人教版七年级数学下册同步练习6.3实数重难点专项练习【十大题型】(原卷版+解析)

6.3《实数》重难点题型专项练习考查题型一实数的分类典例1．下列各数中：，3.1415926，，（每两个2中间依次增加1个0），，，无理数的个数有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1-1．下列四个数中，不是无理数的是（

）A． B． C． D．变式1-2．(2023春·山东威海·七年级校联考阶段练习）下列各数，，，，其中无理数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1-3．(2023春·浙江绍兴·七年级校考期中）下列实数中，有理数是（

）A．π B．C． D．6.101001000（两个“1”之间依次多一个“0”）考查题型二实数的绝对值典例2．(2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期中）的绝对值是（）A． B． C．5 D．变式2-1．实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（）A．﹣2 B． C．0 D．﹣5变式2-2．(2023·湖北黄石·统考中考真题）的绝对值是（

）A． B． C． D．变式2-3．(2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）实数－的绝对值是（

）A． B．－ C． D．考查题型三实数的相反数典例3．(2023·河南洛阳·统考一模）实数的相反数是（）A．3 B． C． D．变式3-1．的相反数是（

）A． B． C． D．变式3-2．(2023秋·江西宜春·七年级统考阶段练习）的相反数是（

）A． B．3.5 C． D．变式3-3．的相反数是（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4考查题型四实数与数轴典例4．(2023春·广东惠州·七年级校考期末）如图是实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置，则正确的结论是（）A． B． C． D．变式4-1．(2023春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，下列式子中成立的是（

）A． B． C． D．变式4-2．(2023春·北京房山·七年级统考期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A． B． C． D．变式4-3．(2023春·广东深圳·七年级校考期中）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（）A． B． C． D．考查题型五实数的大小比较典例5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，把a，b，，按照从小到大的顺序排列正确的是（）A． B． C． D．变式5-1．三个数，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．变式5-2．(2023·贵州遵义·统考一模）在数，，，0中，最小的一个是（

）A．2 B． C． D．0变式5-3．(2023秋·重庆铜梁·七年级校考期中）下列各数中最小的数是（

）A．3 B． C．－π D．－3考查题型六无理数的估算典例6．(2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）估算：的值在(

)A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间变式6-1．(2023秋·广东肇庆·七年级校考期中）估算的值在（

）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间变式6-2．(2023秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）估计的值在（）A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间变式6-3．(2023秋·湖南邵阳·七年级校考期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D考查题型七无理数的整数部分和小数部分典例7．(2023·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若的整数部分为，小数部分为，则的值为______．变式7-1．(2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）已知的整数部分是x，小数部分是y，则_____．变式7-2．(2023春·浙江杭州·七年级校考期中）已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么的值是______．变式7-3．(2023春·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）已知的整数部分是的小数部分是，则_____．考查题型八与实数有关的规律的探究典例8．(2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（

）A． B． C． D．3变式8-1．(2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）求的值，可令，则，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.参照以上推理，计算的值为（）A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．变式8-2．(2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知=3，10，，……观察以上计算过程，寻找规律计算的值为(

）A．56 B．54 C．52 D．50变式8-3．(2023春·福建三明·七年级统考期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（）．A．2 B．4 C．6 D．8考查题型九新定义下的实数运算典例9．(2023春·福建漳州·七年级统考期中）我们规定：，例如：，则的值为（

）A． B． C． D．变式9-1．(2023春·山东菏泽·七年级统考期中）定义运算，例如，则的值为（

）A．7 B．17 C．20 D．23变式9-2．(2023秋·山西吕梁·七年级统考期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（

）A．13 B．7 C．4 D．5变式9-3．(2023秋·广西钦州·七年级统考期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3]⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（）A．2 B． C．3 D．3考查题型十实数的混合运算典例10．(2023秋·浙江台州·七年级校考期中）计算：(1)；(2)．变式10-1．(2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）实数的计算：(1)；(2)．变式10-2．计算：(1)(2)变式10-3．计算(1)(2)6.3《实数》重难点题型专项练习考查题型一实数的分类典例1．下列各数中：，3.1415926，，（每两个2中间依次增加1个0），，，无理数的个数有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据实数的概念进行辨别、分类．【详解】解：，3.1415926，是有理数，，（每两个2中间依次增加1个0），是无理数，所有数字中无理数的个数有3个，故选：C．【点睛】此题考查了无理数的定义，关键是掌握无限不循环小数叫做无理数．变式1-1．下列四个数中，不是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据无理数的概念，即无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含的最简式子，开不尽方的二（三）次根式，特殊结果的数（如：），由此即可求解．【详解】解：选项，是无理数，不符合题意；选项，是开不尽方的二次根式，是无理数，不符合题意；选项，是分数，是有理数，符合题意；选项，是开不尽方的三次根式，是无理数，不符合题意．故选：．【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念，识记常见的无理数形式是解题的关键．变式1-2．(2023春·山东威海·七年级校联考阶段练习）下列各数，，，，其中无理数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据实数的分类和无理数的定义：无限不循环小数解答即可．【详解】解：在，，，，中，有理数是：，，共2个；无理数是：，，，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了实数的分类和无理数的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．变式1-3．(2023春·浙江绍兴·七年级校考期中）下列实数中，有理数是（

）A．π B．C． D．6.101001000（两个“1”之间依次多一个“0”）【答案】B【分析】直接根据有理数的定义判断即可．【详解】解：，只有B是有理数，故选B．【点睛】本题考查了有理数的定义、实数的分类，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．考查题型二实数的绝对值典例2．(2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期中）的绝对值是（）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求解．【详解】故选：A．【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．变式2-1．实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（）A．﹣2 B． C．0 D．﹣5【答案】D【分析】根据绝对值的性质以及正实数和0的大小比较即可求解．【详解】∵且，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是．故选：D．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法以及绝对值的性质，要熟练掌握．变式2-2．(2023·湖北黄石·统考中考真题）的绝对值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：∵>1，∴｜｜＝，故选：B．【点睛】本题考查绝对值，估算无理数，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反相数，0的绝对值中0是解题的关键．变式2-3．(2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）实数－的绝对值是（

）A． B．－ C． D．【答案】A【分析】根据绝对值的意义：负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．【详解】解：实数-的绝对值是，故选：A．【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．考查题型三实数的相反数典例3．(2023·河南洛阳·统考一模）实数的相反数是（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：实数的相反数是．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．变式3-1．的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵的相反数是，故选C．【点睛】本题考查了相反数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：只有符号不同的两个数互为相反数．变式3-2．(2023秋·江西宜春·七年级统考阶段练习）的相反数是（

）A． B．3.5 C． D．【答案】A【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：的相反数是，故选：A．【点睛】本题考查实数与相反数，理解相反数的定义是正确解答的关键．变式3-3．的相反数是（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】B【分析】先化简，再求解相反数即可.【详解】解：的相反数是.故选：B【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，相反数的含义，掌握“求解一个数的算术平方根与相反数”是解本题的关键.考查题型四实数与数轴典例4．(2023春·广东惠州·七年级校考期末）如图是实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置，则正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上点的位置关系，可得，，，的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置，得．A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，，，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出，，，的大小是解题关键．变式4-1．(2023春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，下列式子中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据数轴求出a和b的关系，再判断即可．【详解】由数轴可知：，，可得即，故选D．【点睛】本题考查了用数轴比较数的大小，能够根据数轴找到a和b的关系是解题的关键．变式4-2．(2023春·北京房山·七年级统考期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：由数轴上点的位置，得，A．，故A不符合题意；B．，故B不符合题意；C．∵，∴，故C符合题意；D．，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．变式4-3．(2023春·广东深圳·七年级校考期中）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察数轴，找出，，，四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：根据数轴，，，，，A．∵，，∴，故此选项不符合题意；B．∵，，∴，故此选项不符合题意；C．∵，，∴，故此选项不符合题意；D．∵，∴，又∵，∴，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，实数的大小比较，数轴的特征．一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．观察数轴，利用所学知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．考查题型五实数的大小比较典例5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，把a，b，，按照从小到大的顺序排列正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解，再根据，及，互为相反数的特点，分别在数轴上描出：a，b，，，结合数轴可得答案．【详解】解：∵，则，根据，及，互为相反数的特点，分别在数轴上描出：a，b，，如下图：∴，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴的相关知识，相反数的含义，化简绝对值，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点．变式5-1．三个数，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．【详解】解：，∴，故选：B【点睛】本题考查了无理数大小的估算及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．变式5-2．(2023·贵州遵义·统考一模）在数，，，0中，最小的一个是（

）A．2 B． C． D．0【答案】C【分析】根据实数的大小比较即可求解．【详解】解：∵，∴最小的一个是，故选：C【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．变式5-3．(2023秋·重庆铜梁·七年级校考期中）下列各数中最小的数是（

）A．3 B． C．－π D．－3【答案】C【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：∵−π<−3<<3，∴所给的各数中，最小的数是−π．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．考查题型六无理数的估算典例6．(2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）估算：的值在(

)A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间【答案】B【分析】先估算出的值的范围，然后再估算出的值的范围，即可解答．【详解】解：，，，的值在与之间，故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．变式6-1．(2023秋·广东肇庆·七年级校考期中）估算的值在（

）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【答案】C【分析】根据估算无理数的大小解答即可．【详解】解：∵，∴，即在7和8之间，故选：C．【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．变式6-2．(2023秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）估计的值在（）A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间【答案】C【分析】先判断，从而可得，从而可得答案．【详解】解：，，，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．变式6-3．(2023秋·湖南邵阳·七年级校考期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】根据二次根式的性质和无理数的估算方法求出的范围即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∵，∴，∴，∴D点离得近一些，故选D．【点睛】本题考查实数在数轴上的位置及无理数的估算，解题的关键是根据根式的性质求出其取值范围．考查题型七无理数的整数部分和小数部分典例7．(2023·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若的整数部分为，小数部分为，则的值为______．【答案】【分析】无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，,∴，故答案是：．【点睛】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．变式7-1．(2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）已知的整数部分是x，小数部分是y，则_____．【答案】【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．【详解】解：，而，∴，∴的整数部分，小数部分，∴，故答案为：．【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根是正确解答的前提．变式7-2．(2023春·浙江杭州·七年级校考期中）已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么的值是______．【答案】12【分析】首先求出m和n的值，然后代入求解即可．【详解】∵∴，∴的整数部分为4，的小数部分为∴，∴．故答案为：12．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解答本题的关键利用“夹逼法”得出，求出m，n的值，难度一般．变式7-3．(2023春·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）已知的整数部分是的小数部分是，则_____．【答案】【分析】估计和的范围即可确定,的值,进而求得的值．【详解】解：∵，∴的整数部分是，，∵的整数部分是的小数部分是，∴，，∴，故答案为：【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．考查题型八与实数有关的规律的探究典例8．(2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】把代入计算，得出规律：的值每三个一循环，而2022÷3=674，则，即可得出答案．【详解】解：当时，则，，，，…由此可知，的值每三个一循环，∵2022÷3=674，∴，故选：D．【点睛】本题考查数式运算规律型，通过计算观察发现规律是解题的关键．变式8-1．(2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）求的值，可令，则，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.参照以上推理，计算的值为（）A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．【答案】C【分析】设，然后可以得到4S，再作差变形，即可得到所求式子的值【详解】解：设，则4，∴4S﹣S＝42020﹣4，∴3S＝42020﹣4，∴S＝，即的值为.故选：C.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中的规律，利用错位相减法求解．变式8-2．(2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知=3，10，，……观察以上计算过程，寻找规律计算的值为(

）A．56 B．54 C．52 D．50【答案】A【分析】根据题意，得出对于来讲，等于一个分式，其中分母是从1到的个数相乘，分子是从开始乘，乘个连续自然数数．【详解】解：，，，．故选：A．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是利用已知得出分子与分母之间的规律，利用规律进行求解．变式8-3．(2023春·福建三明·七年级统考期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】观察发现此列数的末尾数是2，4，8，6的循环，据此规律可推断22022的尾数．【详解】解：观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，发现尾数是2，4，8，6的循环，∵2022÷4＝505……2，∴22022的尾数是循环中的第2个数，即为4，∴22022的尾数是4，故选：B．【点睛】本题考查了数字的规律问题，根据题意找出末位数的规律是解答此题的关键．考查题型九新定义下的实数运算典例9．(2023春·福建漳州·七年级统考期中）我们规定：，例如：，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据代入相应数字即可计算出的值．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．变式9-1．(2023春·山东菏泽·七年级统考期中）定义运算，例如，则的值为（

）A．7 B．17 C．20 D．23【答案】A【分析】根据新运算的定义以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．【详解】解：∵，∴故选：A【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．变式9-2．(2023秋·山西吕梁·七年级统考期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（

）A．13 B．7 C．4 D．5【答案】C【分析】根据新运