2024数学论文《导数题中“任意、存在”型的归纳辨析》

2024数学论文《导数题中“任意、存在”型的归纳辨析》导数题任意以及存在的分类解析导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。一．单一函数单一“任意”型例1．已知函数的最小值为,其中。(1)求的值；(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值。解析：(1)，在单调递减，在单调递增，所。（2）设，则问题等价于对恒成立，即。因为当时，时，，所以。由，若，则当时，，单调递减，，矛盾。从而，解得。即实数的最小值是。点评：“任意”的意思是不管取给定集合中的哪一个值，得到的函数值都要满足给定的不等式，它有两种形式：“对任意的，恒成立”等价于“当时，”；“对任意的，恒成立”等价于“当时，”。二．单一函数单一“存在”型例2.已知函数()，若存在，使得成立，求实数的取值范围。解析：。∵，∴且等号不能同时取，所以，即，因而，令，又，当时，，，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是．点评：“存在”的意思是取遍给定集合中的每一个值，都至少有一个函数值满足给定的不等式，它有两种形式：“存在，使得成立”等价于“当时，”；“存在，使得成立”等价于“当时，”。三．单一函数双“任意”型例3.设函数。（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围。解析：（1），当，即时，在上是减函数；当，即时，令，得或；令得。当，即时，令得或令得。综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递（2）由（1）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值，，，由得，所以。点评：“任意，恒有”等价于“大于”，而。例4.已知函数。（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对任意，，求的取值范围。解析：（1）的定义域为（0，+∞）.，当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得。则当时，＞0；时，＜0。故在单调增加，在单调减少。（2）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，。（*）令，则（*）等价于在单调递减，即。从而故a的取值范围为。点评：本题容易得出的错误。因为等式两边都有变量，一边变化会引起另一边变化，这种情况要将等式两边移至一边，通过分离变量，来构造新的函数以达到解题的目的。四．单一函数双“存在”型例5．设是函数的一个极值点。（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，。若存在使得成立，求的取值范围。解析：（1），则，解得。，令，得，由于是极值点，所以，得。所以当时，，在上单调递减，在上单调递增减，在上单调递增减；当时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减。（2）由（1）可知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，，，那么在上的值域为。又在上是增函数，所以它在上的值域是，由于，所以只须且只须且，解得。故的取值范围是。点评：“存在使得”等价于“”，而要通过与的值域来得到。五．双函数“任意”+“存在”型：例5．已知函数，，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围。解析：题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值。，由得，或，当时，，当时，所以在（0，1）上，。又在上的最大值为，所以有，所以实数的取值范围是。点评：，使得成立。同样，，使得成立。例6．设函数．（1）求的单调区间．（2）设，函数．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．解析：（1），令，即，解得：，的单增区间为；单调减区间为和。（2）由（1）可知当时，单调递增，当时，，即；又，且，当时，，单调递减，当时，，即，又对于任意，总存在，使得成立，即，解得：点评：“对任意，存在，使得成立”等价于“的值域包含于的值域”。六．双函数“任意”+“任意”型例7．设，．（1）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围。解析：（1）存在，使得成立等价于。由，可得在单调递减，在上单调递增，所以=，，所以，从而满足条件的最大整数。（2）由，得在上的最大值为1.则对任意的，都有成立等价于对恒成立，也等价于对恒成立。记，，。记，，由于，,所以在上递减，当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。点评：，使得成立七．双函数“存在”+“存在”型例8．已知函数，。若存在，，使，求实数取值范围。解析：，在上单调递增，在上单调递减，。依题意有，所以。又，从而或，解得。即实数取值范围是。点评：，使得成立，同样，使得成立。例9．已知函数，。是否存在实数，存在，，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.解析：在上是增函数，故对于，.设，当时，。要存在，使得成立，只要，考虑反面，若，则或，解得或。从而所求为点评：“，使得成立”等价于“的值域与的值域相交非空”。从以上例题可以看出，导数题的发展轨迹是从单一函数往双函数发展，从单一变量往双变量甚至是多变量发展，从单一任意或存在往任意存在混合上发展。不管怎样发展，它们的基础还是单函数的任意与存在性问题。对于两个函数的问题，虽然以上例题归纳得很清楚，但真正解题中，往往还是容易迷惑。我们知道，面对两个或多个变量的时候，可以先把其中的一个当成是变量，其它的当成是常量，这样就把问题转化为单变量的常规题了。这里同样可以采取类似的方法，在和中，依次把一个当成是常量，另一个当成是变量，这样就把问题转化成了前面熟悉的单函数单任意（或存成）题了。比如“，使得成立”，就可以先把当成是常量，“，使得成立”等价于，再反过来，再把当成是常量，“，使得成立”等价于，综合以上两方面，就得出了“，使得成立”的正确结论。导数及其应用课标解读1、整体定位《标准》中对导数及其应用的整体定位如下：“微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。”为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。（2）导数的运算不宜要求过高由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。（3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。（4）关注数学文化重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。2、课程标准的要求（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数。②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。③会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。利用导数判别函数单调性的法则为：在区间D上，若，则在D上是增函数；若，则在D上是减函数。反之，若在D内可导，且若在D上是增（减）函数，则一定有。例1.证明函数在［0，2］上是减函数。解：，当时，。∴函数在［0，2］上是减函数例2.求函数的单调区间。解：令得：（1）当或时，，所以，；（2）当或时，所以，∴的单调增区间是，单调减区间是，。解含有参数的函数单调性时，需分类讨论参数，确定的符号，从而确定函数的单调性。例3.求函数在上的最大值（其中）。解：令，则求在（0，1］上的最大值当时，显然在（0，1］上为增函数，所以当时，令得：，易知时，为增函数时，为减函数。于是若（此时）则在（0，1］上为增函数此时若（此时）则在上为增函数在上为减函数所以由以上讨论知当时，时，从以上例题可以看出，利用导数解决函数的单调性问题，其求解过程思路流畅、简捷，便于掌握。从离心率看圆锥曲线间的关系早在17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一个形状的新思想的影响下，法国天文学家开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述．他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指明抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆．从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆，都可以从其中的一个连续地变为另一个，从而辩证地看到了各类圆锥曲线间的关系．下面我们从离心率对圆锥曲线的形状的影响入手，来研究圆锥曲线间的关系，为了讨论这个问题，我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆按向量平移得到，即．作椭圆的半通径（即过椭圆焦点且垂直于长轴的半弦），用表示，易证，同时易知．故椭圆的方程可写成．类似地，将双曲线按向量平移得到，即．作双曲线的半通径（即过双曲线焦点且垂直于实轴的半弦），用表示，易证，同时易知．故双曲线方程可写成．对于抛物线，为半通径长，离心率，它也可写成，于是在同一坐标系下，三种曲线有统一方程，其中是曲线的半通径长，当，，时分别表示椭圆、抛物线、双曲线．2．从离心率看圆锥曲线间的关系设椭圆、双曲线、抛物线有相同的半通径，即统一方程中的不变，令离心率变化，在这种情况下，我们讨论曲线变化趋势．在同一坐标系下，作出这三种曲线如图所示，设，，分别是抛物线焦点、椭圆的左焦点和双曲线的右焦点，则有，，，所以．这说明点在点右侧，而点在点左侧．由此，我们来看三种曲线的位置关系（由曲线的对称性，只考虑第一象限内的情况），从统一方程不难看出，当任意取定时，设椭圆、抛物线和双曲线上对应点的纵坐标分别为，，，有．这说明，双曲线在抛物线上侧，而椭圆在抛物线下侧．下面我们进一步讨论圆锥曲线间的关系．（1）当离心率由小于1无限趋近于1时，．（符号“→”表示无限趋近于）．即．这说明椭圆的左焦点无限趋近于抛物线的焦点，且椭圆在第一象限内向上移动无限接近抛物线．又因为，所以．由于由小于1无限趋近于1，所以．这说明椭圆右焦点沿轴正向趋于无限远．因此可以看出，在椭