于数学教学的本质是数学思维活动的教学，因此要培养学生的数学创新意识，首先必须让学生积极地展开思维，主动地参与教学过程，充分发挥学生在学习中的主体地位，教师必须淡化教师的自我权威中心意识，实现由“师道尊严”向师生民主平等转变，善于倾听不同的言论，鼓励、培养学生的好奇心、探索性，在教与学中倡导相互合作，使学生成为学习的主体，能主动地参与数学学习活动的全过程.简单地说，教学过程中学生的主体地位指学生应是教学活动的中心，教师、教材、一切教学手段，都应为学生的“学”服务.学生在教学活动中居于主体地位，是整个教学活动的中心，但这并非就是说教师无足轻重，可有可无了，事实上，教师是全部教学活动的组织者，是学生主体地位得以实现的外因.如在学习的图象性质这节课时，如果仍旧是教师在课堂上把所有的东西灌输给学生，效果将大打折扣，如果能充分发挥学生的积极性，让他们自己动手画图、观察特点总结规律将会收到事半功倍的效果.这部分内容我分了三课时来上，上这节课的过程大致如下：先由简谐振动等物理中事例引入本节课题，指出形如的函数图象在物理学中有广泛的用途，学好它对学习数学和物理都有重要的作用，以提高学生的学习兴趣.接着指导学生作图：在同一坐标系中用“五点法”画函数的简图，图画好后引导学生观察讨论上述三个函数图象及所列的表格：什么发生了变化？它又是怎么变的？与系数A有什么关系？什么没有变？让学生自己得出结论——由的图象的图象，这样通过学生的主动参与，使学生的积极性得到了充分的发挥，同时对知识的理解也上了一更高的层次，使课堂教学收到了事半功倍的效果.同样对后面几道例题我也采用了同样的方法，从各方面的反映来看，这节课的效果是不错的.另外除了大胆放手外，教师还要在课堂上及时发现存在的问题并给予纠正，补充和小结.五、在例题教学中通过一题多解和一题多变，培养学生的创新精神在数学教学中，对例题的选择要有针对性，尤其要注意进行一题多解的训练，引导学生对原理进行广泛的变换和延伸，尽可能地延伸出相关性，相似性的新问题，以达到进一步发展学生创造性思维的目的.课本中的例题是知识的精华，具有典型性和示范性.但由于例题作为新知识的应用，往往其解题涉及到的知识都与本节所学内容有关，学生也习惯与本节内容挂起钩来，抑制了思维的全面展开，长此以往，不利学生创新精神的培养.例题教学应该有意识地引导学生不要墨守陈规，应该敢想别人认为不可能的事，乐于新的探索，善于独辟蹊径，注意新旧知识的相互联系，使解题达到简化、优化.如在讲解第六章不等式小结与复习中的参考例题一时（例1已知a，b，c，d都是实数，且，求证），书上用了三种常规方法：综合法，比较法，分析法来证明这道题，但这道题都是用本章的知识来解决的，虽然这样做可以起到强化和巩固本章知识的作用，但是不利于学生创新意识的培养.因此我在讲完上述三种常规方法后，提出问题：“本道题还有没有其他解法？”同时可以给学生适当的提示：“与我们前面学过的哪个公式的结构类似？”学生此时会联想到三角公式，因此引导学生利用换元法：令，则=，.另外也可以引导利用向量来证明，令＝（a,b），＝（c,d），则＝（a,b）(c,d)=ac+bd,且=＝，.这样一来学生在探索解题中，能运用旧知识解决新问题且异于课本中的解法，这实际上就是一种创新.因此课堂中例题教学应让学生多想想，多从不同方面，应用新旧知识去联想、去思考，克服学生思维定势.同时在问题解决要培养学生善于提出问题、发现疑问，即使是教材中已有的结论也能从中发现新问题，要相信自己，有疑、有问，才会有新发现、新突破.同时，通过解法的多样性，促进学生思维的灵活性，让学生在做好每一道题的过程中都能进行多元思维，全面把握各个知识点，从而培养学生认知迁移，灵活运用，深刻理解，系统分析问题，解决问题的能力，进而达到培养学生创新意识的目的.另外，在教学中还可以对例题条件，结论进行一题多变的训练，使学生加深对知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，培养学生的创新意识中发挥其独特的功效.六以“构意识素质教育的目的就是要“培养学生的创新能力与实践能力”，而应用能力的培养是实现创新能力与实践能力的重要途径，对于数学应用，不能仅看作是