2024几种由递推式求数列通项的方法介绍

2024几种由递推式求数列通项的方法介绍几种由递推式求数列通项的方法介绍1．所以各式相加得即2．同1的处理情况我们得到即3．当p＝0或1时的情况很简单，略。当p≠1且p≠0时，令，则即，由此我们构造了一个等比数列。所以4．其实前三种情况都可以看作的一个特例用常数替代了其中的或。因此只要这种情况掌握了前三种就基本上没问题了。之所以分开来讲，是因为前三种在高考中是比较常见的。如果对任意的n都有≠0，则我们可以对它进行如下处理;将两边同时除以得构造新数列，并且令则有到此我们就发现数列刚好是第一种类型的，因此可以求出然后就可以得到几种由递推式求数列通项的方法介绍5．这两者在结构上是相同的，只要我们解决了前一个，后一个也就没问题了。对于第一个大家可能都已经知道就是用特征方程的方法去解。这里就不详细介绍了。（1）即的特征方程是，设其两根为1）当时，2)当时，可以对其做一下简化，1）当时，令，然后利用数列的前两项就可以求出待定的系数A，B.2)当时,令，同理可求A,B。（2）对于做这样的处理，令则1）当时，，构造新数列则有，利用型将求出即可以得到。2）当，由于r≠0，所以x的值不存在。但此时有p＝－（1+q）代入原等式得令，则y（1－q）＝r=1\*GB3①当1－q≠0则若令数列，则，为等比数列可以求出我们假设求出得＝f(n)，则即，[其中g（n）＝y+f（n）],l利用第一种类型可以解决=2\*GB3②当1－q＝0，即q＝1时，y此时无解，但此时有p＝－（1+q）＝－2，原式子即为所以数列{}为等差数列,求出,仍然可以利用第一种类型来求出6.这种类型可以应用不动点法,即令,其两根设为,..则有,(1)当≠时===1,2想比得,构造数列为等比数列,得解(2)当=时,有韦达定理知,由(1)知即,构造为等差数列,得解.7这两类根据题目可以化为对数类型,然后应用上面介绍的方法就可以解决.第一个可以化为,利用第三种数列解第二个可以化为,利用第四种数列解.8.这种递推式主要是引入消去有关数列的各项得到又与前面的方法有关.若求可以引入得去解.解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．（一）

由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

（三）

由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。解圆锥曲线最值与范围问题的方法方法1：定义法例1、已知点F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′||AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－45，即|PA|＋|PF|9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.方法2：几何法例2、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中的取值范围是________．解析根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r，则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝eq\f(2a,3)，|PF2|＝eq\f(2a,3).根据双曲线的几何性质，|PF2|c－a，即eq\f(2a,3)c－a，即eq\f(c,a)eq\f(5,3)，即eeq\f(5,3).又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).故填eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).例3已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②将②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当时，，此时方法3：切线法例4、求椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2eq\r(3)的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±eq\r(3).当b＝eq\r(3)时，直线y＝x＋eq\r(3)与y＝x＋2eq\r(3)的距离d1＝eq\f(\r(6),2)，将b＝eq\r(3)代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－eq\f(2\r(3),3)，此时y＝eq\f(\r(3),3)，即椭圆上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))到直线y＝x＋2eq\r(3)的距离最小，最小值是eq\f(\r(6),2)；当b＝－eq\r(3)时，直线y＝x－eq\r(3)到直线y＝x＋2eq\r(3)的距离d2＝eq\f(3\r(6),2)，将b＝－eq\r(3)代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝eq\f(2\r(3),3)，此时y＝－eq\f(\r(3),3)，即椭圆上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))到直线y＝x＋2eq\r(3)的距离最大，最大值是eq\f(3\r(6),2).方法4：参数法选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值。例5、点P(x，y)是椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．解析因为椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosφ,y＝sinφ，))(φ为参数)．故可设动点P的坐标为(eq\r(3)cosφ，sinφ)，其中0≤φ＜2π.因此S＝x＋y＝eq\r(3)cosφ＋sinφ＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosφ＋\f(1,2)sinφ))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,3)))，所以，当φ＝eq\f(π,6)时，S取最大值2.故填2.方法5：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例6、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点，求面积的最大值。解：椭圆焦点，设过焦点(0,1)，直线方程为y=kx+1与联立，消去y,得，其中两根为A,B横坐标。将三角形AOB看作与组合而成，|OF|是公共边，它们在公共边上的高长为.,其中|OF|=c=1.===.当，即k=0时,即当直线为y=1时,得到的面积取得最大值为。方法6：函数法例7.已知A，B，C三点在曲线y＝eq\r(x)上，其横坐标依次为1，m,4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，求m．解：由题意知A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)．直线AC所在的方程为x－3y＋2＝0，点B到该直线的距离为d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10)).S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10))＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)|(eq\r(m)－eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)|.∵m∈(1,4)，∴当eq\r(m)＝eq\f(3,2)时，S△ABC有最大值，此时m＝eq\f(9,4).故选B.方法7：判别式法例8、椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率,过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.（1）用直线的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：（1）设椭圆E的方程为(a＞b＞0)，由e=∴a2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b2设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，①②∴即，①②由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：③④⑤③④⑤而S△OAB⑤由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB=（2）因S△OAB=,当且仅当S△OAB取得最大值，此时x1+x2=－1,又∵=－1，∴x1=1,x2=－2.将x1,x2及k2=代入④得3b2=5,∴椭圆方程x2+3y2=5.训练题：1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．93．抛物线y=-x2