人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题17.13 勾股定理（折叠问题）（巩固篇）（专项练习）

专题17.13勾股定理（折叠问题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是(

)A．2 B． C．3 D．2．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．3．如田，中，，，．点D在上，将沿折叠，点A落在点处，，与相交于点E，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（）A．5 B． C． D．5．如图，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（）A．20 B．22 C．24 D．266．如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（）A． B． C． D．7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（

）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm8．如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（

）A． B． C． D．29．已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为（

）A． B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（

）．A．5 B．3 C． D．11．如图，四边形纸片ABCD满足ADBC，AD<BC，AB⊥BC，AD＝5，BC＝11，现将纸片的四个角向四边形内部进行折叠，得到的四边形EFGH为正方形，则AB，CD的长分别为（

）A．AB＝5，CD＝7 B．AB＝8，CD＝10C．AB＝6，CD＝8 D．AB＝8，CD＝912．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．二、填空题13．如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．14．如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有．若，，则_____度，____．15．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为__．16．长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．17．如图，在中，，，．点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接．将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为__________．18．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则___________．19．如图，在中，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，若，，则线段的长为_____．20．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为______．21．如图，在平面直角坐标系中，已知、．现将折叠，使点A落在OB边的中点处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为_____．22．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB=6，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是_____．23．如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点落在的中点处，折痕为，那么的长为__．24．如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为________．三、解答题25．如图，在长方形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕交于点E，交于点F．(1)求线段的长．(2)线段的长为______．26．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置．若，求的度数；若；①求的长；②的面积为______．27．如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）．28．如图将长方形纸片折叠，使得点D落在边上的点P处，折痕经过点C，与边交于点Q．尺规作图：求作点P、Q（不写作法，保留作图痕迹）；若，，求的长．29．如图，长方形纸片的边长．将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．(1)的长为___________；(2)求的长．(3)着色面积为___________．30．如图1，中，，于点，于点，，与交于点，连接．(1)求证：．(2)若，求的长．(3)如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由．参考答案1．B【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．∴AB10，由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，在Rt△DEA中，，∴，解得：x＝，∴CD＝，即点D到顶点C的距离是．故选：B．【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．2．B【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．解：由翻折变换的性质可知：，∴，，，∵四边形为矩形，，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∴．故选：B．【点拨】本题考查翻折变换―折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，应用了方程的思想．本题通过设，在中运用勾股定理建立关于的方程并求解是解题的关键．3．C【分析】根据中，，，，推出，根据折叠得到，当时，最小，最大，，推出，得到．解：∵中，，，，∴，由折叠知，，∵,∴当时，最小，最大，此时，，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查了直角三角形，折叠，垂线段等，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠性质，面积法求直角三角形斜边上的高，垂线段最短．4．C【分析】过F点作于H．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长．解：如图，过F点作于H，由折叠的性质可知，．设，则，在中，，∴，解得：，∴，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴．故选C．【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．5．C【分析】根据折叠，可得，，，根据勾股定理可得，，根据，求解即可．解：根据折叠，可得，，，在中，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得，∴，∵，，∴，故选：C．【点拨】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键．6．C【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．解：∵中，，，，∴，∵，，∴当最小时，最大，当时最小，而，∴的最小值为，∴的最大值为．故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键．7．A【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=xcm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，∴AB=10cm，∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，设CD=DE=xcm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3cm．∴BD=8-x=8-3=5(cm)，故选：A．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．8．A【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形是矩形，∴，，，由第一次折叠得：，，∴，∴，在中，根据勾股定理得，，由第二次折叠可知，，∴，∴．故选：A【点拨】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．9．C【分析】连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定（SAS），即可得出，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长．解：如图所示，连接，过作于，∵，，，∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，∵的面积是面积的一半，∴的面积是面积的一半，且，∴是的中点，又∵是的中点，∴，即是的中点，又∵，∴≌，∴，又∵，∴中，，∵，是的中点，∴是的中点，即，∴，，∴中，，故选：．【点拨】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．C【分析】如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．解：如图，∵是直角∴由题意知，，∴∴三点共线∴与重合在中，由勾股定理得设，在中，由勾股定理得即解得∴的长为故选C．【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．11．B【分析】由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF推出AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，则2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，所以即AB=8，根据AH+BF=8，推出AH=BF=4，所以HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7过D作DH⊥CF于H．则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，利用勾股定理求出CD长．解：由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF，∵AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，∴2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，∴HF=8，即AB=8，∵AH+BF=8，∴AH=BF=4，∴HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7，过D作DH⊥CF于H．则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，∴CD==10．故选：B．【点拨】本题考查了翻折问题，正确利用翻折性质和勾股定理是解题的关键12．A【分析】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．解：在中，由勾股定理得，，∵将沿折叠，点与点重合，∴，，∴设，则，，在中，由勾股定理得，，即解得，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．或【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可．解：∵纸片中，，，∴，∵以为折痕，折叠得到，∴，，．当时，如图1所示，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴；当时，如图2所示，C与点E重合，∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，综上所述，的长为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．14．

135

【分析】延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．解：延长，交于点，，平分，，，，，，，，，，，由折叠的性质可知，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，．．故答案为：135；．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键．15．10【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案．解：由题意可知，、两点关于射线对称，，为定值，要使周长最小，即最小，亦即：最小，与射线的交点，即为使周长最小的点，，，．且，，为直角三角形，，，，设，则，中，，即，，．故答案为：10．【点拨】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键．16．或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，∴，∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设，则，在中，∵，∴解得：；②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，∴．故答案为：或3；【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．17．【分析】根据勾股定理，得出，再根据，，得出，再根据勾股定理，得出，再根据折叠的性质，得出，，，然后设，则，再根据勾股定理，得出，解出即可得出，再根据勾股定理，即可得出的长．解：∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∵沿折叠，使得点恰好落在上的点处，∴，，，设，则，在中，∵，∴，解得：，∴，在中，．故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题．18．##【分析】延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长．解：延长交于点G，，平分，，，，，，，，，，，由折叠性质可知，，，，，，是等腰直角三角形，，，由勾股定理得：，，，，，，故答案为：．．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．19．1.6【分析】由和△关于对称，和△关于对称，可以推出是等腰直角三角形，三角形面积公式可求出长，继而由勾股定理可求长，从而可以解决问题．解：由题意可知：和关于对称，和关于对称，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，∵，即，，在中，由勾股定理，得，，，．故答案为：1.6．【点拨】本题考查折叠问题，关键是掌握轴对称的性质：关于一条直线对称的两个图形全等．20．【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，，，折叠纸片，使点与点重合，，，，，，，，设，则，，解得，，故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．21．【分析】由点是OB中点，可求得的长；设出点C的含参的坐标，再利用勾股定理解出参数即可．解：∵，，∴，，∵是OB中点，∴，设，则，，∵将△AOB折叠，使点A落在OB边的中点处，折痕为CD，∴，在中，，∴，解得，∴，故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理和折叠前后图形全等，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键．22．(-6，)或(-6，)【分析】分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案．解：由题意知点是的三等分点，分两种情况：①若，，将该矩形沿折叠，点恰好落在处，，，设，则，由题意可得，，，，，解得，，；②若，，同理可得，，解得，，；综上所述，点的坐标为或．故答案为：或．【点拨】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．##【分析】过点A作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，利用三角函数求出，设，则，在中，勾股定理得，代入数值求出x即可．解：过点A作于点，过点作于点，，，，点为的中点，，，∵，，∴，，由翻折可得，设，则，在中，，即，解得，．故答案为：．【点拨】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，翻折的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．24．【分析】首先明确要使得周长最小，即使得最小，再根据翻折的性质可知，从而可得满足最小即可，根据两点之间线段最短确定即为最小值，从而求解即可．解：如图，连接，由翻折的性质可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M点为上一个固定点，则长度固定，∴，∵周长，∴要使得周长最小，即使得最小，∵，∴满足最小即可，当P、B、C三点共线时，满足最小，此时，P点与D点重合，，∴周长最小值即为故答案为：12．【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．25．(1) (2)5【分析】（1）根据折叠得出，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根据折叠，得出，，，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可．（1）解：在长方形纸片中，，，，根据折叠可知，，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴．（2）解：根据折叠可知，，，，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴．故答案为：5．【点拨】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，则．26．(1)的度数为 (2)①的长为6；②【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得．（2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求解．（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，∴∵∴∴又∵∴；（2）①∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，，∴，∵，∴．∴，设，则，∴，即，解得：，∴的长为6；②由①得，∴，∴故答案为：60．【点拨】此题考查了折叠的性质、勾股定理解三角形等，解题的关键熟悉并会用直角三角形相关知识点．27．折痕的长【分析】在中，，，由勾股定理得到，由折叠性质得到，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．解：由题意可知，在中，，，则由勾股定理得到，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，，在中，利用勾股定理得到，折痕的长．【点拨】本题考查利用勾股定理求线段长，涉及折叠的性质、解方程等知识，熟练掌握折叠的性质及勾股定理的运用是解决问题的关键．28．(1)见分析 (2)【分析】（1）以点C为圆心，为半