2024数学论文《超几何分布与二项分布的联系与区别》

2024数学论文《超几何分布与二项分布的联系与区别》在苏教版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.2节和2.4节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布(hyper-geometricdistribution)与二项分布（binomialdistribution）。通过实例，让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，从而建立新的模型，并能运用两模型解决一些实际问题。然而在教学过程中，却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布，学生对这两模型的定义不能很好的理解，一遇到含“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，随便滥用公式。事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。

课本对于超几何分布的定义是这样的：一般的，若一个随机变量X的分布列为，其中，则称X服从超几何分布，记为。其概率分布表为：

对于二项分布的定义是这样的：若随机变量X的分布列为，其中则称X服从参数为n，p的二项分布，记为。其概率分布表为：

超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量X的取值都从0连续变化到l，对应概率和N，n，l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的。而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。若将但超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有返回的任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。

如在2.2节有这样一个例题：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球就是一等奖，求获一等奖的概率。本题采用的解法是摸出球中的红球个数X服从超几何分布，但是如果将“一次从中摸出5个球”改为“摸出一球记下颜色，放回后再摸一球，反复5次”，则摸出球中的红球个数X将不再服从超几何分布，而是服从二项分布。

我们分别来计算两种分布所对应的概率：

这时发现发现两种不同的分布其对应的概率之间的差距进一步缩小了，我们做出这样的猜想：样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小，当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布！也就是说。下面我们对以上猜想作出证明：

产品个数N无限大，设废品率为p，则，

以上的证明与我们的直观思想相吻合：在废品为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n个（由于产品个数N无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n次独立试验）中含有k个废品的概率当然服从二项分布。在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是（1）产品个数应无限多，否则无返回地抽取n件产品是不能看作n次独立试验的.(2）在产品个数N无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。

对于超几何分布的数学期望，二项分布的数学期望，当我们将“不返回”改为“返回”时，，两种分布的数学期望相等，方差之间没有相等关系。超几何分布和二项分布的数学期望和方差是否也具有我们以上猜想并证明的极限关系呢？

事实上超几何分布的数学期望，方差当这两个极限值分别是二项分布的数学期望与方差。需要指明的是这一性质并非只为超几何分布与二项分布之间所具有，一般地，如果随机变量依分布收敛于随机变量，则随机变量的数学期望和方差分别是随机变量的数学期望和方差的极限。这样超几何分布与二项分布达到了统一。

一般说来，有返回抽样与无返回抽样计算的概率是不同的，特别在抽取对象数目不大时更是如此。但当被抽取的对象数目较大时，有返回抽样与无返回抽样所计算的概率相差不大，人们在实际工作中常利用这一点，把抽取对象数量较大时的无返回抽样（例如破坏性试验发射炮弹；产品的寿命试验等），当作有返回来处理。

那么，除了在有无“返回”上做文章，有没有什么办法快速实现超几何分布向二项分布的转化呢？

设想N件产品装在一个大袋中，其中M件为废品，无返回地从中抽取n件，那么其中废品件数X服从超几何分布。现若在大袋中再放进两个小袋，一袋装正品，一袋装废品，然后从大袋中任摸一个小袋，无返回地从中任取一件产品，则这样任取n件，其中废品件数X就不再服从超几何分布，而应服从的二项分布了。事实上，我们把摸到正品袋中的产品看作“成功”，摸到废品袋中的产品看作“失败”，则“成功”与“失败”的概率相等，皆为且每次试验是相互独立的，正是典型的伯努力试验概型，因此可用二项分布去刻划其概率分布列。，从这一点上讲，两种分布仅“一袋之隔”。将正品和废品隔离，则超几何分布将成为二项分布。

超几何分布和二项分布这两种离散型随机变量的概率分布表面上看来风马牛不相及，但通过以上的论证，我们发现这两种分布可以通过有无“返回”，隔离正品和次品等方法来互相转换，抛开转换问题，也可把二项分布看作超几何分布的极限，它们的期望和方补形法破解体积问题所谓补形法就是指将不规则的、陌生的、复杂的几何体补成另一规则的、熟悉的、简单几何体后（如常见的长方体、正方体、平行六面体等），在所补成的几何体中研究原几何体的有关元素的位置关系及其计算的方法.它是整体思想的具体体现。巧用补形法，对解决常见立体问题，常能起到化繁为简、一目了然的作用。常见的补形法有还原补形、联系补形与对称补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题。1．还原补形[典例3]（2013浙江理科12）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是________．4333322正视图侧视图俯视图解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图： [命题立意]知识：考察空间几何体的三视图、直观图及空间几何体的体积。能力：通过由几何体的三视图还原直观图考查学生空间想象力，通过对几何体体积的计算考查运算求解能力。感悟：由几何体的三视图还原直观图，再根据几何体的形状补形为正方体或长方体或棱柱，使所解决的问题更易求．练习（2013浙江文科5）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）DCABFEA、108cm3B、100cmDCABFE 424323正视图侧视图俯视图[解析]：根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸求其体积。此几何体为一个长方体被截去一个三棱锥，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为。三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为，所以所求几何体的体积为[答案]B2．联系补形[典例2](2012·辽宁高考文16)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．[解析]由于正三棱锥的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，故以PA，PB，PC为棱补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝eq\r(3)，又P到平面ABC的距离为h，则eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2.∴h＝eq\f(2\r(3),3).∴球心到截面距离为eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(\r(3),3).[答案]eq\f(\r(3),3)[命题立意]知识:考查对空间几何体直观图的理解与应用。能力：考察学生空间想象力，灵活处理能力，运算求解能力。感悟：三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．练习(2012·潍坊模拟)如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，则球O的体积等于________．解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2).故球O的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.答案：eq\r(6)π3．对称补形[典例1](2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3)B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π[解析]法1：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的eq\f(1,4)，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V＝eq\f(3,4)×π×12×4＝3π.法2：可把此几何体看作是底面半径为1，高为6的圆柱被过圆柱的中心的平面截去了圆柱的。根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积[答案]B[命题立意]知识：考察空间几何体的三视图、直观图及空间几何体的体积。能力：考察学生空间想象力，灵活处理能力，运算求解能力。感悟：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．练习(2012·山西大同)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．8 B.eq\f(20,3)C.eq\f(17,3) D.eq\f(14,3)解析：选C由题可知，原正方体如图所示，被平面EFB1D1截掉的几何体为棱台AFE－A1B1D1，则所求几何体的体积V＝23－VA1B1D1－AEF＝23－eq\f(1,3)×2×＝eq\f(17,3).差之间也存在这种极限关系。数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系从自然数到有理数，两个方向的需求：（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。问题1：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事，，，。在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等都成立。问题2：为什么不把加法定义为？逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，，从度量的角度看是不合适的。（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，……，并定义a＜b时，a－b＝－(b－a)，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号，称为分数，它服从b×=a（b≠0）。这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。问题4：有理数有多少个？从度量长度中得到启发，引进数轴的概念，可以用数轴上的点表示任意有理数。借此可以容易地证明：有理点在数轴上是稠密的。从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：（1）前面已经谈到的度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）问题1：你能证明是无理数吗？你能用几何作图的方法构造出一些无理数吗？由此可以看到，实数是几何数（实数是大自然给的）。关于实数理论的严格化，数学家们做出了长期坚持不懈的努力，直到十九世纪末，在戴德金、康托、维尔斯特拉斯那里才真正建立了无理数的严格理论。其中有些问题可以让高中生进行研究，例如：极限与无穷递缩等比数列，无限循环小数与分数的互化；用有理数逼近无理数；构造一个无限不循环小数；等。问题2：有理数多还是无理数多？（2）从数学内部的需求看，与有理数域的扩充类似，为了解像x2=2这样的方程，需要构造一个比有理数域更广的实数域。从实